《新版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)學(xué)案訓(xùn)練課件: 第5章 數(shù)列 第4節(jié) 數(shù)列求和學(xué)案 理 北師大版》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《新版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)學(xué)案訓(xùn)練課件: 第5章 數(shù)列 第4節(jié) 數(shù)列求和學(xué)案 理 北師大版(6頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、
1
2、 1
第四節(jié) 數(shù)列求和
[考綱傳真] (教師用書獨(dú)具)1.掌握等差、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式.2.掌握特殊的非等差、等比數(shù)列的幾種常見的求和方法.
(對應(yīng)學(xué)生用書第87頁)
[基礎(chǔ)知識填充]
1.公式法
(1)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式:
Sn==na1+d;
(2)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式:
Sn=
2.幾種數(shù)列求和的常用方法
(1)分組求和法:一個數(shù)列的通項(xiàng)公式
3、是由若干個等差或等比或可求和的數(shù)列組成的,則求和時可用分組求和法,分別求和而后相加減.
(2)裂項(xiàng)相消法:把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差,在求和時中間的一些項(xiàng)可以相互抵消,從而求得前n項(xiàng)和.裂項(xiàng)時常用的三種變形:
①=-;
②=;
③=-.
(3)錯位相減法:如果一個數(shù)列的各項(xiàng)是由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列的對應(yīng)項(xiàng)之積構(gòu)成的,那么求這個數(shù)列的前n項(xiàng)和即可用錯位相減法求解.
(4)倒序相加法:如果一個數(shù)列{an}與首末兩端等“距離”的兩項(xiàng)的和相等或等于同一個常數(shù),那么求這個數(shù)列的前n項(xiàng)和即可用倒序相加法求解.
(5)并項(xiàng)求和法:一個數(shù)列的前n項(xiàng)和中,可兩兩結(jié)合求解,則稱之為并項(xiàng)求和.形如
4、an=(-1)nf(n)類型,可采用兩項(xiàng)合并求解.
例如,Sn=1002-992+982-972+…+22-12
=(100+99)+(98+97)+…+(2+1)=5 050.
[基本能力自測]
1.(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)如果數(shù)列{an}為等比數(shù)列,且公比不等于1,則其前n項(xiàng)和Sn=.( )
(2)當(dāng)n≥2時,=.( )
(3)求Sn=a+2a2+3a3+…+nan之和時只要把上式等號兩邊同時乘以a即可根據(jù)錯位相減法求得.( )
(4)如果數(shù)列{an}是周期為k(k為大于1的正整數(shù))的周期數(shù)列,那么Skm=mSk.(
5、 )
[答案] (1)√ (2)√ (3)× (4)√
2.(教材改編)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若an=,則S5等于( )
A.1 B.
C. D.
B [∵an==-,
∴S5=a1+a2+…+a5=1-+-+…-=.]
3.?dāng)?shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an=,前n項(xiàng)和為9,則n等于( )
A.9 B.99
C.10 D.100
B [∵an==-,∴Sn=a1+a2+…+an=(-)+(-)+…+(-)+(-)=-1,令-1=9,得n=99,故選B.]
4.?dāng)?shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,已知Sn=1-2+3-4+…+(-1)n-1·n,則S17=___
6、_____.
9 [S17=1-2+3-4+5-6+…+15-16+17=1+(-2+3)+(-4+5)+(-6+7)+…+(-14+15)+(-16+17)=1+1+1+…+1=9.]
5.若數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=2n+2n-1,則數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=__________.
2n+1-2+n2 [Sn=+=2n+1-2+n2.]
(對應(yīng)學(xué)生用書第87頁)
分組轉(zhuǎn)化求和
(20xx·北京高考)已知{an}是等差數(shù)列,{bn}是等比數(shù)列,且b2=3,b3=9,a1=b1,a14=b4.
(1)求{an}的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)cn=an+bn,求數(shù)
7、列{cn}的前n項(xiàng)和.
[解] (1)設(shè)等比數(shù)列{bn}的公比為q,
則q===3,
所以b1==1,b4=b3q=27,所以bn=3n-1(n=1,2,3,…).
設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d.
因?yàn)閍1=b1=1,a14=b4=27,
所以1+13d=27,即d=2.
所以an=2n-1(n=1,2,3,…).
(2)由(1)知an=2n-1,bn=3n-1.
因此cn=an+bn=2n-1+3n-1.
從而數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和
Sn=1+3+…+(2n-1)+1+3+…+3n-1
=+=n2+.
[規(guī)律方法] 分組轉(zhuǎn)化法求和的常見類型
(1)若an =bn±
8、cn,且{bn},{cn}為等差或等比數(shù)列,則可采用分組求和法求{an}的前n項(xiàng)和.
(2)通項(xiàng)公式為an=的數(shù)列,其中數(shù)列{bn},{cn}是等比數(shù)列或等差數(shù)列,可采用分組求和法求和.
易錯警示:注意在含有字母的數(shù)列中對字母的分類討論.
[跟蹤訓(xùn)練] (20xx·南昌一模)已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且a1=1,S3+S4=S5.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)令bn=(-1)n-1an,求數(shù)列{bn}的前2n項(xiàng)和T2n.
[解] (1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,
由S3+S4=S5可得a1+a2+a3=a5,即3a2=a5,
∴3(1+d)=1+4d
9、,解得d=2.
∴an=1+(n-1)×2=2n-1.
(2)由(1)可得bn=(-1)n-1·(2n-1).
∴T2n=1-3+5-7+…+(2n-3)-(2n-1)
=(-2)×n=-2n.
裂項(xiàng)相消法求和
(20xx·全國卷Ⅲ)設(shè)數(shù)列{an}滿足a1+3a2+…+(2n-1)an=2n.
(1)求{an}的通項(xiàng)公式;
(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和.
[解] (1)因?yàn)閍1+3a2+…+(2n-1)an=2n,故當(dāng)n≥2時,
a1+3a2+…+(2n-3)an-1=2(n-1),
兩式相減得(2n-1)an=2,
所以an=(n≥2).
又由題設(shè)可得a
10、1=2,滿足上式,
所以{an}的通項(xiàng)公式為an=.
(2)記的前n項(xiàng)和為Sn.
由(1)知==-,
則Sn=-+-+…+-=.
[規(guī)律方法] 利用裂項(xiàng)相消法求和的注意事項(xiàng),(1)抵消后并不一定只剩下第一項(xiàng)和最后一項(xiàng),也有可能前面剩兩項(xiàng),后面也剩兩項(xiàng).,(2)消項(xiàng)規(guī)律:消項(xiàng)后前邊剩幾項(xiàng),后邊就剩幾項(xiàng),前邊剩第幾項(xiàng),后邊就剩倒數(shù)第幾項(xiàng).,(3)將通項(xiàng)裂項(xiàng)后,有時需要調(diào)整前面的系數(shù),使裂開的兩項(xiàng)之差和系數(shù)之積與原通項(xiàng)相等.如:若{an}是等差數(shù)列,則=,=.
[跟蹤訓(xùn)練] (20xx·石家莊一模)已知等差數(shù)列{an}中,2a2+a3+a5=20,且前10項(xiàng)和S10=100.
(1)
11、求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)若bn=,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和.
【導(dǎo)學(xué)號:79140181】
[解] (1)由已知得
解得
所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=1+2(n-1)=2n-1.
(2)bn==,
所以Tn=
==.
錯位相減法求和
(20xx·山東高考)已知{an}是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列,且a1+a2=6,a1a2=a3.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2){bn}為各項(xiàng)非零的等差數(shù)列,其前n項(xiàng)和為Sn.已知S2n+1=bnbn+1,求數(shù)列的前n項(xiàng)和Tn.
[解] (1)設(shè){an}的公比為q,
由題意知a1(1+q)=6,a
12、q=a1q2,
又an>0,由以上兩式聯(lián)立方程組解得a1=2,q=2,
所以an=2n.
(2)由題意知S2n+1==(2n+1)bn+1,
又S2n+1=bnbn+1,bn+1≠0,
所以bn=2n+1.
令cn=,則cn=.
因此Tn=c1+c2+…+cn
=+++…++,
又Tn=+++…++,
兩式相減得
Tn=+-,
所以Tn=5-.
[規(guī)律方法] (1)錯位相減法求和的適用范圍
如果數(shù)列{an}是等差數(shù)列,{bn}是等比數(shù)列,求數(shù)列{an·bn}的前n項(xiàng)和時,可采用錯位相減法求和.
(2)錯位相減法求和的注意事項(xiàng)
①在寫出“Sn”與“qSn”的表達(dá)
13、式時應(yīng)特別注意將兩式“錯項(xiàng)對齊”以便下一步準(zhǔn)確寫出“Sn-qSn”的表達(dá)式.
②在應(yīng)用錯位相減法求和時,若等比數(shù)列的公比為參數(shù),應(yīng)分公比等于1和不等于1兩種情況求解.
[跟蹤訓(xùn)練] (20xx·石家莊質(zhì)檢(二))已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若Sm-1=-4,Sm=0,Sm+2=14(m≥2,且m∈N+).
【導(dǎo)學(xué)號:79140182】
(1)求m的值;
(2)若數(shù)列{bn}滿足=log2bn(n∈N+),求數(shù)列{(an+6)·bn}的前n項(xiàng)和.
[解] (1)由已知得am=Sm-Sm-1=4,
且am+1+am+2=Sm+2-Sm=14,
設(shè)數(shù)列{an}的公差為d,
14、則2am+3d=14,
∴d=2.
由Sm=0,得ma1+×2=0,即a1=1-m,
∴am=a1+(m-1)×2=m-1=4,
∴m=5.
(2)由(1)知a1=-4,d=2,∴an=2n-6,
∴n-3=log2bn,得bn=2n-3.
∴(an+6)·bn=2n×2n-3=n×2n-2.
設(shè)數(shù)列{(an+6)·bn}的前n項(xiàng)和為Tn,
∴Tn=1×2-1+2×20+…+(n-1)×2n-3+n×2n-2,?、?
2Tn=1×20+2×21+…+(n-1)×2n-2+n×2n-1,?、?
①-②,得-Tn=2-1+20+…+2n-2-n×2n-1
=-n×2n-1
=2n-1--n×2n-1,
∴Tn=(n-1)·2n-1+(n∈N+).