新版【創(chuàng)新方案】高考數(shù)學(xué)理一輪突破熱點題型：第3章 第5節(jié)　兩角和與差的正弦、余弦和正切

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1、 1

2、 1 考點一 三角函數(shù)的化簡求值 　 [例1]　(1)(20xx·重慶高考)4cos 50°－tan 40°＝(　　) A.　　　　　　　　　B. C. D．2－1 (2)化簡：(0＜θ＜π)． [自主解答]　(1)4cos 50°－tan 40°＝4sin 40°－ ＝＝ ＝＝ ＝＝. (2)原式＝＝＝

3、. 因為0＜θ＜π，所以0＜＜，所以cos＞0，故原式＝－cos θ. [答案]　(1)C 【方法規(guī)律】 1．三角函數(shù)式化簡的原則 三角函數(shù)式的化簡要遵循“三看”原則，即一看角，二看名，三看式子結(jié)構(gòu)與特征． 2．解決給角求值問題的基本思路 對于給角求值問題，往往所給角都是非特殊角，解決這類問題的基本思路有： (1)化為特殊角的三角函數(shù)值； (2)化為正、負(fù)相消的項，消去求值； (3)化分子、分母出現(xiàn)公約數(shù)進行約分求值． 化簡： (1)sin 50°(1＋tan 10°)； (2). 解：(1)sin 50°(1＋tan 10°)＝sin 50°(1＋ta

4、n 60°tan 10°) ＝sin 50°·＝sin 50°· ＝＝＝＝1. (2)原式＝＝＝＝＝cos 2x. 考點二 三角函數(shù)的條件求值 　 [例2]　(1)(20xx·浙江高考)已知α∈R，sin α＋2cos α＝，則tan 2α＝(　　) A. B. C．－ D．－ (2)(20xx·廣東高考)已知函數(shù)f(x)＝cos，x∈R. ①求f的值； ②若cos θ＝，θ∈，求f. [自主解答]　(1)法一：(直接法)兩邊平方，再同時除以cos2α，得3tan2α－8tan α－3＝0，tan α＝3或tan α＝－

5、，代入tan 2α＝，得tan 2α＝－. 法二：(猜想法)由給出的數(shù)據(jù)及選項的唯一性，記sin α＝，cos α＝，這時sin α＋2cos α＝符合要求，此時tan α＝3，代入二倍角公式得到答案C. (2)①f＝cos＝cos＝cos ＝1. ②f＝ cos＝cos＝cos 2θ－sin 2θ. 因為cos θ＝，θ∈，所以sin θ＝－. 所以sin 2θ＝2sin θcos θ＝－，cos 2θ＝cos2θ－sin2θ＝－. 所以f＝cos 2θ－sin 2θ＝－－＝. [答案]　(1)C 【互動探究】 保持本例(2)②條件不變，求f的值． 解：因為θ∈，cos

6、θ＝，所以sin θ＝－＝－ ＝－. 所以f＝cos＝cos＝× ＝cos θ＋sin θ＝－＝－.　　　　　 【方法規(guī)律】 三角函數(shù)求值的兩種類型 (1)給角求值：關(guān)鍵是正確選用公式，以便把非特殊角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為特殊角的三角函數(shù)． (2)給值求值：關(guān)鍵是找出已知式與待求式之間的聯(lián)系及函數(shù)的差異． ①一般可以適當(dāng)變換已知式，求得另外函數(shù)式的值，以備應(yīng)用； ②變換待求式，便于將已知式求得的函數(shù)值代入，從而達(dá)到解題的目的． 1．(20xx·新課標(biāo)全國卷Ⅱ)設(shè)θ為第二象限角，若tan＝，則sin θ＋cos θ＝________. 解析：法一：由θ在第二象限，且tan

7、＝，因而sin＝－，因而sin θ＋cos θ＝ sin＝－. 法二：如果將tan＝利用兩角和的正切公式展開，則＝，求得tan θ＝－.又因為θ在第二象限，則sin θ＝，cos θ＝－，從而sin θ＋cos θ＝－＝－. 答案：－ 2．已知0＜β＜＜α＜π，且cos＝－，sin＝，求cos(α＋β)的值． 解：∵0＜β＜＜α＜π，∴－＜－β＜，＜α－＜π， ∴cos＝ ＝，sin＝ ＝， ∴cos＝cos＝coscos＋sinsin ＝×＋×＝， ∴cos(α＋β)＝2cos2－1＝2×－1＝－. 高頻考點 考點三 三角變換的綜合應(yīng)用　　 1．三角恒

8、等變換是三角函數(shù)化簡、求值、證明的主要依據(jù)．高考常與三角函數(shù)的其他知識相結(jié)合命題，題目難度適中，為中檔題． 2．高考對三角恒等變換綜合問題的考查常有以下幾個命題角度： (1)與三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)相結(jié)合命題； (2)與向量相結(jié)合命題； (3)與解三角形相結(jié)合命題(見本章第六節(jié))． [例3]　(1)(20xx·天津高考)已知函數(shù)f(x)＝－sin＋6sin xcos x－2cos2x＋1，x∈R. ①求f(x)的最小正周期； ②求f(x)在區(qū)間上的最大值和最小值． (2)(20xx·遼寧高考)設(shè)向量a＝(sin x，sin x)，b＝(cos x，sin x)，x∈. ①若|a

9、|＝|b|，求x的值； ②設(shè)函數(shù)f(x)＝a·b，求f(x)的最大值． [自主解答]　(1)①f(x)＝－sin 2x·cos－cos 2x·sin＋3sin 2x－cos 2x＝2sin 2x－2cos 2x＝2sin.所以f(x)的最小正周期T＝＝π. ②因為f(x)在區(qū)間上是增函數(shù)，在區(qū)間，上是減函數(shù)，又f(0)＝－2，f＝2，f＝2，故函數(shù)f(x)在上的最大值為2，最小值為－2. (2)①由|a|2＝(sin x)2＋sin2x＝4sin2x，|b|2＝cos2x＋sin2x＝1，及|a|＝|b|，得4sin2x＝1. 又x∈，從而sin x＝，所以x＝.②f(x)＝a·b＝

10、sin xcos x＋sin2x ＝sin 2x－cos 2x＋＝sin＋，當(dāng)x＝∈時，sin取最大值1. 所以f(x)的最大值為. 三角恒等變換綜合應(yīng)用問題的常見類型及解題策略 (1)與三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)相結(jié)合的綜合問題．借助三角恒等變換將已知條件中的函數(shù)解析式整理為f(x)＝Asin(ωx＋φ)的形式，然后借助三角函數(shù)圖象解決． (2)與向量相結(jié)合的綜合問題．此類問題通常是先利用向量的運算轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問題，然后再利用三角恒等變換轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)等問題解決． 1．已知平面向量a＝(sin2x，cos2x)，b＝(sin2x，－cos2x)，R是實數(shù)集，f(x

11、)＝a·b＋4cos2x＋2sin xcos x，如果存在m∈R，任意的x∈R，f(x)≥f(m)，那么f(m)＝(　　) A．2＋2 B．3 C．0 D．2－2 解析：選C　依題意得f(x)＝sin4x－cos4x＋4cos2x＋sin 2x＝sin2x＋3cos2x＋sin 2x＝cos 2x＋sin 2x＋2＝2sin＋2，因此函數(shù)f(x)的最小值是－2＋2＝0，即有f(m)＝0. 2．已知x0，x0＋是函數(shù)f(x)＝cos2－sin2ωx(ω＞0)的兩個相鄰的零點． (1)求f的值； (2)若對?x∈，都有|f(x)－m|≤1，求實數(shù)m的取值范

12、圍． 解：(1)f(x)＝－＝ ＝＝ ＝＝sin. 由題意可知，f(x)的最小正周期T＝π，∴＝π，又∵ω＞0，∴ω＝1，∴f(x)＝sin. ∴f＝sin＝sin＝. (2)|f(x)－m|≤1，即f(x)－1≤m≤f(x)＋1，∵對?x∈，都有|f(x)－m|≤1， ∴m≥f(x)max－1且m≤f(x)min＋1，∵－≤x≤0，∴－≤2x＋≤， ∴－1≤sin≤，∴－≤sin≤，即f(x)max＝，f(x)min＝－， ∴－≤m≤1－.故實數(shù)m的取值范圍為. ————————————[課堂歸納——通法領(lǐng)悟]———————————————— 1組關(guān)系——兩角和與差的

13、正弦、余弦、正切公式與倍角　公式的關(guān)系 　 2個技巧——拼角、湊角的技巧 　(1)用已知角表示未知角 2α＝(α＋β)＋(α－β)；2β＝(α＋β)－(α－β)；α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β； α＝＋，β＝－；＝－等． (2)互余與互補關(guān)系 ＋＝；＋＝；＋＝π；＋＝π； … 3個變換——應(yīng)用公式解決問題的三個變換角度 　(1)變角：目的是溝通題設(shè)條件與結(jié)論中所涉及的角，其手法通常是“配湊”． (2)變名：通過變換函數(shù)名稱達(dá)到減少函數(shù)種類的目的，其手法通常有“切化弦”、“升冪與降冪”等． (3)變式：根據(jù)式子的結(jié)構(gòu)特征進行變形，使其更貼近某個公式或某個期待的目標(biāo)，其手法通常有：“常值代換”、“逆用變用公式”、“通分約分”、“分解與組合”、“配方與平方”等．