2018版高中數(shù)學 第2章 數(shù)列 2.3.1 第1課時 等比數(shù)列學案 新人教B版必修5.doc

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第1課時　等比數(shù)列 1.理解等比數(shù)列的定義.(重點) 2.掌握等比數(shù)列的通項公式及其應用.(重點、難點) 3.熟練掌握等比數(shù)列的判定方法.(易錯點) [基礎(chǔ)初探] 教材整理1　等比數(shù)列的定義 閱讀教材P44～P45倒數(shù)第10行，完成下列問題. 1.等比數(shù)列的概念 (1)文字語言： 如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的比都等于同一常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等比數(shù)列，這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，通常用字母q表示(q≠0). (2)符號語言： ＝q(q為常數(shù)，q≠0，n∈N＋). 2.等比中項 (1)前提：三個數(shù)x，G，y成等比數(shù)列. (2)結(jié)論：G叫做x，y的等比中項. (3)滿足的關(guān)系式：G2＝xy. 判斷(正確的打“√”，錯誤的打“”) (1)常數(shù)列一定是等比數(shù)列.(　　) (2)存在一個數(shù)列既是等差數(shù)列，又是等比數(shù)列.(　　) (3)等比數(shù)列中的項可以為零.(　　) (4)若a，b，c三個數(shù)滿足b2＝ac，則a，b，c一定能構(gòu)成等比數(shù)列.(　　) 【解析】　(1).因為各項均為0的常數(shù)列不是等比數(shù)列. (2)√.因為任何一個各項不為0的常數(shù)列既是等差數(shù)列，又是等比數(shù)列. (3).因為等比數(shù)列的各項與公比均不能為0. (4).因為等比數(shù)列各項不能為0；若a，b，c成等比數(shù)列，則b2＝ac，但是反之不成立，比如：a＝0，b＝0，c＝1，則a，b，c就不是等比數(shù)列. 【答案】　(1)　(2)√　(3)　(4) 教材整理2　等比數(shù)列的通項公式 閱讀教材P45～P47，完成下列問題. 1.等比數(shù)列的通項公式 一般地，對于等比數(shù)列{an}的第n項an，有公式an＝a1qn－1.這就是等比數(shù)列{an}的通項公式，其中a1為首項，q為公比. 2.等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系 等比數(shù)列的通項公式可整理為an＝qn，而y＝qx(q≠1)是一個不為0的常數(shù)與指數(shù)函數(shù)qx的乘積，從圖象上看，表示數(shù)列qn中的各項的點是函數(shù)y＝qx的圖象上的孤立點. 1.在等比數(shù)列{an}中，a1＝4，公比q＝3，則通項公式an＝________. 【解析】　an＝a1qn－1＝43n－1. 【答案】　43n－1 2.已知{an}是等比數(shù)列，a2＝2，a5＝，則公比q＝________. 【解析】　∵a2＝a1q＝2， ① a5＝a1q4＝， ② ∴②①得：q3＝，∴q＝. 【答案】　 3.在等比數(shù)列{an}中，已知a2＝3，a5＝24，則a8＝________. 【解析】　由得 所以a8＝27＝192. 【答案】　192 [小組合作型] 等比數(shù)列的判斷與證明 　(1)下列數(shù)列是等比數(shù)列的是(　　) A.2,2，－2，－2,2,2，－2，－2，… B.－1,1，－1,1，－1，… C.0,2,4,6,8,10，… D.a1，a2，a3，a4，… (2)已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝2－an，求證：數(shù)列{an}是等比數(shù)列. 【精彩點撥】　(1)利用等比數(shù)列的定義判定. (2)先利用Sn與an的關(guān)系，探求an，然后利用等比數(shù)列的定義判定. 【自主解答】　(1)A.從第2項起，每一項與前一項的比不是同一常數(shù)，故不選A. B.由等比數(shù)列定義知該數(shù)列為等比數(shù)列. C.等比數(shù)列各項均不為0，故該數(shù)列不是等比數(shù)列. D.當a＝0時，該數(shù)列不是等比數(shù)列；當a≠0時，該數(shù)列為等比數(shù)列. 【答案】　B (2)證明：∵Sn＝2－an，∴Sn＋1＝2－an＋1. ∴an＋1＝Sn＋1－Sn＝(2－an＋1)－(2－an)＝an－an＋1，∴an＋1＝an. 又∵S1＝2－a1， ∴a1＝1≠0. 又由an＋1＝an知an≠0， ∴＝，∴{an}是等比數(shù)列. 判斷一個數(shù)列{an}是等比數(shù)列的方法： (1)定義法：若數(shù)列{an}滿足＝q(q為常數(shù)且不為零)或＝q(n≥2，q為常數(shù)且不為零)，則數(shù)列{an}是等比數(shù)列. (2)等比中項法：對于數(shù)列{an}，若a,＝anan＋2且an≠0，則數(shù)列{an}是等比數(shù)列. (3)通項公式法：若數(shù)列{an}的通項公式為an＝a1qn－1(a1≠0，q≠0)，則數(shù)列{an}是等比數(shù)列. [再練一題] 1.已知數(shù)列{an}是首項為2，公差為－1的等差數(shù)列，令bn＝an，求證數(shù)列{bn}是等比數(shù)列，并求其通項公式. 【證明】　由已知得，an＝2＋(n－1)(－1)＝3－n， 故＝＝ ＝＝2， ∴數(shù)列{bn}是等比數(shù)列. ∵b1＝＝， ∴bn＝2n－1＝2n－3. 等比中項 　(1)等比數(shù)列{an}中，a1＝，q＝2，則a4與a8的等比中項是(　　) A.4　　　B.4　　　C.　　　D. (2)已知b是a，c的等比中項，求證：ab＋bc是a2＋b2與b2＋c2的等比中項. 【導學號：18082031】 【精彩點撥】　(1)用定義求等比中項. (2)證明(ab＋bc)2＝(a2＋b2)(b2＋c2)即可. 【自主解答】　(1)由an＝2n－1＝2n－4知，a4＝1，a8＝24，所以a4與a8的等比中項為4. 【答案】　A (2)證明：b是a，c的等比中項，則b2＝ac，且a，b，c均不為零， 又(a2＋b2)(b2＋c2)＝a2b2＋a2c2＋b4＋b2c2＝a2b2＋2a2c2＋b2c2， (ab＋bc)2＝a2b2＋2ab2c＋b2c2＝a2b2＋2a2c2＋b2c2，所以(ab＋bc)2＝(a2＋b2)(b2＋c2)，即ab＋bc是a2＋b2與b2＋c2的等比中項. 等比中項應用的三點注意： (1)由等比中項的定義可知＝?G2＝ab?G＝，所以只有a，b同號時，a，b的等比中項有兩個，異號時，沒有等比中項. (2)在一個等比數(shù)列中，從第二項起，每一項(有窮數(shù)列的末項除外)都是它的前一項和后一項的等比中項. (3)a，G，b成等比數(shù)列等價于G2＝ab(ab>0). [再練一題] 2.設(shè)等差數(shù)列{an}的公差d不為0，a1＝9d，若ak是a1與a2k的等比中項，則k等于(　　) A.2 B.4 C.6 D.8 【解析】　∵an＝(n＋8)d， 又∵a＝a1a2k， ∴[(k＋8)d]2＝9d(2k＋8)d， 解得k＝－2(舍去)， k＝4. 【答案】　B [探究共研型] 等比數(shù)列的通項公式 探究1　類比歸納等差數(shù)列通項公式的方法，你能歸納出首項為a1，公比為q的等比數(shù)列{an}的通項公式嗎？ 【提示】　由等比數(shù)列的定義可知： a2＝a1q，a3＝a2q＝a1q2，a4＝a3q＝a1q3， a5＝a4q＝a1q4… 由此歸納等比數(shù)列{an}的通項公式為an＝a1qn－1. 探究2　由等比數(shù)列的定義式＝q(q≠0)你能用累乘法求出用首項a1，公比q表示的通項公式嗎？能用等比數(shù)列中任意一項am及公比q表示an嗎？ 【提示】　由＝q，知＝q，＝q， ＝q，…，＝q，將以上各式兩邊分別相乘可得＝qn－1，則an＝a1qn－1； 由兩式相比得＝qn－m， 則an＝amqn－m，事實上該式為等比數(shù)列通項公式的推廣. 探究3　在等比數(shù)列的通項公式an＝a1qn－1中，若已知a1＝2，q＝，你能求出a3嗎？若已知a1＝2，a3＝8，你能求出公比q嗎？這說明了什么？ 【提示】　若a1＝2，q＝，則a3＝2＝； 若a1＝2，a3＝8，則2q2＝8， 所以q＝2， 由此說明在an＝a1qn－1中所含四個量中能“知三求一”. 　(1)在等比數(shù)列{an}中，已知a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求n； (2)已知等比數(shù)列{an}為遞增數(shù)列，且a＝a10,2(an＋an＋2)＝5an＋1，求數(shù)列{an}的通項公式an. 【精彩點撥】　(1)先由a2＋a5＝18，a3＋a6＝9， 列出方程組，求出a1，q，然后再由an＝1解出n. (2)根據(jù)條件求出基本量a1，q，再求通項公式. 【自主解答】　(1)法一　因為 由得q＝，從而a1＝32. 又an＝1，所以32＝1， 即26－n＝20，所以n＝6. 法二　因為a3＋a6＝q(a2＋a5)，所以q＝. 由a1q＋a1q4＝18，得a1＝32. 由an＝a1qn－1＝1，得n＝6. (2)由2(an＋an＋2)＝5an＋1?2q2－5q＋2＝0?q＝2或，由a＝a10＝a1q9>0?a1>0，又數(shù)列{an}遞增，所以q＝2. a＝a10>0?(a1q4)2＝a1q9?a1＝q＝2，所以數(shù)列{an}的通項公式為an＝2n. 1.等比數(shù)列的通項公式涉及4個量a1，an，n，q，只要知道其中任意三個就能求出另外一個，在這四個量中，a1和q是等比數(shù)列的基本量，只要求出這兩個基本量，問題便迎刃而解. 2.關(guān)于a1和q的求法通常有以下兩種方法： (1)根據(jù)已知條件，建立關(guān)于a1，q的方程組，求出a1，q后再求an，這是常規(guī)方法. (2)充分利用各項之間的關(guān)系，直接求出q后，再求a1，最后求an，這種方法帶有一定的技巧性，能簡化運算. [再練一題] 3.在等比數(shù)列{an}中， (1)若它的前三項分別為5，－15,45，求a5； (2)若a4＝2，a7＝8，求an. 【導學號：18082032】 【解】　(1)∵a5＝a1q4，而a1＝5， q＝＝－3， ∴a5＝405. (2)因為 所以 由得q3＝4，從而q＝，而a1q3＝2， 于是a1＝＝，所以an＝a1qn－1＝2. 1.在等比數(shù)列{an}中，若a1＜0，a2＝18，a4＝8，則公比q等于(　　 A. B. C.－ D.或－ 【解析】　由解得或 又a1＜0，因此q＝－. 【答案】　C 2.如果－1，a，b，c，－9成等比數(shù)列，那么(　　) A.b＝3，ac＝9 B.b＝－3，ac＝9 C.b＝3，ac＝－9 D.b＝－3，ac＝－9 【解析】　因為b2＝(－1)(－9)＝9，a2＝－1b＝－b＞0，所以b＜0，所以b＝－3，且a，c必同號. 所以ac＝b2＝9. 【答案】　B 3.在等比數(shù)列{an}中，若a3＝3，a4＝6，則a5＝________. 【解析】　法一：由q＝＝＝2，所以a5＝a4q＝12. 法二：由等比數(shù)列的定義知，a3，a4，a5成等比數(shù)列，＝，∴a＝a3a5，∴a5＝＝12. 【答案】　12 4.已知等比數(shù)列{an}的前三項依次為a－1，a＋1，a＋4，則an＝________. 【解析】　由已知可知(a＋1)2＝(a－1)(a＋4)， 解得a＝5，所以a1＝4，a2＝6，所以q＝＝＝， 所以an＝4. 【答案】　4 5.在等比數(shù)列{an}中，a3＝32，a5＝8， (1)求數(shù)列{an}的通項公式an； (2)若an＝，求n. 【解】　(1)因為a5＝a3q2，所以q2＝＝. 所以q＝. 當q＝時，an＝a3qn－3＝32＝28－n； 當q＝－時，an＝a3qn－3＝32. 所以an＝28－n或an＝32. (2)當an＝時，28－n＝或32 ＝，解得n＝9.