2018-2019學年高中數(shù)學 第三章 統(tǒng)計案例 3.2 獨立性檢驗的基本思想及其初步應用學案 新人教A版選修2-3.doc

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3．2　獨立性檢驗的基本思想及其初步應用 　1.了解分類變量的意義．　2.了解22列聯(lián)表的意義．　3.了解隨機變量K2的意義． 4．通過對典型案例分析，了解獨立性檢驗的基本思想和方法． ,　　　　　　　 1．分類變量和列聯(lián)表 (1)分類變量 變量的不同“值”表示個體所屬的不同類別，像這樣的變量稱為分類變量． (2)列聯(lián)表 ①定義：列出的兩個分類變量的頻數(shù)表稱為列聯(lián)表． ②22列聯(lián)表 一般地，假設(shè)有兩個分類變量X和Y，它們的取值分別為{x1，x2}和{y1，y2}，其樣本頻數(shù)列聯(lián)表(也稱為22列聯(lián)表)為下表． y1 y2 總計 x1 a b a＋b x2 c d c＋d 總計 a＋c b＋d a＋b＋c＋d (1)列聯(lián)表是兩個或兩個以上分類變量的匯總統(tǒng)計表，現(xiàn)階段我們僅限于研究兩個分類變量的列聯(lián)表，并且每個分類變量只取兩個值，這樣的列聯(lián)表稱為22列聯(lián)表． (2)列聯(lián)表有助于直觀地觀測數(shù)據(jù)之間的關(guān)系．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 2．等高條形圖 (1)等高條形圖與表格相比，更能直觀地反映出兩個分類變量間是否相互影響，常用等高條形圖展示列聯(lián)表數(shù)據(jù)的頻率特征． (2)觀察等高條形圖發(fā)現(xiàn)和相差很大，就判斷兩個分類變量之間有關(guān)系． 3．獨立性檢驗 (1)定義 利用隨機變量K2來判斷“兩個分類變量有關(guān)系”的方法稱為獨立性檢驗． (2)K2＝， 其中n＝a＋b＋c＋d為樣本容量． (3)獨立性檢驗的具體做法 ①根據(jù)實際問題的需要確定容許推斷“兩個分類變量有關(guān)系”犯錯誤概率的上界α，然后查表確定臨界值k0. ②利用公式計算隨機變量K2的觀測值k. ③如果k≥k0，就推斷“X與Y有關(guān)系”，這種推斷犯錯誤的概率不超過α，否則，就認為在犯錯誤的概率不超過α的前提下不能推斷“X與Y有關(guān)系”，或者在樣本數(shù)據(jù)中沒有發(fā)現(xiàn)足夠證據(jù)支持結(jié)論“X與Y有關(guān)系”． 獨立性檢驗的基本思想與反證法的思想的相似之處 反證法 獨立性檢驗 要證明結(jié)論A 要確認“兩個分類變量有關(guān)系” 在A不成立的前提下進行推理 假設(shè)該結(jié)論不成立，即假設(shè)結(jié)論“兩個分類變量沒有關(guān)系”成立，在該假設(shè)下計算K2 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 判斷正誤(正確的打“√”，錯誤的打“”) (1)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)是兩個分類變量的頻數(shù)．(　　) (2)對事件A與B的獨立性檢驗無關(guān)，即兩個事件互不影響．(　　) (3)K2的大小是判斷事件A與B是否相關(guān)的統(tǒng)計量．(　　) 答案：(1)√　(2)　(3)√ 某校為了檢驗高中數(shù)學新課程改革的成果，在兩個班進行教學方式對比試驗，兩個月后進行了一次檢測，試驗班與對照班成績統(tǒng)計如22列聯(lián)表所示(單位：人)，則其中m＝________，n＝________． 80分及80分以上 80分以下 總計 試驗班 32 18 50 對照班 24 m 50 總計 56 44 n 答案：26　100 若兩個分類變量X和Y的22列聯(lián)表為： y1 y2 x1 5 15 x2 40 10 則X與Y之間有關(guān)系的可信度為________． 解析：K2的觀測值k≈18.8>10.828. 故有99.9%的把握認為X與Y有關(guān)系． 答案：99.9%  探究點1　等高條形圖的應用 　為了解鉛中毒病人與尿棕色素為陽性是否有關(guān)系，分別對病人組和對照組的尿液作尿棕色素定性檢查，結(jié)果如下： 組別 陽性數(shù) 陰性數(shù) 總計 鉛中毒病人 29 7 36 對照組 9 28 37 總計 38 35 73 試畫出列聯(lián)表的等高條形圖，分析鉛中毒病人和對照組的尿棕色素陽性數(shù)有無差別，鉛中毒病人與尿棕色素為陽性是否有關(guān)系？ 【解】　等高條形圖如圖所示： 其中兩個淺色條的高分別代表鉛中毒病人和對照組樣本中尿棕色素為陽性的頻率． 由圖可以直觀地看出鉛中毒病人與對照組相比，尿棕色素為陽性的頻率差異明顯，因此鉛中毒病人與尿棕色素為陽性有關(guān)系． (1)判斷兩個分類變量是否有關(guān)系的兩種常用方法 ①利用數(shù)形結(jié)合思想，借助等高條形圖來判斷兩個分類變量是否相關(guān)是判斷變量相關(guān)的常見方法． ②一般地，在等高條形圖中，與相差越大，兩個分類變量有關(guān)系的可能性就越大． (2)利用等高條形圖判斷兩個分類變量是否相關(guān)的步驟 　 　研究人員選取170名青年男女大學生，對他們進行一種心理測驗．發(fā)現(xiàn)60名女生對該心理測驗中的最后一個題目的反應是：作肯定的有18名，否定的有42名.110名男生在相同的題目上作肯定的有22名，否定的有88名．試判斷性別與態(tài)度之間是否有關(guān)系． 解：根據(jù)題目所給數(shù)據(jù)建立如下列聯(lián)表： 肯定 否定 總計 女生 18 42 60 男生 22 88 110 總計 40 130 170 相應的等高條形圖如圖所示． 比較來看，女生中肯定的人數(shù)比要高于男生中肯定的人數(shù)比，因此可以在某種程度上認為性別與態(tài)度之間有關(guān)． 探究點2　獨立性檢驗 　某新聞媒體為了了解觀眾對央視《開門大吉》節(jié)目的喜愛與性別是否有關(guān)系，隨機調(diào)查了觀看該節(jié)目的觀眾110名，得到如下的列聯(lián)表： 女 男 總計 喜愛 40 20 60 不喜愛 20 30 50 總計 60 50 110 試根據(jù)樣本估計總體的思想，估計約有多大的把握認為“喜愛該節(jié)目與否和性別有關(guān)”，并說明理由． 參考附表： P(K2≥k) 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 (參考公式：K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d) 【解】　假設(shè)喜愛《開門大吉》節(jié)目與否和性別無關(guān)． K2的觀測值k＝≈7.8>6.635，P(K2≥6.635)≈0.01， 所以有99%以上的把握認為“喜愛《開門大吉》節(jié)目與否和性別有關(guān)”． 解決獨立性檢驗問題的基本步驟 (1)根據(jù)已知的數(shù)據(jù)作出列聯(lián)表． (2)作出相應的等高條形圖，可以利用圖形做出相應判斷． (3)求K2的觀測值． (4)判斷可能性：與臨界值比較，得出事件有關(guān)的可能性大?。? 　為了研究學生選報文、理科是否與對外語的興趣有關(guān)，某同學調(diào)查了361名高一在校生，調(diào)查結(jié)果如下：理科對外語有興趣的有138人，無興趣的有98人，文科對外語有興趣的有73人，無興趣的有52人．試分析學生選報文、理科與對外語的興趣是否有關(guān)？ 解：問題是判斷學生選報文、理科是否與對外語的興趣有關(guān)．列出22列聯(lián)表如下： 理 文 總計 有興趣 138 73 211 無興趣 98 52 150 總計 236 125 361 由公式得K2的觀測值k＝≈1.87110－4. 因為1.87110－4<2.706，故可以認為學生選報文、理科與對外語的興趣無關(guān)． 探究點3　獨立性檢驗的綜合應用 　(2017高考全國卷Ⅱ節(jié)選)海水養(yǎng)殖場進行某水產(chǎn)品的新、舊網(wǎng)箱養(yǎng)殖方法的產(chǎn)量對比，收獲時各隨機抽取了100 個網(wǎng)箱，測量各箱水產(chǎn)品的產(chǎn)量(單位：kg)，其頻率分布直方圖如下： (1)設(shè)兩種養(yǎng)殖方法的箱產(chǎn)量相互獨立，記A表示事件“舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50 kg, 新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量不低于50 kg”，估計A的概率； (2)填寫下面列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有99%的把握認為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān)： 箱產(chǎn)量＜50 kg 箱產(chǎn)量≥50 kg 舊養(yǎng)殖法 新養(yǎng)殖法 附： P(K2≥k) 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 K2＝. 【解】　(1)記B表示事件“舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50 kg”，C表示事件“新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量不低于50 kg”． 由題意知P(A)＝P(BC)＝P(B)P(C)． 舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50 kg的頻率為 (0.012＋0.014＋0.024＋0.034＋0.040)5＝0.62， 故P(B)的估計值為0.62. 新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量不低于50 kg的頻率為 (0.068＋0.046＋0.010＋0.008)5＝0.66， 故P(C)的估計值為0.66. 因此，事件A的概率估計值為0.620.66＝0.409 2. (2)根據(jù)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖得列聯(lián)表 箱產(chǎn)量<50 kg 箱產(chǎn)量≥50 kg 舊養(yǎng)殖法 62 38 新養(yǎng)殖法 34 66 K2＝≈15.705. 由于15.705>6.635，故有99%的把握認為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān)． 兩個分類變量相關(guān)關(guān)系的判斷 (1)等高條形圖法：在等高條形圖中，可以估計滿足條件X＝x1的個體中具有Y＝y(tǒng)1的個體所占的比例，也可以估計滿足條件X＝x2的個體中具有Y＝y(tǒng)1的個體所占的比例.兩個比例的值相差越大，X與Y有關(guān)系成立的可能性就越大． (2)觀測值法：通過22列聯(lián)表，先計算K2的觀測值k，然后借助k的含義判斷“兩個分類變量有關(guān)系”這一結(jié)論成立的可信程度．　 　某市教育局邀請教育專家深入該市多所中小學，開展聽課、訪談及隨堂檢測等活動，他們把收集到的180節(jié)課分為三類課堂教學模式，教師主講的為A模式，少數(shù)學生參與的為B模式，多數(shù)學生參與的為C模式，A，B，C三類課的節(jié)數(shù)比例為3∶2∶1. (1)為便于研究分析，教育專家將A模式稱為傳統(tǒng)課堂模式，B，C統(tǒng)稱為新課堂模式，根據(jù)隨堂檢測結(jié)果，把課堂教學效率分為高效和非高效，根據(jù)檢測結(jié)果統(tǒng)計得到如下22列聯(lián)表(單位：節(jié)) 高效 非高效 總計 新課堂模式 60 30 90 傳統(tǒng)課堂模式 40 50 90 總計 100 80 180 請根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)回答：能否在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為課堂教學效率與教學模式有關(guān)？并說明理由． (2)教育專家采用分層抽樣的方法從收集到的180節(jié)課中選出12節(jié)課作為樣本進行研究，并從樣本中的B模式和C模式課堂中隨機抽取2節(jié)課，求至少有一節(jié)課為C模式課堂的概率． 參考臨界值有： P(K2≥k0) 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 參考公式：K2＝， 其中n＝a＋b＋c＋d. 解：(1)由列聯(lián)表中的統(tǒng)計數(shù)據(jù)計算隨機變量K2的觀測值k＝＝9＞6.635， 由臨界值表P(K2≥6.635)≈0.010， 所以在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下可以認為課堂效率與教學模式有關(guān)． (2)樣本中的B模式課堂和C模式課堂分別是4節(jié)和2節(jié)． 從中任取兩節(jié)有C＝15種取法，其中至少有一節(jié)課為C模式課堂取法有C－C＝9種， 所以至少有一節(jié)課為C模式課堂的概率為＝. 1．對于分類變量X與Y的隨機變量K2的觀測值k，下列說法正確的是(　　) A．k越大，“X與Y有關(guān)系”的可信程度越小 B．k越小，“X與Y有關(guān)系”的可信程度越小 C．k越接近于0，“X與Y沒有關(guān)系”的可信程度越小 D．k越大，“X與Y沒有關(guān)系”的可信程度越大 解析：選B.k越大，“X與Y沒有關(guān)系”的可信程度越小，則“X與Y有關(guān)系”的可信程度越大；k越小，“X與Y有關(guān)系”的可信程度越?。? 2．下面是調(diào)查某地區(qū)男女中學生喜歡理科的等高條形圖，陰影部分表示喜歡理科的百分比，從圖中可以看出(　　) A．性別與喜歡理科無關(guān) B．女生中喜歡理科的比為80% C．男生比女生喜歡理科的可能性大些 D．男生不喜歡理科的比為60% 解析：選C.由圖知女生中喜歡理科的比為20%，男生不喜歡理科的比為40%，故B、D不正確．由圖知，男生比女生喜歡理科的可能性大些． 3．高中流行這樣一句話“文科就怕數(shù)學不好，理科就怕英語不好”．下表是一次針對高三文科學生的調(diào)查所得的數(shù)據(jù)． 總成績好 總成績不好 總計 數(shù)學成績好 478 a 490 數(shù)學成績不好 399 24 423 總計 b c 913 (1)計算a，b，c的值； (2)文科學生總成績不好與數(shù)學成績不好有關(guān)系嗎？ 解：(1)由478＋a＝490，得a＝12. 由a＋24＝c，得c＝12＋24＝36. 由b＋c＝913，得b＝913－36＝877. (2)計算隨機變量K2的觀測值 k＝≈6.233＞5.024， 因為P(K2≥5.024)≈0.025， 所以在犯錯誤的概率不超過0.025的前提下，認為文科學生總成績不好與數(shù)學成績不好有關(guān)系． 　　　　　　　 知識結(jié)構(gòu) 深化拓展 1.獨立性檢驗基本思想的理解 (1)“P(K2≥6.635)≈0.01”成立的前提是H0成立． (2)P(K2≥6.635)近似為0.01，當樣本容量n越大時，其近似程度越大． (3)K2與k的關(guān)系并不是k＝，K2是一個隨機變量，在a，b，c，d取不同的值時，K2可能不同，而k是取定一組數(shù)a，b，c，d后的一個值． 2．假設(shè)檢驗與反證法的關(guān)系 反證法 獨立性檢驗 要證明結(jié)論A 提出假設(shè)H0 在A不成立的前提下進行 在H0成立的條件下進行推理 推出矛盾，意味著結(jié)論A成立 推出有利于H0成立的小概率事件發(fā)生，意味著H0成立的可能性小 沒有找到矛盾，不能對A下任何結(jié)論，即反證法不成立 推出有利于H0成立的小概率事件不發(fā)生，接受原假設(shè)  ,　　　　　　　[A　基礎(chǔ)達標] 1．觀察下列各圖，其中兩個分類變量x，y之間關(guān)系最強的是(　　) 解析：選D.在四幅圖中，D圖中兩個深色條高相差最明顯，說明兩個分類變量之間關(guān)系最強． 2．經(jīng)過對K2的統(tǒng)計量的研究，得到了若干個臨界值，當K2≤2.706時，我們認為事件A與B(　　) A．有95%的把握認為A與B有關(guān)系 B．有99%的把握認為A與B有關(guān)系 C．沒有充分理由說明事件A與B有關(guān)系 D．不能確定 解析：選C.當K2>2.706時，有90%以上的把握說明A與B有關(guān)系，但當K2≤2.706時，只能說明A與B是否有關(guān)系的理由不夠充分，故選C. 3．為了解高中生作文成績與課外閱讀量之間的關(guān)系，某研究機構(gòu)隨機抽取了60名高中生，通過問卷調(diào)查，得到以下數(shù)據(jù)： 作文成績優(yōu)秀 作文成績一般 總計 課外閱讀量較大 22 10 32 課外閱讀量一般 8 20 28 總計 30 30 60 由以上數(shù)據(jù)，計算得到K2的觀測值k≈9.643，根據(jù)臨界值表，以下說法正確的是(　　) A．沒有充足的理由認為課外閱讀量大與作文成績優(yōu)秀有關(guān) B．有0.5%的把握認為課外閱讀量大與作文成績優(yōu)秀有關(guān) C．在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下認為課外閱讀量大與作文成績優(yōu)秀有關(guān) D．在犯錯誤的概率不超過0.005的前提下認為課外閱讀量大與作文成績優(yōu)秀有關(guān) 解析：選D.根據(jù)臨界值表，9.643＞7.879，在犯錯誤的概率不超過0.005的前提下，認為課外閱讀量大與作文成績優(yōu)秀有關(guān)． 4．某班主任對全班50名學生進行了作業(yè)量的評價調(diào)查，所得數(shù)據(jù)如下表所示： 認為作業(yè)量大 認為作業(yè)量不大 總計 男生 18 9 27 女生 8 15 23 總計 26 24 50 則認為作業(yè)量的大小與學生的性別有關(guān)的犯錯誤的概率不超過(　　) A．0.01 B．0.025 C．0.10 D．無充分證據(jù) 解析：選B.因為K2的觀測值為k＝≈5.059＞5.024，所以認為作業(yè)量的大小與學生的性別有關(guān)的犯錯誤的概率不超過0.025. 5．獨立性檢驗所采用的思路是：要研究X，Y兩個分類變量彼此相關(guān)，首先假設(shè)這兩個分類變量彼此________，在此假設(shè)下構(gòu)造隨機變量K2.如果K2的觀測值較大，那么在一定程度上說明假設(shè)________． 解析：獨立性檢驗的前提是假設(shè)兩個分類變量無關(guān)系，然后通過隨機變量K2的觀測值來判斷假設(shè)是否成立． 答案：無關(guān)系　不成立 6．在吸煙與患肺病是否相關(guān)的判斷中，有下面的說法： ①若K2的觀測值k＞6.635，則在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下，認為吸煙與患肺病有關(guān)系，那么在100個吸煙的人中必有99人患有肺?。? ②從獨立性檢驗可知在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下，認為吸煙與患肺病有關(guān)系時，若某人吸煙，則他有99%的可能患有肺??； ③從獨立性檢驗可知在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下，認為吸煙與患肺病有關(guān)系時，是指有5%的可能性使得推斷錯誤． 其中說法正確的是________． 解析：K2是檢驗吸煙與患肺病相關(guān)程度的量，是相關(guān)關(guān)系，而不是確定關(guān)系，是反映有關(guān)和無關(guān)的概率，故說法①不正確；說法②中對“確定容許推斷犯錯誤概率的上界”理解錯誤；說法③正確． 答案：③ 7．為研究某新藥的療效，給100名患者服用此藥，跟蹤調(diào)查后得下表中的數(shù)據(jù)： 無效 有效 總計 男性患者 15 35 50 女性患者 6 44 50 總計 21 79 100 設(shè)H0：服用此藥的效果與患者的性別無關(guān)，則K2的觀測值k≈________，從而得出結(jié)論：服用此藥的效果與患者的性別有關(guān)，這種判斷出錯的可能性為________． 解析：由公式計算得K2的觀測值k≈4.882. 因為k>3.841，所以我們有95%的把握認為服用此藥的效果與患者的性別有關(guān)，從而出錯的可能性為5%. 答案：4.882　5% 8．在調(diào)查的480名男性中有38名患有色盲，520名女性中有6名患有色盲，請列出22列聯(lián)表，并估計色盲與性別是否有關(guān)系． 解：性別與色盲列聯(lián)表 色盲 不色盲 合計 男 38 442 480 女 6 514 520 合計 44 956 1 000 因為在調(diào)查的480名男性中，色盲占 ＝， 在調(diào)查的520名女性中，色盲占＝， >，且兩個比例的值相差較大， 故估計色盲與性別有關(guān)系． 9．某校數(shù)學課外興趣小組為研究數(shù)學成績是否與性別有關(guān)，先統(tǒng)計本校高三年級每個學生一學期數(shù)學成績的平均分(采用百分制)，剔除平均分在30分以下的學生后，共有男生300名，女生200名．現(xiàn)采用分層抽樣的方法，從中抽取了100名學生，按性別分為兩組，并將兩組學生成績分為6組，得到如下所示頻數(shù)分布表． 分數(shù)段 [40，50) [50，60) [60，70) [70，80) [80，90) [90，100] 男 3 9 18 15 6 9 女 6 4 5 10 13 2 (1)估計男、女生各自的平均分(同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點值作代表)，從計算結(jié)果看，數(shù)學成績與性別是否有關(guān)； (2)規(guī)定80分以上為優(yōu)秀(含80分)，請你根據(jù)已知條件作出22列聯(lián)表，并判斷是否在犯錯誤的概率不超過0.1的前提下認為數(shù)學成績與性別有關(guān)． 優(yōu)秀 非優(yōu)秀 總計 男生 女生 總計 100 解：(1)x男＝450.05＋550.15＋650.3＋750.25＋850.1＋950.15＝71.5， x女＝450.15＋550.1＋650.125＋750.25＋850.325＋950.05＝71.5， 因為x男＝x女，所以從男、女生各自的平均分來看，并不能判斷數(shù)學成績與性別是否有關(guān)． (2)由頻數(shù)分布表可知，在抽取的100名學生中，“男生組”中數(shù)學成績優(yōu)秀的有15人，“女生組”中數(shù)學成績優(yōu)秀的有15人，據(jù)此可得22列聯(lián)表如下： 優(yōu)秀 非優(yōu)秀 總計 男生 15 45 60 女生 15 25 40 總計 30 70 100 可得K2的觀測值為 k＝＝≈1.79， 因為1.79＜2.706，所以在犯錯誤的概率不超0.1的前提下不能認為數(shù)學成績與性別有關(guān)． [B　能力提升] 10．某校高三年級在一次全年級的大型考試中，數(shù)學成績優(yōu)秀和非優(yōu)秀的學生中，物理、化學、總成績優(yōu)秀的人數(shù)如下表所示，能否在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下認為數(shù)學成績優(yōu)秀與物理、化學、總成績優(yōu)秀有關(guān)系？ 物理優(yōu)秀 化學優(yōu)秀 總成績優(yōu)秀 數(shù)學優(yōu)秀 228 225 267 數(shù)學非優(yōu)秀 143 156 99 注：該年級在此次考試中數(shù)學成績優(yōu)秀的有360人，非優(yōu)秀的有880人． 解：列出數(shù)學成績與物理成績的22列聯(lián)表如下： 物理優(yōu)秀 物理非優(yōu)秀 總計 數(shù)學優(yōu)秀 228 132 360 數(shù)學非優(yōu)秀 143 737 880 總計 371 869 1 240 將表中數(shù)據(jù)代入公式，得K的觀測值為 k1＝≈270.1>10.828. 列出數(shù)學成績與化學成績的22列聯(lián)表如下： 化學優(yōu)秀 化學非優(yōu)秀 總計 數(shù)學優(yōu)秀 225 135 360 數(shù)學非優(yōu)秀 156 724 880 總計 381 859 1 240 將表中數(shù)據(jù)代入公式，得K的觀測值為 k2＝≈240.6>10.828. 列出數(shù)學成績與總成績的22列聯(lián)表如下： 總成績優(yōu)秀 總成績非優(yōu)秀 總計 數(shù)學優(yōu)秀 267 93 360 數(shù)學非優(yōu)秀 99 781 880 總計 366 874 1 240 將表中數(shù)據(jù)代入公式，得K的觀測值為 k3＝≈486.1>10.828. 由上面的分析知，K2的觀測值都大于10.828，說明在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下認為數(shù)學成績優(yōu)秀與物理、化學、總成績優(yōu)秀都有關(guān)系． 11．(選做題)2018年春節(jié)，“搶紅包”成為社會熱議的話題之一．某機構(gòu)對春節(jié)期間用戶利用手機“搶紅包”的情況進行調(diào)查，如果一天內(nèi)搶紅包的總次數(shù)超過10次為“關(guān)注點高”，否則為“關(guān)注點低”，調(diào)查情況如下表所示： 關(guān)注點高 關(guān)注點低 總計 男性用戶 5 女性用戶 7 8 總計 10 16 (1)把上表補充完整，并判斷能否在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認為性別與關(guān)注點高低有關(guān)？ (2)現(xiàn)要從上述男性用戶中隨機選出3名參加一項活動，以X表示選中的同學中搶紅包總次數(shù)超過10次的人數(shù)，求隨機變量X的分布列及數(shù)學期望E(X)． 下面的臨界值表供參考： P(K2≥k0) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 獨立性檢驗統(tǒng)計量K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d. 解：(1)根據(jù)題意得22列聯(lián)表如下： 關(guān)注點高 關(guān)注點低 總計 男性用戶 3 5 8 女性用戶 7 1 8 總計 10 6 16 K2的觀測值為k＝≈4.27>3.841. 所以，在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認為性別與關(guān)注點高低有關(guān)． (2)隨機變量X的所有可能取值為0，1，2，3. P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝. 得X的分布列為 X 0 1 2 3 P E(X)＝0＋1＋2＋3＝.