新編高考數(shù)學復習：第二章 ：第三節(jié)　函數(shù)的奇偶性與周期性突破熱點題型

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1、新編高考數(shù)學復習資料 第三節(jié)　函數(shù)的奇偶性與周期性 考點一 函數(shù)奇偶性的判斷 　 [例1]　(1)若函數(shù)f(x)＝3x＋3－x與g(x)＝3x－3－x的定義域均為R，則(　　) A．f(x)與g(x)均為偶函數(shù) B．f(x)為偶函數(shù)，g(x)為奇函數(shù) C．f(x)與g(x)均為奇函數(shù) D．f(x)為奇函數(shù)，g(x)為偶函數(shù) (2)下列函數(shù)： ①f(x)＝＋；②f(x)＝x3－x； ③f(x)＝ln(x＋)；④f(x)＝ln. 其中奇函數(shù)的個數(shù)是(　　) A．1　 　　　B．2　 　　　C．3　 　　　D．4 [自主解答]　(1)由f(－x)＝3－x＋3

2、x＝f(x)可知f(x)為偶函數(shù)，由g(－x)＝3－x－3x＝－(3x－ 3－x)＝－g(x)可知g(x)為奇函數(shù)． (2)①f(x)＝＋的定義域為{－1,1}， 又f(－x)＝±f(x)＝0， 則f(x)＝＋既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)； ②f(x)＝x3－x的定義域為R， 又f(－x)＝(－x)3－(－x)＝－(x3－x)＝－f(x)， 則f(x)＝x3－x是奇函數(shù)； ③由x＋＞x＋|x|≥0知f(x)＝ln(x＋)的定義域為R， 又f(－x)＝ln (－x＋)＝ln＝－ln(x＋)＝－f(x)，則f(x)＝ln(x＋)為奇函數(shù)； ④由＞0，得－1＜x＜1，即f(x)＝ln的定

3、義域為(－1,1)， 又f(－x)＝ln＝ln－1＝－ln＝－f(x)，則f(x)為奇函數(shù)． [答案]　(1)B　(2)D 【互動探究】 若將本例(2)中①對應(yīng)的函數(shù)改為“f(x)＝＋”，試判斷其奇偶性． 解：∵函數(shù)f(x)＝＋的定義域為{1}，不關(guān)于原點對稱， ∴函數(shù)f(x)既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)．　　　　　 【方法規(guī)律】 判斷函數(shù)奇偶性的方法 (1)判斷函數(shù)的奇偶性，首先看函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點對稱；在定義域關(guān)于原點對稱的條件下，再化簡解析式，根據(jù)f(－x)與f(x)的關(guān)系作出判斷． (2)分段函數(shù)指在定義域的不同子集有不同對應(yīng)關(guān)系的函數(shù)，分段函數(shù)奇偶性的判斷

4、，要分別從x＞0或x＜0來尋找等式f(－x)＝f(x)或f(－x)＝－f(x)成立，只有當對稱的兩個區(qū)間上滿足相同關(guān)系時，分段函數(shù)才具有確定的奇偶性． 判斷下列各函數(shù)的奇偶性： (1)f(x)＝(x＋1) ； (2)f(x)＝； (3)f(x)＝ 解：(1)由得，定義域為(－1,1]，關(guān)于原點不對稱，故f(x)為非奇非偶函數(shù)． (2)由得，定義域為(－1,0)∪(0,1)． ∴x－2＜0，∴|x－2|－2＝－x，∴f(x)＝. 又∵f(－x)＝＝－＝－f(x)， ∴函數(shù)f(x)為奇函數(shù)． (3)顯然函數(shù)f(x)的定義域為(－∞，0)∪(0，＋∞)，關(guān)于原點對稱．

5、∵當x＜0時，－x＞0，[來源:] 則f(－x)＝－(－x)2－x＝－x2－x＝－f(x)； 當x＞0時，－x＜0，則f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－f(x)； 綜上可知，對于定義域內(nèi)的任意x，總有f(－x)＝－f(x)成立，∴函數(shù)f(x)為奇函數(shù).[來源:] 考點二 函數(shù)奇偶性的應(yīng)用 　 [例2]　(1)(2013·湖南高考)已知f(x)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，且f(－1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(－1)＝4，則g(1)等于(　　) A．4 B．3 C．2 D．1 (2)(2013·重慶高考)已知函數(shù)f(x)＝ax3＋bs

6、in x＋4(a，b∈R)，f(lg(log210))＝5，則f(lg(lg 2))＝(　　) A．－5 B．－1 C．3 D．4 (3)已知函數(shù)y＝f(x)是R上的偶函數(shù)，且在(－∞，0]上是減函數(shù)，若f(a)≥f(2)，則實數(shù)a的取值范圍是________． [自主解答]　(1)由已知得f(－1)＝－f(1)，g(－1)＝g(1)，則有解得g(1)＝3. (2)∵f(x)＝ax3＋bsin x＋4，① ∴f(－x)＝a(－x)3＋bsin(－x)＋4， 即f(－x)＝－ax3－bsin x＋4，② ①＋②得f(x)＋f(－x)＝8，③ 又∵lg(

7、log210)＝lg＝lg(lg 2)－1＝－lg(lg 2)， ∴f(lg(log2 10))＝f(－lg(lg 2))＝5， 又由③式知 f(－lg(lg 2))＋f(lg(lg 2))＝8， ∴5＋f(lg(lg 2))＝8， ∴f(lg(lg 2))＝3. (3)∵y＝f(x)是R上的偶函數(shù)，且在(－∞，0]上是減函數(shù)， ∴函數(shù)y＝f(x)在[0，＋∞)上是增函數(shù)． ∴當a＞0時，由f(a)≥f(2)可得a≥2， 當a＜0時，由f(a)≥f(2)＝f(－2)，可得a≤－2. 所以實數(shù)a的取值范圍是(－∞，－2]∪[2，＋∞)． [答案]　(1)B　(2)C　(3)

8、(－∞，－2]∪[2，＋∞) 【互動探究】 若本例(3)中的f(x)為奇函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍． 解：因為f(x)為奇函數(shù)，且在(－∞，0]上是減函數(shù)，所以f(x)在R上為減函數(shù)．又f(a)≥f(2)，故a≤2，即實數(shù)a的取值范圍為(－∞，2]．　　　　　 【方法規(guī)律】 與函數(shù)奇偶性有關(guān)的問題及解決方法 (1)已知函數(shù)的奇偶性，求函數(shù)值 將待求值利用奇偶性轉(zhuǎn)化為已知區(qū)間上的函數(shù)值求解． (2)已知函數(shù)的奇偶性求解析式 將待求區(qū)間上的自變量，轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性構(gòu)造關(guān)于f(x)的方程(組)，從而得到f(x)的解析式． (3)已知函數(shù)的奇偶性，

9、求函數(shù)解析式中參數(shù)的值 常常利用待定系數(shù)法：利用f(x)±f(－x)＝0得到關(guān)于待求參數(shù)的恒等式，由系數(shù)的對等性得參數(shù)的值或方程求解． (4)應(yīng)用奇偶性畫圖象和判斷單調(diào)性 利用奇偶性可畫出另一對稱區(qū)間上的圖象及判斷另一區(qū)間上的單調(diào)性． 1．若定義在R上的偶函數(shù)f(x)和奇函數(shù)g(x)滿足f(x)＋g(x)＝ex，則g(x)＝(　　) A．ex－e－x B.(ex＋e－x) C.(e－x－ex) D.(ex－e－x) 解析：選D　∵f(x)＋g(x)＝ex，① ∴f(－x)＋g(－x)＝e－x.[來源:] 又∵f(－x)＝f(x)，g(－x

10、)＝－g(x)， ∴f(x)－g(x)＝e－x.② 由①②得 解得g(x)＝(ex－e－x)． 2．(2014·杭州模擬)設(shè)f(x)為定義在R上的奇函數(shù)．當x≥0時，f(x)＝2x＋2x＋b(b為常數(shù))，則f(－1)＝(　　) A．－3 B．－1 C．1 D．3 解析：選A　因為f(x)為定義在R上的奇函數(shù)，所以f(0)＝20＋2×0＋b＝0，解得b＝－1.所以當x≥0時，f(x)＝2x＋2x－1，所以f(－1)＝－f(1)＝－(21＋2×1－1)＝－3. 考點三 函數(shù)的周期性 　 [例3]　定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x＋6)＝f

11、(x)．當－3≤x＜－1時，f(x)＝－(x＋2)2；當－1≤x＜3時，f(x)＝x.則f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 012)＝(　　) 　 A．335 B．338 C．1 678 D．2 012 [自主解答]　由f(x＋6)＝f(x)可知，函數(shù)f(x)的周期為6，所以f(－3)＝f(3)＝－1，f(－2)＝f(4)＝0，f(－1)＝f(5)＝－1，f(0)＝f(6)＝0，f(1)＝1，f(2)＝2，所以在一個周期內(nèi)有f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝1＋2－1＋0－1＋0＝1，所以f(1)＋f(2)＋…＋f(2 012)＝f(1)＋f(2)＋335×1＝1＋2＋335＝

12、338. [答案]　B 【方法規(guī)律】 函數(shù)周期性的判定 判斷函數(shù)的周期只需證明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)便可證明函數(shù)是周期函數(shù)，且周期為T，函數(shù)的周期性常與函數(shù)的其他性質(zhì)綜合命題，是高考考查的重點問題． 設(shè)f(x)是定義在R上且周期為2的函數(shù)，在區(qū)間[－1,1]上，f(x)＝其中a，b∈R.若f＝f，則a＋3b的值為________． 解析：因為f(x)是定義在R上且周期為2的函數(shù)，所以f＝f，且f(－1)＝f(1)，故f＝f，所以＝－a＋1，即3a＋2b＝－2.① 由f(－1)＝f(1)，得－a＋1＝，即b＝－2a.② 由①②得a＝2，b＝－4，從而a＋3b＝－10

13、. 答案：－10 高頻考點 考點四 函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用 　 1．高考常將函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性及周期性相結(jié)合命題，以選擇題或填空題的形式考查，難度稍大，為中高檔題． 2．高考對函數(shù)性質(zhì)綜合應(yīng)用的考查主要有以下幾個命題角度： (1)單調(diào)性與奇偶性相結(jié)合； (2)周期性與奇偶性相結(jié)合； (3)單調(diào)性、奇偶性與周期性相結(jié)合． [例4]　(1)(2013·北京高考)下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞減的是(　　)[來源:][來源:] A．y＝ B．y＝e－x C．y＝－x2＋1 D．y＝lg|x| (2)(2014

14、·南昌模擬)已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x－4)＝－f(x)，且在區(qū)間[0,2]上是增函數(shù)，則(　　) A．f(－25)＜f(11)＜f(80) B．f(80)＜f(11)＜f(－25) C．f(11)＜f(80)＜f(－25) D．f(－25)＜f(80)＜f(11) (3)(2012·浙江高考)設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R上的周期為2的偶函數(shù)，當x∈[0,1]時，f(x)＝x＋1，則f＝________. [自主解答]　(1)A中y＝是奇函數(shù)，A不正確；B中y＝e－x＝x是非奇非偶函數(shù)，B不正確；C中y＝－x2＋1是偶函數(shù)且在(0，＋∞)上是單調(diào)遞減的，C正確；D中y＝l

15、g|x|在(0，＋∞)上是增函數(shù)，D不正確．故選C. (2)∵f(x)滿足f(x－4)＝－f(x)， ∴f(x－8)＝f(x)，∴函數(shù)f(x)是以8為周期的周期函數(shù)，則f(－25)＝f(－1)，f(80)＝f(0)，f(11)＝f(3)． 由f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且滿足f(x－4)＝－f(x)，得f(11)＝f(3)＝－f(－1)＝f(1)． ∵f(x)在區(qū)間[0,2]上是增函數(shù)，f(x)在R上是奇函數(shù)， ∴f(x)在區(qū)間[－2,2]上是增函數(shù)， ∴f(－1)＜f(0)＜f(1)，即f(－25)＜f(80)＜f(11)． (3)f＝f＝f＝＋1＝. [答案]　(1)C　

16、(2)D　(3) 函數(shù)性質(zhì)綜合應(yīng)用問題的常見類型及解題策略 (1)函數(shù)單調(diào)性與奇偶性的綜合．注意函數(shù)單調(diào)性及奇偶性的定義，以及奇、偶函數(shù)圖象的對稱性． (2)周期性與奇偶性的綜合．此類問題多考查求值問題，常利用奇偶性及周期性進行變換，將所求函數(shù)值的自變量轉(zhuǎn)化到已知解析式的函數(shù)定義域內(nèi)求解． (3)單調(diào)性、奇偶性與周期性的綜合．解決此類問題通常先利用周期性轉(zhuǎn)化自變量所在的區(qū)間，然后利用奇偶性和單調(diào)性求解． 1．函數(shù)f(x)是周期為4的偶函數(shù)，當x∈[0,2]時，f(x)＝x－1，則不等式xf(x)>0在[－1,3]上的解集為(　　) A．(1,3) B．(－

17、1,1) C．(－1,0)∪(1,3) D．(－1,0)∪(0,1) 解析：選C　f(x)的圖象如圖． 當x∈(－1,0)時，由xf(x)>0得x∈(－1,0)； 當x∈(0,1)時，由xf(x)<0得x∈?； 當x∈(1,3)時，由xf(x)>0得x∈(1,3)． 故x∈(－1,0)∪(1,3)． 2．(2014·濰坊模擬)已知函數(shù)f(x＋1)是定義在R上的奇函數(shù)，若對于任意給定的不相等實數(shù)x1、x2，不等式(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]＜0恒成立，則不等式f(1－x)＜0的解集為________． 解析：∵f(x＋1)是定義在R上的奇函數(shù)，∴f(－x＋1)

18、＝－f(x＋1)，令x＝0，則f(1)＝0.又∵(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]＜0，∴f(x)在R上單調(diào)遞減，∵f(1－x)＜0＝f(1)，∴1－x＞1，解得x＜0，∴不等式f(1－x)＜0的解集為(－∞，0)． 答案：(－∞，0) 3．(2014·麗水模擬)已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x－4)＝－f(x)，且在區(qū)間[0,2]上是增函數(shù)．若方程f(x)＝m(m＞0)在區(qū)間[－8,8]上有四個不同的根x1，x2，x3，x4，則x1＋x2＋x3＋x4＝________. 解析：∵f(x)為奇函數(shù)并且f(x－4)＝－f(x)． ∴f(x－4)＝－f(4－x)＝－f(x)

19、，即f(4－x)＝f(x)，且f(x－8)＝－f(x－4)＝f(x)， 即y＝f(x)的圖象關(guān)于x＝2對稱，并且是周期為8的周期函數(shù)． ∵f(x)在[0,2]上是增函數(shù)， ∴f(x)在[－2,2]上是增函數(shù)，在[2,6]上為減函數(shù)，據(jù)此可畫出y＝f(x)的圖象， 其圖象也關(guān)于x＝－6對稱， ∴x1＋x2＝－12，x3＋x4＝4， ∴x1＋x2＋x3＋x4＝－8. 答案：－8 ————————————[課堂歸納——通法領(lǐng)悟]———————————————— 1條規(guī)律——奇、偶函數(shù)定義域的特點 　奇、偶函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱． 函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱是函數(shù)具有奇偶性

20、的必要不充分條件． 2個性質(zhì)——奇、偶函數(shù)的兩個性質(zhì) 　(1)若奇函數(shù)f(x)在x＝0處有定義，則f(0)＝0. (2)設(shè)f(x)，g(x)的定義域分別是D1，D2，那么在它們的公共定義域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇． 3條結(jié)論——與周期性和對稱性有關(guān)的三條結(jié)論 　(1)若對于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，則y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝a對稱． (2)若對于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)，且f(2b－x)＝f(x)(其中a＜b)，則y＝f(x)是以2(b－a)為周期的周期函數(shù)． (3)若對于定義域內(nèi)的任意x都有f(x＋a)＝f(x＋b)(a≠b)，則函數(shù)f(x)是周期函數(shù)，其中一 個周期為T＝2|a－b|.