《新版【創(chuàng)新方案】高考數(shù)學(xué)理一輪突破熱點(diǎn)題型：第3章 第6節(jié) 正弦定理和余弦定理》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《新版【創(chuàng)新方案】高考數(shù)學(xué)理一輪突破熱點(diǎn)題型：第3章 第6節(jié) 正弦定理和余弦定理（4頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、
1
2、 1
考點(diǎn)一
利用正、余弦定理解三角形
[例1] (1)(20xx·天津高考)在△ABC中，∠ABC＝，AB＝，BC＝3，則sin ∠BAC＝( )
A. B. C. D.
(2)(20xx·安徽高考)設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)邊的長(zhǎng)分別為a， b，c.若b＋c＝2a,3sin A＝5sin B，則角C＝________.
3、
(3)(20xx·浙江高考)在△ABC中，∠C＝90°，M是BC的中點(diǎn)，若sin∠BAM＝，則sin∠BAC＝________.
[自主解答] (1)由余弦定理可得AC2＝9＋2－2×3××＝5，所以AC＝.再由正弦定理得＝，所以sin A＝＝＝.
(2)由3sin A＝5sin B，可得3a＝5b，又b＋c＝2a，所以可令a＝5t(t>0)，則b＝3t，c＝7t，可得cos C＝＝＝－，又C∈(0，π)，故C＝.
(3)在△ABM中，由正弦定理得＝＝，設(shè)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，所以a＝，整理得(3a2－2c2)2＝0，＝，故sin∠BAC＝＝.
[答案] (1)C (
4、2) (3)
【方法規(guī)律】
正、余弦定理的應(yīng)用原則
(1)正弦定理是一個(gè)連比等式，在運(yùn)用此定理時(shí)，只要知道其比值或等量關(guān)系就可以通過(guò)約分達(dá)到解決問(wèn)題的目的，在解題時(shí)要學(xué)會(huì)靈活運(yùn)用．
(2)運(yùn)用余弦定理時(shí)，要注意整體思想的運(yùn)用．
1．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.若asin Bcos C＋csin Bcos A＝b，且a＞b，則∠B＝( )
A. B. C. D.
解析：選A 由正弦定理得sin Asin Bcos C＋sin Csin Bcos A＝sin B，
∴sin Bsin(A＋C)＝sin B.
5、又∵sin B≠0，∴sin(A＋C)＝，即sin B＝，
∴B＝或.又∵a＞b，∴A＞B，∴B＝.
2．已知銳角△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c,23cos2A＋cos 2A＝0，a＝7，c＝6，則b＝( )
A．10 B．9 C．8 D．5
解析：選D 由23cos2A＋cos 2A＝0，得25cos2A＝1，因?yàn)锳為銳角，所以cos A＝.又由a2＝b2＋c2－2bccos A，得49＝b2＋36－b，整理得5b2－12b－65＝0，解得b＝－(舍)或b＝5.即b＝5.
考點(diǎn)二
利用正、余弦定理判斷三角形的形狀
6、
[例2] 在△ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，且2asin A＝(2b＋c)sin B＋(2c＋b)sin C.
(1)求A的大小；
(2)若sin B＋sin C＝1，試判斷△ABC的形狀．
[自主解答] (1)由已知，根據(jù)正弦定理得2a2＝(2b＋c)b＋(2c＋b)c，即a2＝b2＋c2＋bc，
由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A，故cos A＝－，又0＜c＜π，所以A＝120°.
(2)由(1)得sin2A＝sin2B＋sin2C＋sin Bsin C.又sin B＋sin C＝1，得sin B＝sin C＝.
因?yàn)?＜B＜，0＜C＜，故B＝
7、C＝，所以△ABC是等腰鈍角三角形．
【互動(dòng)探究】
若將本例(2)中的條件改為“(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sin(A＋B)”，試判斷△ABC的形狀．
解：∵(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sin(A＋B)，
∴b2[sin(A＋B)＋sin(A－B)]＝a2[sin(A＋B)－sin(A－B)]，
∴2sin Acos B·b2＝2cos Asin B·a2，即a2cos Asin B＝b2sin Acos B.
由正弦定理知a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，∴sin2Acos Asin B＝sin2Bsin Acos B，
又sin A·
8、sin B≠0，∴sin Acos A＝sin Bcos B，∴sin 2A＝sin 2B.
在△ABC中，0＜2A＜2π，0＜2B＜2π，∴2A＝2B或2A＝π－2B，
∴A＝B或A＋B＝.∴△ABC為等腰或直角三角形
【方法規(guī)律】
判定三角形形狀的兩種常用途徑
(1)通過(guò)正弦定理和余弦定理，化邊為角，利用三角變換得出三角形內(nèi)角之間的關(guān)系進(jìn)行判斷．
(2)利用正弦定理、余弦定理，化角為邊，通過(guò)代數(shù)恒等變換，求出三條邊之間的關(guān)系進(jìn)行判斷．
(20xx·陜西高考)設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若bcos C＋ccos B＝asin A，則△A
9、BC的形狀為( )
A．直角三角形 B．銳角三角形
C．鈍角三角形 D．不確定
解析：選A 依據(jù)題設(shè)條件的特點(diǎn)，邊化角選用正弦定理，有sin Bcos C＋cos Bsin C＝sin2A，則sin(B＋C)＝sin2A，由三角形內(nèi)角和及互補(bǔ)角的意義，得sin(B＋C)＝sin A＝sin2A，即sin A＝1，所以A＝.即△ABC為直角三角形．
高頻考點(diǎn)
考點(diǎn)三 與三角形面積有關(guān)的問(wèn)題
1．正、余弦定理與三角形面積的綜合問(wèn)題是每年高考的重點(diǎn)內(nèi)容，既有選擇、填空題，也有解答題，難度適中，屬中檔題．
2．高考對(duì)
10、此類問(wèn)題的考查主要有以下兩個(gè)命題角度：
(1)求三角形的面積；
(2)已知三角形的面積解三角形．
[例3] (1)(20xx·新課標(biāo)全國(guó)卷Ⅱ)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知b＝2，B＝，C＝，則△ABC的面積為( )
A．2＋2 B.＋1
C．2－2 D.－1
(2)( 20xx·湖北高考)在△ABC中，角A，B，C對(duì)應(yīng)的邊分別是a，b，c.已知cos 2A－3cos(B＋C)＝1.
①求角A的大??；
②若△ABC的面積S＝5，b＝5，求sin Bsin C的值．
[自主解答] (1)由正弦定理知＝，結(jié)合條件
11、得c＝＝2.又sin A＝sin(π－B－C)＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C＝，所以△ABC的面積S＝bcsin A＝＋1.
(2)①由cos 2A－3cos(B＋C)＝1，得2cos2 A＋3cos A－2＝0，即(2cos A－1)(cos A＋2)＝0，解得cos A＝或cos A＝－2(舍去)．因?yàn)?
12、2A＝×＝.
[答案] (1)B
與三角形面積有關(guān)問(wèn)題的常見(jiàn)類型及解題策略
(1)求三角形的面積．對(duì)于面積公式S＝absin C＝acsin B＝bcsin A，一般是已知哪一個(gè)角就使用含哪個(gè)角的公式．
(2)已知三角形的面積解三角形．與面積有關(guān)的問(wèn)題，一般要利用正弦定理或余弦定理進(jìn)行邊和角的互化．
1．已知a，b，c分別為△ABC三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，acos C＋asin C－b－c＝0.
(1)求A；
(2)若a＝2，△ABC的面積為，求b，c.
解：(1)由acos C＋asin C－b－c＝0及正弦定理得
sin Acos C＋sin Asin C－si
13、n B－sin C＝0.
因?yàn)锽＝π－A－C，所以sin Asin C－cos Asin C－sin C＝0.
由于sin C≠0，所以sin＝.又0＜A＜π，故A＝.
(2)△ABC的面積S＝bcsin A＝，故bc＝4.
而a2＝b2＋c2－2bccos A，故b2＋c2＝8.解得b＝c＝2.
2．(20xx·新課標(biāo)全國(guó)卷Ⅱ)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知a＝bcos C＋csin B.
(1)求B；
(2)若b＝2，求△ABC面積的最大值．
解：(1)由已知及正弦定理得sin A＝sin Bcos C＋sin Csin B.
又A＝π－(B＋C)，
14、故sin A＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C.
所以sin Bsin C＝cos Bsin C，
又C∈(0，π)，所以sin C≠0，故sin B＝cos B.又B∈(0，π)，所以B＝.
(2)△ABC的面積S＝acsin B＝ac.由已知及余弦定理得4＝a2＋c2－2accos.
又a2＋c2≥2ac，故ac≤，當(dāng)且僅當(dāng)a＝c時(shí)，等號(hào)成立．因此△ABC面積的最大值為＋1.
————————————[課堂歸納——通法領(lǐng)悟]————————————————
1組關(guān)系——三角形中的邊角關(guān)系
在△ABC中，A＞B?a＞b?sin A＞sin B?cos A＜cos B.
2種途徑——判斷三角形形狀的途徑
根據(jù)所給條件確定三角形的形狀，主要有兩種途徑：
(1)化邊為角；(2)化角為邊，并常用正弦(余弦)定理實(shí)施邊、角轉(zhuǎn)換．
2個(gè)注意點(diǎn)——解三角形應(yīng)注意的問(wèn)題
(1)在利用正弦定理解已知三角形的兩邊和其中一邊的對(duì)角求另一邊的對(duì)角，進(jìn)而求出其他的邊和角時(shí)，有時(shí)可能出現(xiàn)一解、兩解或無(wú)解，所以要進(jìn)行分類討論．
(2)在判斷三角形形狀時(shí)，等式兩邊一般不要約去公因式，應(yīng)移項(xiàng)提取公因式，以免漏解．
新版【創(chuàng)新方案】高考數(shù)學(xué)理一輪突破熱點(diǎn)題型：第3章 第6節(jié) 正弦定理和余弦定理
