《高考數(shù)學一輪復習學案訓練課件北師大版理科: 第5章 數(shù)列 第4節(jié) 數(shù)列求和學案 理 北師大版》由會員分享,可在線閱讀,更多相關《高考數(shù)學一輪復習學案訓練課件北師大版理科: 第5章 數(shù)列 第4節(jié) 數(shù)列求和學案 理 北師大版(6頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、
高考數(shù)學精品復習資料
2019.5
第四節(jié) 數(shù)列求和
[考綱傳真] (教師用書獨具)1.掌握等差、等比數(shù)列的前n項和公式.2.掌握特殊的非等差、等比數(shù)列的幾種常見的求和方法.
(對應學生用書第87頁)
[基礎知識填充]
1.公式法
(1)等差數(shù)列的前n項和公式:
Sn==na1+d;
(2)等比數(shù)列的前n項和公式:
Sn=
2.幾種數(shù)列求和的常用方法
(1)分組求和法:一個數(shù)列的通項公式是由若干個等差或等比或可求和的數(shù)列組成的,則求和時可用分組求和法,分別求和而后相加減.
(2)裂項相消法:把數(shù)列的
2、通項拆成兩項之差,在求和時中間的一些項可以相互抵消,從而求得前n項和.裂項時常用的三種變形:
①=-;
②=;
③=-.
(3)錯位相減法:如果一個數(shù)列的各項是由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列的對應項之積構成的,那么求這個數(shù)列的前n項和即可用錯位相減法求解.
(4)倒序相加法:如果一個數(shù)列{an}與首末兩端等“距離”的兩項的和相等或等于同一個常數(shù),那么求這個數(shù)列的前n項和即可用倒序相加法求解.
(5)并項求和法:一個數(shù)列的前n項和中,可兩兩結合求解,則稱之為并項求和.形如an=(-1)nf(n)類型,可采用兩項合并求解.
例如,Sn=1002-992+982-972+…+22-12
3、
=(100+99)+(98+97)+…+(2+1)=5 050.
[基本能力自測]
1.(思考辨析)判斷下列結論的正誤.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)如果數(shù)列{an}為等比數(shù)列,且公比不等于1,則其前n項和Sn=.( )
(2)當n≥2時,=.( )
(3)求Sn=a+2a2+3a3+…+nan之和時只要把上式等號兩邊同時乘以a即可根據(jù)錯位相減法求得.( )
(4)如果數(shù)列{an}是周期為k(k為大于1的正整數(shù))的周期數(shù)列,那么Skm=mSk.( )
[答案] (1)√ (2)√ (3)× (4)√
2.(教材改編)數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若an=,
4、則S5等于( )
A.1 B.
C. D.
B [∵an==-,
∴S5=a1+a2+…+a5=1-+-+…-=.]
3.數(shù)列{an}的通項公式是an=,前n項和為9,則n等于( )
A.9 B.99
C.10 D.100
B [∵an==-,∴Sn=a1+a2+…+an=(-)+(-)+…+(-)+(-)=-1,令-1=9,得n=99,故選B.]
4.數(shù)列{an}的前n項和為Sn,已知Sn=1-2+3-4+…+(-1)n-1·n,則S17=________.
9 [S17=1-2+3-4+5-6+…+15-16+17=1+(-2+3)+(-4+5)+(-6+
5、7)+…+(-14+15)+(-16+17)=1+1+1+…+1=9.]
5.若數(shù)列{an}的通項公式為an=2n+2n-1,則數(shù)列{an}的前n項和Sn=__________.
2n+1-2+n2 [Sn=+=2n+1-2+n2.]
(對應學生用書第87頁)
分組轉化求和
(20xx·北京高考)已知{an}是等差數(shù)列,{bn}是等比數(shù)列,且b2=3,b3=9,a1=b1,a14=b4.
(1)求{an}的通項公式;
(2)設cn=an+bn,求數(shù)列{cn}的前n項和.
[解] (1)設等比數(shù)列{bn}的公比為q,
則q===3,
所以b1==1,b4=b
6、3q=27,所以bn=3n-1(n=1,2,3,…).
設等差數(shù)列{an}的公差為d.
因為a1=b1=1,a14=b4=27,
所以1+13d=27,即d=2.
所以an=2n-1(n=1,2,3,…).
(2)由(1)知an=2n-1,bn=3n-1.
因此cn=an+bn=2n-1+3n-1.
從而數(shù)列{cn}的前n項和
Sn=1+3+…+(2n-1)+1+3+…+3n-1
=+=n2+.
[規(guī)律方法] 分組轉化法求和的常見類型
(1)若an =bn±cn,且{bn},{cn}為等差或等比數(shù)列,則可采用分組求和法求{an}的前n項和.
(2)通項公式為an=的數(shù)列
7、,其中數(shù)列{bn},{cn}是等比數(shù)列或等差數(shù)列,可采用分組求和法求和.
易錯警示:注意在含有字母的數(shù)列中對字母的分類討論.
[跟蹤訓練] (20xx·南昌一模)已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且a1=1,S3+S4=S5.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)令bn=(-1)n-1an,求數(shù)列{bn}的前2n項和T2n.
[解] (1)設等差數(shù)列{an}的公差為d,
由S3+S4=S5可得a1+a2+a3=a5,即3a2=a5,
∴3(1+d)=1+4d,解得d=2.
∴an=1+(n-1)×2=2n-1.
(2)由(1)可得bn=(-1)n-1·(2n-1).
8、
∴T2n=1-3+5-7+…+(2n-3)-(2n-1)
=(-2)×n=-2n.
裂項相消法求和
(20xx·全國卷Ⅲ)設數(shù)列{an}滿足a1+3a2+…+(2n-1)an=2n.
(1)求{an}的通項公式;
(2)求數(shù)列的前n項和.
[解] (1)因為a1+3a2+…+(2n-1)an=2n,故當n≥2時,
a1+3a2+…+(2n-3)an-1=2(n-1),
兩式相減得(2n-1)an=2,
所以an=(n≥2).
又由題設可得a1=2,滿足上式,
所以{an}的通項公式為an=.
(2)記的前n項和為Sn.
由(1)知==-,
則Sn
9、=-+-+…+-=.
[規(guī)律方法] 利用裂項相消法求和的注意事項,(1)抵消后并不一定只剩下第一項和最后一項,也有可能前面剩兩項,后面也剩兩項.,(2)消項規(guī)律:消項后前邊剩幾項,后邊就剩幾項,前邊剩第幾項,后邊就剩倒數(shù)第幾項.,(3)將通項裂項后,有時需要調整前面的系數(shù),使裂開的兩項之差和系數(shù)之積與原通項相等.如:若{an}是等差數(shù)列,則=,=.
[跟蹤訓練] (20xx·石家莊一模)已知等差數(shù)列{an}中,2a2+a3+a5=20,且前10項和S10=100.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)若bn=,求數(shù)列{bn}的前n項和.
【導學號:79140181】
[解]
10、 (1)由已知得
解得
所以數(shù)列{an}的通項公式為an=1+2(n-1)=2n-1.
(2)bn==,
所以Tn=
==.
錯位相減法求和
(20xx·山東高考)已知{an}是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列,且a1+a2=6,a1a2=a3.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2){bn}為各項非零的等差數(shù)列,其前n項和為Sn.已知S2n+1=bnbn+1,求數(shù)列的前n項和Tn.
[解] (1)設{an}的公比為q,
由題意知a1(1+q)=6,aq=a1q2,
又an>0,由以上兩式聯(lián)立方程組解得a1=2,q=2,
所以an=2n.
(2)由題意知S2n
11、+1==(2n+1)bn+1,
又S2n+1=bnbn+1,bn+1≠0,
所以bn=2n+1.
令cn=,則cn=.
因此Tn=c1+c2+…+cn
=+++…++,
又Tn=+++…++,
兩式相減得
Tn=+-,
所以Tn=5-.
[規(guī)律方法] (1)錯位相減法求和的適用范圍
如果數(shù)列{an}是等差數(shù)列,{bn}是等比數(shù)列,求數(shù)列{an·bn}的前n項和時,可采用錯位相減法求和.
(2)錯位相減法求和的注意事項
①在寫出“Sn”與“qSn”的表達式時應特別注意將兩式“錯項對齊”以便下一步準確寫出“Sn-qSn”的表達式.
②在應用錯位相減法求和時,若等比數(shù)列
12、的公比為參數(shù),應分公比等于1和不等于1兩種情況求解.
[跟蹤訓練] (20xx·石家莊質檢(二))已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若Sm-1=-4,Sm=0,Sm+2=14(m≥2,且m∈N+).
【導學號:79140182】
(1)求m的值;
(2)若數(shù)列{bn}滿足=log2bn(n∈N+),求數(shù)列{(an+6)·bn}的前n項和.
[解] (1)由已知得am=Sm-Sm-1=4,
且am+1+am+2=Sm+2-Sm=14,
設數(shù)列{an}的公差為d,則2am+3d=14,
∴d=2.
由Sm=0,得ma1+×2=0,即a1=1-m,
∴am=a1+(m-1)×2=m-1=4,
∴m=5.
(2)由(1)知a1=-4,d=2,∴an=2n-6,
∴n-3=log2bn,得bn=2n-3.
∴(an+6)·bn=2n×2n-3=n×2n-2.
設數(shù)列{(an+6)·bn}的前n項和為Tn,
∴Tn=1×2-1+2×20+…+(n-1)×2n-3+n×2n-2,?、?
2Tn=1×20+2×21+…+(n-1)×2n-2+n×2n-1,?、?
①-②,得-Tn=2-1+20+…+2n-2-n×2n-1
=-n×2n-1
=2n-1--n×2n-1,
∴Tn=(n-1)·2n-1+(n∈N+).