2018-2019學年高中數(shù)學 模塊綜合試卷 新人教A版選修4-4.docx

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模塊綜合試卷 (時間：90分鐘　滿分：120分) 一、選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分) 1．極坐標方程ρ＝－4cosθ化為直角坐標方程是(　　) A．x－4＝0 B．x＋4＝0 C．(x＋2)2＋y2＝4 D．x2＋(y＋2)2＝4 答案　C 2．在極坐標系中，曲線ρ＝4sinθ圍成的圖形面積為(　　) A．πB．4C．4π D．16 答案　C 3．設點P的直角坐標為(－3,3)，以原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系(0≤θ<2π)，則點P的極坐標為(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　由已知得ρ＝＝3， tanθ＝＝－1，又點P在第二象限，∴θ＝， ∴點P的極坐標為. 4．已知拋物線C1：(t為參數(shù))，圓C2的極坐標方程為ρ＝r(r>0)，若斜率為1的直線過拋物線C1的焦點，且與圓C2相切，則r等于(　　) A．1 B.C. D．2 答案　C 解析　拋物線C1的普通方程為y2＝8x，焦點為(2,0)，故直線方程為y＝x－2，即x－y－2＝0，圓的直角坐標方程為x2＋y2＝r2，由題意＝r，得r＝. 5．曲線x2＋y2＝4與曲線(θ∈[0,2π))關于直線l對稱，則l的方程為(　　) A．y＝x－2 B．y＝x C．y＝－x＋2 D．y＝x＋2 答案　D 解析　設圓x2＋y2＝4的圓心為O(0,0)， 圓θ∈[0,2π)的圓心為C(－2,2)， ∵⊙O與⊙C關于直線l對稱， ∴l(xiāng)為線段OC的垂直平分線． ∵kOC＝－1，∴kl＝1， ∴l(xiāng)的方程為y－1＝x－(－1)，即y＝x＋2. 6．已知曲線C的參數(shù)方程是(θ為參數(shù))，則曲線C不經(jīng)過第二象限的一個充分不必要條件是(　　) A．a≥2 B．a>3 C．a≥1 D．a<0 答案　B 7．直線(t為參數(shù))被圓x2＋y2＝9截得的弦長為(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　直線的普通方程為x－2y＋3＝0， 圓的圓心坐標為(0,0)，半徑r＝3， ∴圓心到直線的距離d＝＝， ∴所求弦長為2＝. 8．過橢圓C：(θ為參數(shù))的右焦點F作直線l交橢圓C于M，N兩點，|MF|＝m，|NF|＝n，則＋的值為(　　) A. B. C. D．不能確定 答案　B 解析　曲線C為橢圓＋＝1，右焦點為F(1,0)，設l：(t為參數(shù))代入橢圓方程， 得(3＋sin2θ)t2＋6cos θt－9＝0， ∴t1t2＝－，t1＋t2＝－， ∴＋＝＋＝＝＝. 二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分) 9．已知直線l：(t為參數(shù))過定點P，曲線C的極坐標方程為ρ＝2sinθ，直線l與曲線C交于A，B兩點，則|PA||PB|的值為________． 答案　1 解析　將直線l：(t為參數(shù))代入曲線C：ρ＝2sin θ的直角坐標方程x2＋y2－2y＝0，整理，得t2－(＋1)t＋1＝0，設直線l與曲線C的交點A，B的對應的參數(shù)分別為t1，t2，則t1t2＝1，即|PA||PB|＝|t1t2|＝1. 10．在平面直角坐標系xOy中，以原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系．若P點為直線ρcosθ－ρsinθ－4＝0上一點，點Q為曲線(t為參數(shù))上一點，則|PQ|的最小值為________． 答案　 解析　直線ρcosθ－ρsinθ－4＝0的直角坐標方程為x－y－4＝0，曲線(t為參數(shù))的普通方程為y＝x2，依題意，設與直線x－y－4＝0平行的直線方程為x－y＋c＝0，即y＝x＋c，代入y＝x2，得x2－4x－4c＝0，依題意，Δ＝16＋16c＝0，所以c＝－1，即直線x－y－1＝0與拋物線y＝x2相切，所以平行線間的距離d＝＝. 11．曲線(t為參數(shù)，且t>0)與曲線(θ為參數(shù))的交點坐標是________． 答案　(1,2) 解析　將參數(shù)方程化為普通方程分別為y＝x＋1(x>0)，y＝2x2.將y＝x＋1代入y＝2x2，得2x2－x－1＝0，解得x＝1(x＝－舍去)，則y＝2， 所以交點坐標是(1,2)． 12．已知曲線C的極坐標方程是ρ＝2sinθ，直線l的參數(shù)方程是(t為參數(shù))．設直線l與x軸的交點為M，N是曲線C上一動點，則|MN|的最大值為________． 答案?。? 解析　曲線C的極坐標方程可化為ρ2＝2ρsin θ，又x2＋y2＝ρ2，x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，所以，曲線C的直角坐標方程為x2＋y2－2y＝0. 將直線l的參數(shù)方程化成普通方程為y＝－(x－2)． 令y＝0，得x＝2，即M點的坐標為(2,0)． 又曲線C為圓，圓C的圓心坐標為(0,1)，半徑r＝1， 則|MC|＝，∴|MN|≤|MC|＋r＝＋1. 三、解答題(本大題共6小題，共60分) 13．(10分)在極坐標系中，直線l的極坐標方程為θ＝(ρ∈R)，以極點為原點，極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標系，曲線C的參數(shù)方程為(α為參數(shù))，求直線l與曲線C的交點P的直角坐標． 解　因為直線l的極坐標方程為θ＝(ρ∈R)， 所以直線l的普通方程為y＝x.① 又因為曲線C的參數(shù)方程為(α為參數(shù))， 所以曲線C的直角坐標方程為y＝x2(x∈[－2,2])．② 聯(lián)立①②得或 根據(jù)x的范圍應舍去 故P點的直角坐標為(0,0)． 14．(10分)已知某圓的極坐標方程為ρ2－4ρcos＋6＝0，求： (1)圓的普通方程和參數(shù)方程； (2)圓上所有點(x，y)中，xy的最大值和最小值． 解　(1)原方程可化為 ρ2－4ρ＋6＝0， 即ρ2－4ρcos θ－4ρsin θ＋6＝0.① 因為ρ2＝x2＋y2，x＝ρcosθ，y＝ρsinθ， 所以①可化為x2＋y2－4x－4y＋6＝0， 即(x－2)2＋(y－2)2＝2，即為所求圓的普通方程． 設 所以參數(shù)方程為(θ為參數(shù))． (2)由(1)可知xy＝(2＋cosθ)(2＋sin θ) ＝4＋2(cosθ＋sin θ)＋2cos θsinθ ＝3＋2(cosθ＋sin θ)＋(cosθ＋sin θ)2. 設t＝cosθ＋sin θ， 則t＝sin，t∈[－，]． 所以xy＝3＋2t＋t2＝(t＋)2＋1. 當t＝－時，xy有最小值1；當t＝時，xy有最大值9. 15．(10分)設A，B為橢圓＋y2＝1上滿足OA⊥OB(O為原點)的兩點，O為垂足． (1)以O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，求橢圓的極坐標方程； (2)求＋的值； (3)判斷直線AB與圓C：x2＋y2＝的位置關系． 解　(1)以原點O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，將x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入橢圓方程＋y2＝1，得橢圓的極坐標方程為＝＋sin2θ.① (2)由條件可設A(ρ1，α)，B并代入①， 得＝＋sin2α，＝＋cos2α， ∴＋＝＋sin2α＋＋cos2α＝， 即＋＝. (3)設原點O到直線AB的距離為d， 則由|OA||OB|＝d|AB|， 得d＝＝＝ ＝＝＝r， 因此直線AB與圓C相切． 16．(10分)在平面直角坐標系xOy中，直線l經(jīng)過點P(－1，0)，其傾斜角為α，以原點O為極點，以x軸正半軸為極軸，與直角坐標系xOy取相同的長度單位，建立極坐標系，設曲線C的極坐標方程為ρ2－6ρcosθ＋1＝0. (1)寫出直線l的參數(shù)方程，若直線l與曲線C有公共點，求α的取值范圍； (2)設M(x，y)為曲線C上任意一點，求x＋y的取值范圍． 解　(1)因為曲線C的極坐標方程為ρ2－6ρcos θ＋1＝0， 所以曲線C的直角坐標方程為x2＋y2－6x＋1＝0. 因為直線l經(jīng)過點P(－1,0)，其傾斜角為α， 所以直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))， 將代入x2＋y2－6x＋1＝0， 整理得t2－8tcos α＋8＝0， 因為直線l與曲線C有公共點， 所以Δ＝64cos2α－32≥0， 即cosα≥或cosα≤－， 因為α∈[0，π)，所以α的取值范圍是∪. (2)已知M(x，y)是曲線C：(x－3)2＋y2＝8上一點， 則(θ為參數(shù))． 所以x＋y＝3＋2(sin θ＋cosθ)＝3＋4sin， 所以x＋y的取值范圍是[－1,7]． 17．(10分)(2017全國Ⅱ)在直角坐標系xOy中，以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C1的極坐標方程為ρcosθ＝4. (1)M為曲線C1的動點，點P在線段OM上，且滿足|OM||OP|＝16，求點P的軌跡C2的直角坐標方程； (2)設點A的極坐標為，點B在曲線C2上，求△OAB面積的最大值． 解　(1)設點P的極坐標為(ρ，θ)(ρ>0)，點M的極坐標為(ρ1，θ)(ρ1>0)．由題設知|OP|＝ρ，|OM|＝ρ1＝. 由|OM||OP|＝16得C2的極坐標方程為ρ＝4cosθ(ρ>0)． 因此C2的直角坐標方程為(x－2)2＋y2＝4(x≠0)． (2)設點B的極坐標為(ρB，α)(ρB>0)． 由題設知|OA|＝2，ρB＝4cosα， 于是△OAB的面積S＝|OA|ρBsin∠AOB ＝4cosα ＝2≤2＋. 當α＝－時，S取得最大值2＋. 所以△OAB面積的最大值為2＋. 18．(10分)已知曲線C1：(θ為參數(shù))，曲線C2：(t為參數(shù))． (1)指出C1，C2各是什么曲線，并說明C1與C2公共點的個數(shù)； (2)若把C1，C2上各點的縱坐標都壓縮為原來的一半，分別得到曲線C1′，C2′，寫出C1′，C2′的參數(shù)方程．C1′與C2′公共點的個數(shù)和C1與C2公共點的個數(shù)是否相同？說明你的理由． 解　(1)C1是圓，C2是直線，C1的普通方程為x2＋y2＝1，圓心為C1(0,0)，半徑r＝1. C2的普通方程為x－y＋＝0， 因為圓心C1到直線x－y＋＝0的距離為1， 所以C1與C2只有一個公共點． (2)壓縮后的參數(shù)方程分別為C1′：(θ為參數(shù))， C2′：(t為參數(shù))， 化為普通方程為C1′：x2＋4y2＝1，C2′：y＝x＋， 聯(lián)立消元得2x2＋2x＋1＝0，其判別式Δ＝(2)2－421＝0，所以壓縮后的直線與橢圓仍然只有一個公共點，和原來相同．