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十、解析幾何(B組)
大題集訓練，練就慧眼和規(guī)范，占領高考制勝點！ 姓名：________ 班級：________
1．已知圓E：x2＋2＝經過橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點F1、F2，且與橢圓C在第一象限的交點為A，且F1，E，A三點共線．直線l交橢圓C于M，N兩點，且＝λ(λ≠0)．
(1)求橢圓C的方程；
(2)當△AMN的面積最大時，求直線l的方
3、程．
解：(1)∵F1，E，A三點共線，∴F1A為圓E的直徑，
∴AF2⊥F1F2.
由x2＋2＝，得x＝±，
∴c＝，∴|AF2|2＝|AF1|2－|F1F2|2＝9－8＝1，|AF2|＝1，
∴2a＝|AF1|＋|AF2|＝4，a＝2，
∵a2＝b2＋c2，∴b＝，
∴橢圓C的方程為＋＝1.
(2)易知點A的坐標為(，1)，
∵＝λ(λ≠0)，
∴直線l的斜率為，
故設直線l的方程為y＝x＋m，
聯立
消去y，得x2＋mx＋m2－2＝0，
設M(x1，y1)，N(x2，y2)，
∴x1＋x2＝－m，x1x2＝m2－2，
由Δ＝2m2－4m2＋8>0，得－2<
4、m<2.
|MN|＝|x2－x1|
＝
＝，
點A到直線l的距離d＝，
∴S△AMN＝|MN|·d
＝×|m|
＝≤·＝，
當且僅當4－m2＝m2，即m＝±時等號成立，
此時直線l的方程為y＝x±.
2．(20xx·遼寧東北育才學校五模)如圖，F是橢圓＋＝1(a>b>0)的右焦點，O是坐標原點，|OF|＝，過F作OF的垂線交橢圓于P0，Q0兩點，△OP0Q0的面積為.
(1)求該橢圓的標準方程；
(2)若直線l與上、下半橢圓分別交于點P、Q，與x軸交于點M，且|PM|＝2|MQ|，求△OPQ的面積取得最大值時直線l的方程．
解：(1)由題意可得c＝，設P0(x0，
5、y0)，
將x0＝c代入橢圓方程可得
y0＝±b＝±，
即有△OP0Q0的面積為|P0Q0|·c＝，
即··＝，又a2－b2＝5，
∴a＝3，b＝2，
∴該橢圓的標準方程為＋＝1.
(2)設M(t,0)，且<1.
設直線PQ：x＝my＋t，代入橢圓方程，
可得(4m2＋9)y2＋8mty＋4t2－36＝0，
設P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
則y1＋y2＝－，y1y2＝<0，①
由|PM|＝2|MQ|，可得＝2，
即有－y1＝2y2，代入①可得，
t2＝，即有m2＝，即有1
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