2018年秋高中數(shù)學(xué) 第二章 數(shù)列 2.4 等比數(shù)列 第1課時 等比數(shù)列學(xué)案 新人教A版必修5.doc

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第1課時　等比數(shù)列 學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.理解等比數(shù)列的定義(重點).2.掌握等比數(shù)列的通項公式及其應(yīng)用(重點、難點).3.熟練掌握等比數(shù)列的判定方法(易錯點)． [自 主 預(yù) 習(xí)探 新 知] 1．等比數(shù)列的概念 (1)文字語言： 如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的比等于同一常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等比數(shù)列，這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)． (2)符號語言： ＝q(q為常數(shù)，q≠0，n∈N*)． 思考：能將定義中的“每一項與前一項的比”理解為“每相鄰兩項的比”嗎？ [提示]　不能． 2．等比中項 (1)前提：三個數(shù)a，G，b成等比數(shù)列． (2)結(jié)論：G叫做a，b的等比中項． (3)滿足的關(guān)系式：G2＝ab. 思考：當(dāng)G2＝ab時，G一定是a，b的等比中項嗎？ [提示]　不一定，如數(shù)列0,0,5就不是等比數(shù)列． 3．等比數(shù)列的通項公式 一般地，對于等比數(shù)列{an}的第n項an，有公式an＝a1qn－1.這就是等比數(shù)列{an}的通項公式，其中a1為首項，q為公比． 4．等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系 等比數(shù)列的通項公式可整理為an＝qn，而y＝qx(q≠1)是一個不為0的常數(shù)與指數(shù)函數(shù)qx的乘積，從圖象上看，表示數(shù)列qn中的各項的點是函數(shù)y＝qx的圖象上的孤立點． 思考：除了課本上采用的不完全歸納法，還能用什么方法求數(shù)列的通項公式． [提示]　還可以用累乘法． 當(dāng)n>2時，＝q，＝q，…，＝q， ∴an＝a1……＝a1qn－1. [基礎(chǔ)自測] 1．思考辨析 (1)若一個數(shù)列從第二項起每一項與前一項的比為常數(shù)，則該數(shù)列為等比數(shù)列．(　　) (2)等比數(shù)列的首項不能為零，但公比可以為零．(　　) (3)常數(shù)列一定為等比數(shù)列．(　　) (4)任何兩個數(shù)都有等比中項．(　　) [答案]　(1)　(2)　(3)　(4)　 提示：(1)錯誤，根據(jù)等比數(shù)列的定義，只有比值為同一個常數(shù)時，該數(shù)列才是等比數(shù)列．(2)錯誤，當(dāng)公比為零時，根據(jù)等比數(shù)列的定義，數(shù)列中的項也為零．(3)錯誤，當(dāng)常數(shù)列不為零數(shù)列時，該數(shù)列才是等比數(shù)列．(4)錯誤．當(dāng)兩數(shù)同號時才有等比中項，異號時不存在等比中項． 2．下列數(shù)列為等比數(shù)列的序號是________． ①2,22,322；②，，，，(a≠0)；③s－1，(s－1)2，(s－1)3，(s－1)4，(s－1)5；④0,0,0,0,0. ②　[≠，所以①不是等比數(shù)列；②是首項為，公比為的等比數(shù)列；③中，當(dāng)s＝1時，數(shù)列為0,0,0,0,0，所以不是等比數(shù)列；④顯然不是等比數(shù)列．] 3．等比數(shù)列{an}中，a2＝2，a5＝，則公比q＝________. 【導(dǎo)學(xué)號：91432189】 　[由定義知＝＝＝＝q，則a2＝a1q＝2，① a5＝a4q＝a3q2＝a2q3＝a1q4＝，② 所以②①得q3＝，所以q＝.] 4．在等比數(shù)列{an}中，a4＝27，q＝－3，則a7＝________. －729　[由等比數(shù)列定義知＝＝＝q. 所以a5＝a4q＝27(－3)＝－81， a6＝a5q＝－81(－3)＝243， a7＝a6q＝243(－3)＝－729.] [合 作 探 究攻 重 難] 等比數(shù)列的通項公式及應(yīng)用 　在等比數(shù)列{an}中． (1)已知a1＝3，q＝－2，求a6； (2)已知a3＝20，a6＝160，求an. 【導(dǎo)學(xué)號：91432190】 [解]　(1)由等比數(shù)列的通項公式得， a6＝3(－2)6－1＝－96. (2)設(shè)等比數(shù)列的公比為q， 那么 解得 所以an＝a1qn－1＝52n－1. [規(guī)律方法]　 1．等比數(shù)列的通項公式涉及4個量a1，an，n，q，只要知道其中任意三個就能求出另外一個，在這四個量中，a1和q是等比數(shù)列的基本量，只要求出這兩個基本量，問題便迎刃而解． 2．關(guān)于a1和q的求法通常有以下兩種方法： (1)根據(jù)已知條件，建立關(guān)于a1，q的方程組，求出a1，q后再求an，這是常規(guī)方法． (2)充分利用各項之間的關(guān)系，直接求出q后，再求a1，最后求an，這種方法帶有一定的技巧性，能簡化運算． [跟蹤訓(xùn)練] 1．在等比數(shù)列{an}中， (1)若它的前三項分別為5，－15,45，求a5； (2)若a4＝2，a7＝8，求an. [解]　(1)∵a5＝a1q4，而a1＝5， q＝＝－3，∴a5＝405. (2)因為所以 由得q3＝4，從而q＝，而a1q3＝2， 于是a1＝＝， 所以an＝a1qn－1＝2. 等比中項 　(1)等比數(shù)列{an}中，a1＝，q＝2，則a4與a8的等比中項是(　　) A．4　　　B．4　　　C．　　　D. (2)已知b是a，c的等比中項，求證：ab＋bc是a2＋b2與b2＋c2的等比中項. 【導(dǎo)學(xué)號：91432191】 思路探究：(1)用定義求等比中項． (2)證明(ab＋bc)2＝(a2＋b2)(b2＋c2)即可． (1)A　[由an＝2n－1＝2n－4知，a4＝1，a8＝24，所以a4與a8的等比中項為4.] (2)證明：b是a，c的等比中項，則b2＝ac，且a，b，c均不為零， 又(a2＋b2)(b2＋c2)＝a2b2＋a2c2＋b4＋b2c2＝a2b2＋2a2c2＋b2c2， (ab＋bc)2＝a2b2＋2ab2c＋b2c2＝a2b2＋2a2c2＋b2c2，所以(ab＋bc)2＝(a2＋b2)(b2＋c2)，即ab＋bc是a2＋b2與b2＋c2的等比中項． [規(guī)律方法]　等比中項應(yīng)用的三點注意： (1))由等比中項的定義可知＝?G2＝ab?G＝，所以只有a，b同號時，a，b的等比中項有兩個，異號時，沒有等比中項. (2))在一個等比數(shù)列中，從第二項起，每一項(有窮數(shù)列的末項除外)都是它的前一項和后一項的等比中項. (3)a，G，b成等比數(shù)列等價于G2＝ab(ab>0). [跟蹤訓(xùn)練] 2．若1，a,3成等差數(shù)列，1，b,4成等比數(shù)列，則的值為(　　) A． B. C．1 D．1 D　[由題知2a＝1＋3， ∴a＝2. 由b2＝4得b＝2 ∴＝1.] 3．設(shè)等差數(shù)列{an}的公差d不為0，a1＝9d，若ak是a1與a2k的等比中項，則k等于(　　) 【導(dǎo)學(xué)號：91432192】 A．2 B．4 C．6 D．8 B　[∵an＝(n＋8)d，又∵a＝a1a2k， ∴[(k＋8)d]2＝9d(2k＋8)d，解得k＝－2(舍去)， k＝4.] 等比數(shù)列的判斷與證明 [探究問題] 1．若數(shù)列{an}是等比數(shù)列，易知有＝q(q為常數(shù)，且q≠0)或a＝anan＋2(an≠0，n∈N*)成立．反之，能說明數(shù)列{an}是等比數(shù)列嗎？ 提示：能．若數(shù)列{an}滿足＝q(q為常數(shù)，q≠0)或a＝anan＋2(an≠0，n∈N*)都能說明{an}是等比數(shù)列． 2．若數(shù)列{an}是公比為q的等比數(shù)列，則它的通項公式為an＝a1qn－1(a，q為非零常數(shù)，n∈N*)．反之，能說明數(shù)列{an}是等比數(shù)列嗎？ 提示：能．根據(jù)等比數(shù)列的定義可知． 　已知數(shù)列的前n項和為Sn＝2n＋a，試判斷{an}是否是等比數(shù)列． 思路探究：①如何由求和公式得通項公式？②a1是否適合an＝Sn－Sn－1(n≥2)？需要檢驗嗎？ [解]　an＝Sn－Sn－1＝2n＋a－2n－1－a＝2n－1(n≥2)．當(dāng)n≥2時＝＝2； 當(dāng)n＝1時，＝＝. 故當(dāng)a＝－1時，數(shù)列{an}成等比數(shù)列，其首項為1，公比為2；當(dāng)a≠－1時，數(shù)列{an}不是等比數(shù)列． 母題探究：1.(變條件)將例題中的條件“Sn＝2n＋a”變?yōu)椤癝n＝2－an”．求證數(shù)列{an}是等比數(shù)列． [證明]　∵Sn＝2－an， ∴Sn＋1＝2－an＋1， ∴an＋1＝Sn＋1－Sn＝(2－an＋1)－(2－an)＝an－an＋1， ∴an＋1＝an. 又∵S1＝2－a1， ∴a1＝1≠0. 　又由an＋1＝an知an≠0， ∴＝， ∴{an}是等比數(shù)列． 2．(變條件變結(jié)論)將例題中的條件“Sn＝2n＋a”變?yōu)椤癮1＝1，an＋1＝2an＋1”證明數(shù)列{an＋1}是等比數(shù)列，并求出數(shù)列{an}的通項公式． [解]　因為an＋1＝2an＋1， 所以an＋1＋1＝2(an＋1)． 由a1＝1，知a1＋1≠0， 從而an＋1≠0. 所以＝2(n∈N＋)，所以數(shù)列{an＋1}是等比數(shù)列． 所以{an＋1}是以a1＋1＝2為首項，2為公比的等比數(shù)列，所以an＋1＝22n－1＝2n，即an＝2n－1. [規(guī)律方法]　判斷一個數(shù)列{an}是等比數(shù)列的方法： (1))定義法：若數(shù)列{an}滿足＝q(q為常數(shù)且不為零)或＝q(n≥2，q為常數(shù)且不為零)，則數(shù)列{an}是等比數(shù)列. (2))等比中項法：對于數(shù)列{an}，若＝anan＋2且an≠0，則數(shù)列{an}是等比數(shù)列. (3))通項公式法：若數(shù)列{an}的通項公式為an＝a1qn－1(a1≠0，q≠0)，則數(shù)列{an}是等比數(shù)列. [當(dāng) 堂 達(dá) 標(biāo)固 雙 基] 1．下列數(shù)列是等比數(shù)列的是(　　) 【導(dǎo)學(xué)號：91432193】 A．2,2，－2，－2,2,2，－2，－2，… B．－1,1，－1,1，－1，… C．0,2,4,6,8,10，… D．a(chǎn)1，a2，a3，a4，… B　[A.從第2項起，每一項與前一項的比不是同一常數(shù)，故不選A. B．由等比數(shù)列定義知該數(shù)列為等比數(shù)列． C．等比數(shù)列各項均不為0，故該數(shù)列不是等比數(shù)列． D．當(dāng)a＝0時，該數(shù)列不是等比數(shù)列；當(dāng)a≠0時，該數(shù)列為等比數(shù)列．] 2．若2a，b,2c成等比數(shù)列，則函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象與x軸的交點個數(shù)是(　　) A．0　　　　　　　　　　　 B．1 C．2 D．0或2 B　[由題意，得b2＝4ac，故函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象與x軸相切．] 3．在等比數(shù)列{an}中，若a2＝4，a5＝－32，則公比q應(yīng)為(　　) 【導(dǎo)學(xué)號：91432194】 A． B．2 C. D．－2 D　[因為＝q3＝－8，故q＝－2.] 4．在等比數(shù)列{an}中，若公比q＝4，且前三項之和等于21，則該數(shù)列的通項公式an＝________. 4n－1　[由題意知a1＋4a1＋16a1＝21，解得a1＝1，所以通項公式an＝4n－1.] 5．已知數(shù)列{an}是首項為2，公差為－1的等差數(shù)列，令bn＝an，求證數(shù)列{bn}是等比數(shù)列，并求其通項公式. 【導(dǎo)學(xué)號：91432195】 [解]　依題意an＝2＋(n－1)(－1)＝3－n， 于是bn＝3－n.而＝＝－1＝2. ∴數(shù)列{bn}是公比為2的等比數(shù)列，通項公式為bn＝2n－3.