2019年高考數(shù)學大一輪復習 熱點聚焦與擴展 專題31 數(shù)形結合之——簡單線性規(guī)劃.doc
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專題31 數(shù)形結合之----簡單線性規(guī)劃 【熱點聚焦與擴展】 從考綱和考題中看,該部分內容難度不大,重點考查目標函數(shù)在線性約束條件下的最大值和最小值問題,或在目標函數(shù)的最值已知的條件下確定參數(shù)的值,命題形式以選擇、填空為主,但也有解答題以應用題的形式出現(xiàn).本專題重點說明利用數(shù)形結合法解答此類問題. (一)簡單線性規(guī)劃問題 1、相關術語: (1)線性約束條件:關于變量的一次不等式(或方程)組 (2)可行解:滿足線性約束條件的解 (3)可行域:所有可行解組成的集合 (4)目標函數(shù):關于的函數(shù)解析式 (5)最優(yōu)解:是目標函數(shù)取得最大值或最小值的可行解 2、如何在直角坐標系中作出可行域: (1)先作出圍成可行域的直線,利用“兩點唯一確定一條直線”可選取直線上的兩個特殊點(比如坐標軸上的點),以便快速做出直線 (2)如何判斷滿足不等式的區(qū)域位于直線的哪一側:一條曲線(或直線)將平面分成若干區(qū)域,則在同一區(qū)域的點,所滿足不等式的不等號方向相同,所以可用特殊值法,利用特殊點判斷其是否符合不等式,如果符合,則該特殊點所在區(qū)域均符合該不等式,具體來說有以下三種情況: ① 豎直線或水平線:可通過點的橫(縱)坐標直接進行判斷 ② 一般直線:可代入點進行判斷,若符合不等式,則原點所在區(qū)域即為不等式表示區(qū)域,否則則為另一半?yún)^(qū)域.例如:不等式,代入符合不等式,則所表示區(qū)域為直線的右下方 ③ 過原點的直線:無法代入,可代入坐標軸上的特殊點予以解決,或者利用象限進行判斷.例如::直線穿過一、三象限,二、四象限分居直線兩側.考慮第四象限的點,所以必有,所以第四象限所在區(qū)域含在表示的區(qū)域之中. (3)在作可行域時要注意邊界是否能夠取到:對于約束條件(或)邊界不能取值時,在圖像中邊界用虛線表示;對于約束條件(或)邊界能取值時,在圖像中邊界用實線表示 3、利用數(shù)形結合尋求最優(yōu)解的一般步驟 (1)根據(jù)約束條件,在平面直角坐標系中作出可行域所代表的區(qū)域 (2)確定目標函數(shù)在式子中的幾何意義,常見的幾何意義有:(設為常數(shù)) ① 線性表達式——與縱截距相關:例如,則有,從而的取值與動直線的縱截距相關,要注意的符號,若,則的最大值與縱截距最大值相關;若,則的最大值與縱截距最小值相關. ② 分式——與斜率相關(分式):例如:可理解為是可行域中的點與定點連線的斜率. ③ 含平方和——與距離相關:例如:可理解為是可行域中的點與定點距離的平方. (3)根據(jù)的意義尋找最優(yōu)解,以及的范圍(或最值) 4、線性目標函數(shù)影響最優(yōu)解選取的要素:當目標函數(shù)直線斜率與約束條件直線斜率符號相同時,目標函數(shù)直線斜率與約束條件直線斜率的大小會影響最優(yōu)解的選取. (1)在斜率符號相同的情況下:越大,則直線越“陡” (2)在作圖和平移直線的過程中,圖像不必過于精確,但斜率符號相同的直線之間,陡峭程度要與斜率絕對值大小關系一致,這樣才能保證最優(yōu)解選取的準確 (3)當目標函數(shù)的斜率與約束條件中的某條直線斜率相同時,有可能達到最值的最優(yōu)解有無數(shù)多個(位于可行域的邊界上) (4)當目標函數(shù)的斜率含參時,涉及到最優(yōu)解選取的分類討論,討論通常以約束條件中同符號的斜率作為分界點. (二)非常規(guī)線性規(guī)劃問題解答策略 第一依然要借助可行域及其圖形;第二,要確定參數(shù)的作用,讓含參數(shù)的圖形運動起來尋找規(guī)律;第三,要能將圖形中的特點與關系翻譯成代數(shù)的語言,并進行精確計算. 【經(jīng)典例題】 例1. 【2017課標II,理5】設,滿足約束條件,則的最小值是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 例2. 【2017課標3,理13】若,滿足約束條件,則的最小值為__________. 【答案】 【解析】 【名師點睛】求線性目標函數(shù)z=ax+by(ab≠0)的最值,當b>0時,直線過可行域且在y軸上截距最大時,z值最大,在y軸截距最小時,z值最小;當b<0時,直線過可行域且在y軸上截距最大時,z值最小,在y軸上截距最小時,z值最大. 例3. 【2018年5月2018屆高三第三次全國大聯(lián)考】已知實數(shù),滿足約束條件,則的最小值為( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】作出不等式組表示的平面區(qū)域如下圖中陰影部分所示,易知表示可行域內的點到點的距離的平方,所以.故選A. 例4.【2018年5月2018屆高三第三次全國大聯(lián)考】已知實數(shù)滿足約束條件,則的取值范圍為( ) A. B. C. D. 【答案】B 例5.【2018屆寧夏銀川市第二中學二?!吭O不等式組所表示的平面區(qū)域是Ω1,平面區(qū)域Ω2與Ω1關于直線3x-4y-9=0對稱.對于Ω1中的任意點A與Ω2中的任意點B,|AB|的最小值等于( ) A. B. 4 C. D. 2 【答案】B 【解析】分析:根據(jù)已知的約束條件,畫出滿足約束條件的可行域Ω1,根據(jù)對稱的性質,不難得到:當A點距對稱軸的距離最近時,|AB|有最小值. 詳解: 故選B. 點睛:本題是常規(guī)的線性規(guī)劃問題,線性規(guī)劃問題常出現(xiàn)的形式有:①直線型,轉化成斜截式比較截距,要注意前面的系數(shù)為負時,截距越大,值越?。虎诜质叫?,其幾何意義是已知點與未知點的斜率;③平方型,其幾何意義是距離,尤其要注意的是最終結果應該是距離的平方;④絕對值型,轉化后其幾何意義是點到直線的距離. 例6.【2018屆云南省曲靖市第一中學4月監(jiān)測(七)】若不等式,表示的平面區(qū)域為三角形且其面積等于,則的最小值為( ) A. -2 B. C. -3 D. 1 【答案】A 【解析】分析:先做出不等式組對應的平面區(qū)域,求出三角形的各頂點坐標,利用三角形的面積公式確定值,再利用平移目標函數(shù)直線確定最優(yōu)解. 詳解:作出不等式組表示的平面區(qū)域(如圖所示), 由圖象,得當直線過點時, 取得最小值為.故選A. 例7.【2018屆湖南師范大學附屬中學高三月考六】已知滿足約束條件若取得最大值的最優(yōu)解不唯一,則實數(shù)的值為( ) A. 或-1 B. 2或 C. -2或1 D. 2或-1 【答案】C 【解析】分析:作出不等式組對應的平面區(qū)域,利用目標函數(shù)的幾何意義,得到直線的斜率的變換,從而求出的值. 詳解:作出不等式組表示的平面區(qū)域,如圖所示, 則直線與直線平行,此時; 綜上或,故選C. 例8.【2018屆百校聯(lián)盟TOP20四月聯(lián)考】已知,若存在點,使得,則的取值范圍為( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】分析:作出不等式組表示的可行域,利用圖象的直觀性建立的不等式組,即可求出的取值范圍. 詳解:作出不等式組表示的可行域,如圖, 要使可行域存在,必有,若可行域存在點,使得, 則可行域內含有直線上的點,只需邊界點在直線上方, 且在直線下方,解不等式,解得 故選:C 例9.【2018屆山西省孝義市一?!恳阎坏仁浇M表示的平面區(qū)域為,若函數(shù)的圖象上存在區(qū)域上的點,則實數(shù)的取值范圍是( ) A. B. C. D. 【答案】C 由可解得,即B(2,﹣1)此時有﹣1=|2﹣1|+m,解得m=﹣2; 由可解得,即B(1,1)此時有1=|1﹣1|+m,解得m=1; 故實數(shù)m的取值范圍為[﹣2,1], 故答案為[﹣2,1]. 故選C. 例10.【2018屆北京市海淀區(qū)二?!績蓚€居民小區(qū)的居委會欲組織本小區(qū)的中學生,利用雙休日去市郊的敬老院參加獻愛心活動.兩個校區(qū)每位同學的往返車費及服務老人的人數(shù)如下表: 小區(qū) 小區(qū) 往返車費 3元 5元 服務老人的人數(shù) 5人 3人 根據(jù)安排,去敬老院的往返總車費不能超過37元,且小區(qū)參加獻愛心活動的同學比小區(qū)的同學至少多1人,則接受服務的老人最多有____人. 【答案】 【解析】分析:設兩區(qū)參加活動同學的人數(shù)分別為,受到服務的老人人數(shù)為, 找出約束條件與目標函數(shù),準確地描畫可行域,平移直線可求得滿足題設的最優(yōu)解. 詳解: 當時,取得最大值為, 即接受服務的老人最多有人,故答案為. 【精選精練】 1.【2018屆遼寧省丹東市模擬二】若點滿足不等式組,則的取值范圍為( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】分析:將不等式組的可行域表示在平面直角坐標系中,進而利用,即,轉化為區(qū)域內的點和定點連線的斜率即可. 詳解: 故選A. 2.【2018屆黑龍江省哈爾濱師范大學附屬中學三?!吭O點滿足約束條件,且,則這樣的點共有( )個 A. 12 B. 11 C. 10 D. 9 【答案】A 【解析】分析:由約束條件畫出可行域,根據(jù)可行域,利用,可逐一寫出滿足條件的點,從而可得結果. 詳解: 畫出表示的可行域,由圖可知,滿足,得, 共有,, 共個,故選A. 3.【2018屆陜西省咸陽市三?!恳阎獙崝?shù),滿足給,中間插入5個數(shù),這7個數(shù)構成以為首項,為末項的等差數(shù)列,則這7個數(shù)和的最大值為( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】分析:實數(shù)x,y滿足,如圖所示,畫出可行域△ABC.給x,y中間插入5個數(shù),這7個數(shù)構成以x為首項,y為末項的等差數(shù)列,則這7個數(shù)和=,令x+y=t,則y=﹣x+t.利用線性規(guī)劃 因此這7個數(shù)和=的最大值為, 故答案為:D 4.【2018屆相陽教育“黌門云”高考模擬】已知,滿足約束條件,若的最小值為1,則=( ) A. 2 B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】畫出可行域如下圖所示,由圖可知,目標函數(shù)在點處取得最小值,即.故選C. 5.【2018屆第三次全國大聯(lián)考】已知不等式組表示的平面區(qū)域為,若以原點為圓心的圓與無公共點,則圓的半徑的取值范圍為( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】作出不等式組表示的平面區(qū)域,如圖中陰影部分所示, 可知當圓的半徑小于原點到直線的距離或大于時,圓與無公共點,而原點到直線的距離為,,故圓的半徑的取值范圍為. 6.【2018屆浙江省寧波市5月模擬】已知實數(shù),滿足不等式組,則的最大值為( ) A. 0 B. 2 C. 4 D. 8 【答案】C |x﹣y|的幾何意義:表示區(qū)域內的點到直線x﹣y=0的距離的倍, 由圖可知點A(4,0)到直線x-y=0距離最大,所以|x﹣y|的最大值為 故答案為:C. 點睛:本題解題的關鍵是發(fā)現(xiàn)|x-y|的幾何意義,|x-y|它表示區(qū)域內的點到直線x﹣y=0的距離的倍,利用數(shù)形結合分析解答,可以提高解題效率.所以在今后的解題過程中,看到|ax+by|要聯(lián)想到點到直線的距離公式. 7.【2018屆廣東省佛山市檢測二】已知,設滿足約束條件,且的最小值為-4,則 ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 故選C. 8.【2018屆安徽省“皖南八校”第三次(4月)聯(lián)考】已知函數(shù),若滿足,則的取值范圍是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】分析:由已知條件可得,函數(shù)是定義在上的奇函數(shù),從而將題中的條件轉化為關于的二元一次不等式組,畫出相應的可行域,之后結合目標函數(shù)的幾何意義,確定最優(yōu)解的位置,從而求得范圍. 最小值,在點處取得最大值,而邊界值取不到,故答案是,故選C. 9.【2019屆高考全程訓練】某研究所計劃利用“神舟十一號”飛船進行新產(chǎn)品搭載實驗,計劃搭載新產(chǎn)品,要根據(jù)該產(chǎn)品的研制成本、產(chǎn)品質量、搭載實驗費用和預計產(chǎn)生收益來決定具體安排,通過調查,搭載每件產(chǎn)品有關數(shù)據(jù)如表: 因素 產(chǎn)品 產(chǎn)品 備注 研制成本、搭載費用之和/萬元 20 30 計劃最大投資 金額300萬元產(chǎn)品質量/千克 10 5 最大搭載 質量110千克預計收益/萬元 80 60 —— 則使總預計收益達到最大時, 兩種產(chǎn)品的搭載件數(shù)分別為( ) A. 9,4 B. 8,5 C. 9,5 D. 8,4 【答案】A 由解得,故M(9,4). 所以目標函數(shù)的最大值為zmax=809+604=960,此時搭載產(chǎn)品A有9件,產(chǎn)品B有4件. 故選A. 10.【2018屆第二次全國大聯(lián)考】若滿足不等式組,則目標函數(shù)的取值范圍是_____. 【答案】 【解析】 , 令,并作出不等式組表示的可行域如圖中陰影部分所示, 11.【2018屆遼寧省丹東市測試二】設實數(shù),滿足約束條件,則的取值范圍為_______. 【答案】 【解析】分析:畫出不等式組表示的可行域,將變形為,然后平移直線確定取最小和最大值時的最優(yōu)解,進而可得所求范圍. 詳解:畫出不等式組表示的可行域(如圖陰影部分所示). 12.【2018屆江西省景德鎮(zhèn)市第一中學等盟校第二次聯(lián)考】若實數(shù),滿足,則的取值范圍是__________. 【答案】 【解析】分析:畫出可行域,設,化為,平移直線,由可行域可得的取值范圍,從而可得的取值范圍. 詳解: 設,化為, 畫出,表示的可行域,平移直線,如圖, 故答案為.- 配套講稿:
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