2020版高考理科數(shù)學(xué)人教版一輪復(fù)習(xí)講義：第十章 第八節(jié) 離散型隨機(jī)變量的均值與方差、正態(tài)分布 Word版含答案

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1、第八節(jié)第八節(jié)離散型隨機(jī)變量的均值與方差、正態(tài)分布離散型隨機(jī)變量的均值與方差、正態(tài)分布1.均值均值一般地，若離散型隨機(jī)變量一般地，若離散型隨機(jī)變量 X 的分布列為：的分布列為：Xx1x2xixnPp1p2pipn則稱則稱 E(X)x1p1x2p2xipixnpn為隨機(jī)變量為隨機(jī)變量 X 的均值或數(shù)學(xué)期望的均值或數(shù)學(xué)期望.它反映了離它反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平散型隨機(jī)變量取值的平均水平. 1 期望是算術(shù)平均值概念的推廣，是概率意義下的平均期望是算術(shù)平均值概念的推廣，是概率意義下的平均., , 2 E X 是一個實數(shù)，由是一個實數(shù)，由 X 的分的分布列唯一確定，即作為隨機(jī)變量，布列唯一確定，

2、即作為隨機(jī)變量，X 是可變的，可取不同值，而是可變的，可取不同值，而 E X 是不變的，它描述是不變的，它描述 X 取取值的平均狀態(tài)值的平均狀態(tài)., 3 E X x1p1x2p2xnpn直接給出了直接給出了 E X 的求法，即隨機(jī)變量取值與相的求法，即隨機(jī)變量取值與相應(yīng)概率分別相乘后相加應(yīng)概率分別相乘后相加.2.方差方差設(shè)離散型隨機(jī)變量設(shè)離散型隨機(jī)變量 X 的分布列為：的分布列為：Xx1x2xixnPp1p2pipn則則(xiE(X)2描述了描述了 xi(i1,2，n)相對于均值相對于均值 E(X)的偏離程度的偏離程度.而而 D(X)錯誤錯誤!(xiE(X)2pi為這些偏離程度的加權(quán)平均為這些

3、偏離程度的加權(quán)平均， 刻畫了隨機(jī)變刻畫了隨機(jī)變量量X 與其均與其均值值 E(X)的平均偏離程度的平均偏離程度.稱稱D(X)為隨機(jī)變量為隨機(jī)變量 X 的方差，并稱其算術(shù)平方根的方差，并稱其算術(shù)平方根 D X 為隨機(jī)變量為隨機(jī)變量 X 的標(biāo)準(zhǔn)差的標(biāo)準(zhǔn)差. 1 隨機(jī)變量的方差與標(biāo)準(zhǔn)差都反映了隨機(jī)變量取值的穩(wěn)定與波動、集中與離散的程隨機(jī)變量的方差與標(biāo)準(zhǔn)差都反映了隨機(jī)變量取值的穩(wěn)定與波動、集中與離散的程度度.D X 越大越大，表明平均偏離程度越大表明平均偏離程度越大，X 的取值越分散的取值越分散.反之反之，D X 越小越小，X 的取值越集中的取值越集中在在E X 附近附近., , 2 方差也是一個常數(shù)，

4、它不具有隨機(jī)性，方差的值一定是非負(fù)方差也是一個常數(shù)，它不具有隨機(jī)性，方差的值一定是非負(fù).3.兩個特殊分布的期望與方差兩個特殊分布的期望與方差分布分布期望期望方差方差兩點分布兩點分布E(X)pD(X)p(1p)二項分布二項分布E(X)npD(X)np(1p)4.正態(tài)分布正態(tài)分布(1)正態(tài)曲線的特點正態(tài)曲線的特點曲線位于曲線位于 x 軸上方，與軸上方，與 x 軸不相交；軸不相交；曲線是單峰的，它關(guān)于直線曲線是單峰的，它關(guān)于直線 x對稱；對稱；曲線在曲線在 x處達(dá)到峰值處達(dá)到峰值1 2；曲線與曲線與 x 軸之間的面積為軸之間的面積為 1；當(dāng)當(dāng)一定時，曲線的位置由一定時，曲線的位置由確定，曲線隨著確定

5、，曲線隨著的變化而沿的變化而沿 x 軸平移；軸平移；當(dāng)當(dāng)一定時，曲線的形狀由一定時，曲線的形狀由確定，確定，越小，曲線越越小，曲線越“瘦高瘦高”，表示總體的分布越集中，表示總體的分布越集中；越大，曲線越越大，曲線越“矮胖矮胖”，表示總體的分布越分散，表示總體的分布越分散.(2)正態(tài)分布的三個常用數(shù)據(jù)正態(tài)分布的三個常用數(shù)據(jù)P(X)0.682 6；P(2X2)0.954 4；P(3X3)0.997 4.熟記常用結(jié)論熟記常用結(jié)論若若 YaXb，其中，其中 a，b 是常數(shù)，是常數(shù)，X 是隨機(jī)變量，則是隨機(jī)變量，則(1)E(k)k，D(k)0，其中，其中 k 為常數(shù)；為常數(shù)；(2)E(aXb)aE(X)

6、b，D(aXb)a2D(X)；(3)E(X1X2)E(X1)E(X2)；(4)D(X)E(X2)(E(X)2；(5)若若 X1，X2相互獨立，則相互獨立，則 E(X1X2)E(X1)E(X2).(6)若若 XN(，2)，則，則 X 的均值與方差分別為：的均值與方差分別為：E(X)，D(X)2.小題查驗基礎(chǔ)小題查驗基礎(chǔ)一、判斷題一、判斷題(對的打?qū)Φ拇颉啊?，錯的打，錯的打“”“”)(1)隨機(jī)變量的均值是常數(shù)，樣本的均值是隨機(jī)變量隨機(jī)變量的均值是常數(shù)，樣本的均值是隨機(jī)變量.()(2)隨機(jī)變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差都反映了隨機(jī)變量取值偏離均值的平均程度，方差或標(biāo)準(zhǔn)差隨機(jī)變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差都反映了隨機(jī)變量取值

7、偏離均值的平均程度，方差或標(biāo)準(zhǔn)差越小，則偏離均值的平均程度越小越小，則偏離均值的平均程度越小.()(3)均值與方差都是從整體上刻畫離散型隨機(jī)變量的情況，因此它們是一回事均值與方差都是從整體上刻畫離散型隨機(jī)變量的情況，因此它們是一回事.()答案：答案：(1)(2)(3)二、選填題二、選填題1.已知已知 X 的分布列為：的分布列為：X101P121316設(shè)設(shè) Y2X3，則，則 E(Y)的值為的值為()A.73B.4C.1D.1解析：解析：選選 AE(X)121613，E(Y)E(2X3)2E(X)323373.2.已知已知B4，13 ，并且，并且23，則方差，則方差 D()()A.329B.89C

8、.439D.599解析：解析：選選 A由題意知，由題意知，D()413113 89，23，D()4D()489329.3.設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量 X 服從正態(tài)分布服從正態(tài)分布 N(0,1)，若，若 P(X1)p，則，則 P(1X0)()A.12pB.1pC.12pD.12p解解析析：選選 D因因為為隨隨機(jī)機(jī)變變量量 X 服服從從正正態(tài)態(tài)分分布布 N(0,1)，所所以以正正態(tài)態(tài)分分布布曲曲線線關(guān)關(guān)于于直直線線 x0 對對稱稱，所以所以 P(X0)P(X0)12，P(X1)P(X1)p，所以所以 P(1X0)P(X0)P(X1)12p.4.有一批產(chǎn)品有一批產(chǎn)品，其中有其中有 12 件正品和件正品和

9、4 件次品件次品，從中有放回地任取從中有放回地任取 3 件件，若若 X 表示取到次表示取到次品的次數(shù)，則品的次數(shù)，則 D(X)_.解析：解析：XB3，14 ，D(X)31434916.答案：答案：9165.一個正四面體一個正四面體 ABCD 的四個頂點上分別標(biāo)有的四個頂點上分別標(biāo)有 1 分分，2 分分，3 分和分和 4 分分，往地面拋擲一次往地面拋擲一次記不在地面上的頂點的分?jǐn)?shù)為記不在地面上的頂點的分?jǐn)?shù)為 X，則，則 X 的均值為的均值為_.解析：解析：X 的分布列為：的分布列為：X1234P14141414E(X)11421431441452.答案答案：52考點一考點一離散型隨機(jī)變量的均值與

10、方差離散型隨機(jī)變量的均值與方差師生共研過關(guān)師生共研過關(guān)典例精析典例精析為迎接為迎接 2022 年北京冬奧會年北京冬奧會，推廣滑雪運動推廣滑雪運動，某滑雪場開展滑雪促銷活動某滑雪場開展滑雪促銷活動.該滑雪場的收費該滑雪場的收費標(biāo)準(zhǔn)是標(biāo)準(zhǔn)是： 滑雪時間不超過滑雪時間不超過 1 小時免費小時免費， 超過超過 1 小時的部分每小時收費標(biāo)準(zhǔn)為小時的部分每小時收費標(biāo)準(zhǔn)為 40 元元(不足不足 1 小時小時的部分按的部分按 1 小時計算小時計算).有甲有甲、乙兩人相互獨立地來該滑雪場運動乙兩人相互獨立地來該滑雪場運動，設(shè)甲設(shè)甲、乙不超過乙不超過 1 小時離開小時離開的概率分別為的概率分別為14，16；1 小

11、時以上且不超過小時以上且不超過 2 小時離開的概率分別為小時離開的概率分別為12，23；兩人滑雪時間都不會超兩人滑雪時間都不會超過過 3 小時小時.(1)求甲、乙兩人所付滑雪費用相同的概率；求甲、乙兩人所付滑雪費用相同的概率；(2)設(shè)甲設(shè)甲、乙兩人所付的滑雪費用之和為隨機(jī)變量乙兩人所付的滑雪費用之和為隨機(jī)變量(單位單位：元元)，求求的分布列與數(shù)學(xué)期的分布列與數(shù)學(xué)期望望E()，方差，方差 D().解解(1)兩人所付費用相同，相同的費用可能為兩人所付費用相同，相同的費用可能為 0,40,80 元，元，兩人都付兩人都付 0 元的概率為元的概率為 P11416124，兩人都付兩人都付 40 元的概率為

12、元的概率為 P2122313，兩人都付兩人都付 80 元的概率為元的概率為P311412 11623 1416124，故兩人所付費用相同的概率為故兩人所付費用相同的概率為 PP1P2P312413124512.(2)由題設(shè)甲、乙所付費用之和為由題設(shè)甲、乙所付費用之和為，可能取值為可能取值為 0,40,80,120,160，則：，則：P(0)1416124，P(40)1423121614，P(80)141612231614512，P(120)1216142314，P(160)1416124.的分布列為：的分布列為：04080120160P1241451214124E()0124401480512

13、1201416012480.D()(080)2124(4080)214(8080)2512(12080)214(16080)21244 0003.解題技法解題技法求離散型隨機(jī)變量求離散型隨機(jī)變量的均值與方差的步驟的均值與方差的步驟(1)理解理解的意義，寫出的意義，寫出可能的全部值可能的全部值.(2)求求取每個值的概率取每個值的概率.(3)寫出寫出的分布列的分布列.(4)由均值的定義求由均值的定義求 E().(5)由方差的定義求由方差的定義求 D().過關(guān)訓(xùn)練過關(guān)訓(xùn)練1.隨機(jī)變量隨機(jī)變量 X 的可能取值為的可能取值為 0,1,2，若，若 P(X0)15，E(X)1，則，則 D(X)()A.15B

14、.25C.55D.105解析：解析：選選 B設(shè)設(shè) P(X1)p，P(X2)q，由題意得由題意得015p2q1，15pq1，解得解得 p35，q15，D(X)15(01)235(11)215(21)225.2.隨著網(wǎng)絡(luò)營銷和電子商務(wù)的興起，人們的購物方式更具多樣化隨著網(wǎng)絡(luò)營銷和電子商務(wù)的興起，人們的購物方式更具多樣化.某調(diào)查機(jī)構(gòu)隨機(jī)抽取某調(diào)查機(jī)構(gòu)隨機(jī)抽取 10名購物者進(jìn)行采訪，名購物者進(jìn)行采訪，5 名男性購物者中有名男性購物者中有 3 名傾向于選擇網(wǎng)購，名傾向于選擇網(wǎng)購，2 名傾向于選擇實體店，名傾向于選擇實體店，5 名名女性購物者中有女性購物者中有 2 名傾向于選擇網(wǎng)購，名傾向于選擇網(wǎng)購，3

15、名傾向于選擇實體店名傾向于選擇實體店.(1)若從若從 10 名購物者中隨機(jī)抽取名購物者中隨機(jī)抽取 2 名名，其中男其中男、女各一名女各一名，求至少求至少 1 名傾向于選擇實體店名傾向于選擇實體店的概率；的概率；(2)若從這若從這 10 名購物者中隨機(jī)抽取名購物者中隨機(jī)抽取 3 名名， 設(shè)設(shè) X 表示抽到傾向于選擇網(wǎng)購的男性購物者的人表示抽到傾向于選擇網(wǎng)購的男性購物者的人數(shù)，求數(shù)，求 X 的分布列和數(shù)學(xué)期望的分布列和數(shù)學(xué)期望.解解：(1)設(shè)設(shè)“隨機(jī)抽取隨機(jī)抽取 2 名名，其中男其中男、女各一名女各一名，至少至少 1 名傾向于選擇實體店名傾向于選擇實體店”為事件為事件 A，則則A表示事件表示事件“

16、隨機(jī)抽取隨機(jī)抽取 2 名，其中男、女各一名，都傾向于選擇網(wǎng)購名，其中男、女各一名，都傾向于選擇網(wǎng)購”，則則 P(A)1P(A)1C13C12C15C151925.(2)X 所有可能的取值為所有可能的取值為 0,1,2,3，且且 P(Xk)Ck3C3k7C310，則則 P(X0)724，P(X1)2140，P(X2)740，P(X3)1120.所以所以 X 的分布列為：的分布列為：X0123P72421407401120E(X)072412140274031120910.考點二考點二二項分布的均值與方差二項分布的均值與方差師生共研過關(guān)師生共研過關(guān)典例精析典例精析(2019成都檢測成都檢測)某部門

17、為了解一企業(yè)在生產(chǎn)過程中的用水量情況，對其每天的用水量做某部門為了解一企業(yè)在生產(chǎn)過程中的用水量情況，對其每天的用水量做了記錄，得到了大量該企業(yè)的日用水量的統(tǒng)計數(shù)據(jù)，從這些統(tǒng)計數(shù)據(jù)中隨了記錄，得到了大量該企業(yè)的日用水量的統(tǒng)計數(shù)據(jù)，從這些統(tǒng)計數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取機(jī)抽取 12 天的數(shù)據(jù)作為樣本天的數(shù)據(jù)作為樣本，得到如圖所示的莖葉圖得到如圖所示的莖葉圖(單位單位：噸噸).若用水量若用水量不低于不低于 95 噸，則稱這一天的用水量超標(biāo)噸，則稱這一天的用水量超標(biāo).(1)從這從這 12 天的數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取天的數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取 3 個，求至多有個，求至多有 1 天的用水量超標(biāo)的概率；天的用水量超標(biāo)的概率；(2)以這以

18、這 12 天的樣本數(shù)據(jù)中用水量超標(biāo)的頻率作為概率天的樣本數(shù)據(jù)中用水量超標(biāo)的頻率作為概率， 估計該企業(yè)未來估計該企業(yè)未來 3 天中用水量超天中用水量超標(biāo)的天數(shù)，記隨機(jī)變量標(biāo)的天數(shù)，記隨機(jī)變量 X 為未來這為未來這 3 天中用水量超標(biāo)的天數(shù)，求天中用水量超標(biāo)的天數(shù)，求 X 的分布列、數(shù)學(xué)期望和方的分布列、數(shù)學(xué)期望和方差差.解解(1)記記“從這從這 12 天的數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取天的數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取 3 個，至多有個，至多有 1 天的用水量超標(biāo)天的用水量超標(biāo)”為事件為事件 A，則則 P(A)C14C28C312C38C3121682204255.(2)以這以這 12 天的樣本數(shù)據(jù)中用水量超標(biāo)的頻率作為概率，

19、易知用水量超標(biāo)的概率為天的樣本數(shù)據(jù)中用水量超標(biāo)的頻率作為概率，易知用水量超標(biāo)的概率為13.X 的所有可能取值為的所有可能取值為 0,1,2,3，易知易知 XB3，13 ，P(Xk)Ck313k233k，k0,1,2,3，則則 P(X0)827，P(X1)49，P(X2)29，P(X3)127.隨機(jī)變量隨機(jī)變量 X 的分布列為：的分布列為：X0123P8274929127數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望 E(X)3131，方差方差 D(X)313113 23.解題技法解題技法二項分布的期望與方差二項分布的期望與方差(1)如果如果B(n，p)，則用公式，則用公式 E()np，D()np(1p)求解，可大大減少計算

20、量求解，可大大減少計算量.(2)有有些些隨隨機(jī)機(jī)變變量量雖雖不不服服從從二二項項分分布布，但但與與之之具具有有線線性性關(guān)關(guān)系系的的另另一一隨隨機(jī)機(jī)變變量量服服從從二二項項分分布布，這這時時，可可以以綜綜合合應(yīng)應(yīng)用用 E(ab)aE()b 以以及及 E()np 求求出出 E(ab)，同同樣樣還還可可求求出出 D(ab).過關(guān)訓(xùn)練過關(guān)訓(xùn)練1.設(shè)設(shè) X 為隨機(jī)變量，且為隨機(jī)變量，且 XB(n，p)，若隨機(jī)變量，若隨機(jī)變量 X 的數(shù)學(xué)期望的數(shù)學(xué)期望 E(X)4，D(X)43，則則P(X2)_.(結(jié)果用分?jǐn)?shù)表示結(jié)果用分?jǐn)?shù)表示)解析：解析：X 為隨機(jī)變量，且為隨機(jī)變量，且 XB(n，p)，E(X)np4，

21、D(X)np(1p)43，解得，解得 n6，p23，P(X2)C26232123420243.答案：答案：202432.(2019西安模擬西安模擬)一個盒子中裝有大量形狀一個盒子中裝有大量形狀、大小一樣但重量不盡相同的小球大小一樣但重量不盡相同的小球，從中隨機(jī)從中隨機(jī)抽取抽取 50 個作為樣本，稱出它們的重量個作為樣本，稱出它們的重量(單位：克單位：克)，重量分組區(qū)間為，重量分組區(qū)間為5,15，(15,25，(25,35，(35,45，由此得到樣本的重量頻率分布直方圖，由此得到樣本的重量頻率分布直方圖(如圖如圖).(1)求求 a 的值，并根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，試估計盒子中小球重量的眾數(shù)與平均值；的值，

22、并根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，試估計盒子中小球重量的眾數(shù)與平均值；(2)從盒子中隨機(jī)抽取從盒子中隨機(jī)抽取 3 個小球個小球，其中重量在其中重量在5,15內(nèi)的小球個數(shù)為內(nèi)的小球個數(shù)為 X，求求 X 的分布列和數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望學(xué)期望(以直方圖中的頻率作為概率以直方圖中的頻率作為概率).解：解：(1)由題意，得由題意，得(0.020.032a0.018)101，解得解得 a0.03.由頻率分布直方圖可估計盒子中小球重量的眾數(shù)為由頻率分布直方圖可估計盒子中小球重量的眾數(shù)為 20 克，克，而而50個樣本中小球重量的平均值個樣本中小球重量的平均值x0.2100.32200.3300.184024.6(克克).故由樣

23、本估計總體，可估計盒子中小球重量的平均值為故由樣本估計總體，可估計盒子中小球重量的平均值為 24.6 克克.(2)該盒子中小球重量在該盒子中小球重量在5,15內(nèi)的概率為內(nèi)的概率為15，則則 XB3，15 .X 的可能取值為的可能取值為 0,1,2,3，則則 P(X0)C0315045364125，P(X1)C1315 45248125，P(X2)C231524512125，P(X3)C331534501125.X 的分布列為：的分布列為：X0123P6412548125121251125E(X)0641251481252121253112535或者或者 E X 31535考點三考點三均值與方差

24、在決策中的應(yīng)用均值與方差在決策中的應(yīng)用師生共研過關(guān)師生共研過關(guān)典例精析典例精析(2018全國卷全國卷)某工廠的某種產(chǎn)品成箱包裝，每箱某工廠的某種產(chǎn)品成箱包裝，每箱 200 件，每一箱產(chǎn)品在交付用戶之前件，每一箱產(chǎn)品在交付用戶之前要對產(chǎn)品作檢驗要對產(chǎn)品作檢驗，如檢驗出不合格品如檢驗出不合格品，則更換為合格品則更換為合格品.檢驗時檢驗時，先從這箱產(chǎn)品中任取先從這箱產(chǎn)品中任取 20 件作件作檢驗，再根據(jù)檢驗結(jié)果決定是否對余下的所有產(chǎn)品作檢驗檢驗，再根據(jù)檢驗結(jié)果決定是否對余下的所有產(chǎn)品作檢驗.設(shè)每件產(chǎn)品為不合格品的概率都設(shè)每件產(chǎn)品為不合格品的概率都為為p(0p1)，且各件產(chǎn)品是否為不合格品相互獨立，且

25、各件產(chǎn)品是否為不合格品相互獨立.(1)記記 20 件產(chǎn)品中恰有件產(chǎn)品中恰有 2 件不合格品的概率為件不合格品的概率為 f(p)，求，求 f(p)的最大值點的最大值點 p0.(2)現(xiàn)對一箱產(chǎn)品檢驗了現(xiàn)對一箱產(chǎn)品檢驗了 20 件，結(jié)果恰有件，結(jié)果恰有 2 件不合格品，以件不合格品，以(1)中確定的中確定的 p0作為作為 p 的值的值.已已知每件產(chǎn)品的檢驗費用為知每件產(chǎn)品的檢驗費用為 2 元，若有不合格品進(jìn)入用戶手中，則工廠要對每件不合格品支元，若有不合格品進(jìn)入用戶手中，則工廠要對每件不合格品支付付25 元的賠償費用元的賠償費用.若不對該箱余下的產(chǎn)品作檢驗若不對該箱余下的產(chǎn)品作檢驗， 這一箱產(chǎn)品的檢

26、驗費用與賠償費用的和記為這一箱產(chǎn)品的檢驗費用與賠償費用的和記為 X， 求求 EX；以以檢檢驗驗費費用用與與賠賠償償費費用用和和的的期期望望值值為為決決策策依依據(jù)據(jù)，是是否否該該對對這這箱箱余余下下的的所所有有產(chǎn)產(chǎn)品品作作檢檢驗驗？解解(1)因為因為 20 件產(chǎn)品中恰有件產(chǎn)品中恰有 2 件不合格品的概率為件不合格品的概率為f(p)C220p2(1p)18，所以所以 f(p)C2202p(1p)1818p2(1p)172C220p(1p)17(110p).令令 f(p)0，得，得 p0.1.當(dāng)當(dāng) p(0,0.1)時，時，f(p)0；當(dāng)當(dāng) p(0.1,1)時，時，f(p)0.所以所以 f(p)的最大

27、值點為的最大值點為 p00.1.(2)由由(1)知，知，p0.1.令令 Y 表示余下的表示余下的 180 件產(chǎn)品中的不合格品件數(shù)件產(chǎn)品中的不合格品件數(shù)，依題意知依題意知 YB(180,0.1)，X20225Y，即，即 X4025Y.所以所以 EXE(4025Y)4025EY490.若對余下的產(chǎn)品作檢驗，則這一箱產(chǎn)品所需要的檢驗費用為若對余下的產(chǎn)品作檢驗，則這一箱產(chǎn)品所需要的檢驗費用為 400 元元.由于由于 EX400，故，故應(yīng)該對余下的產(chǎn)品作檢驗應(yīng)該對余下的產(chǎn)品作檢驗.解題技法解題技法離散型隨機(jī)變量的期望和方差應(yīng)用問題的解題策略離散型隨機(jī)變量的期望和方差應(yīng)用問題的解題策略(1)求離散型隨機(jī)變

28、量的期望與方差關(guān)鍵是確定隨機(jī)變量的所有可能值，寫出隨機(jī)變量的求離散型隨機(jī)變量的期望與方差關(guān)鍵是確定隨機(jī)變量的所有可能值，寫出隨機(jī)變量的分布列，正確運用期望、方差公式進(jìn)行計算分布列，正確運用期望、方差公式進(jìn)行計算.(2)要注意觀察隨機(jī)變量的概率分布特征，若屬于二項分布，可用二項分布的期望與方差要注意觀察隨機(jī)變量的概率分布特征，若屬于二項分布，可用二項分布的期望與方差公式計算，則更為簡單公式計算，則更為簡單.(3)在實際問題中，若兩個隨機(jī)變量在實際問題中，若兩個隨機(jī)變量1，2，有，有 E(1)E(2)或或 E(1)與與 E(2)較為接較為接近時近時， 就需要用就需要用 D(1)與與 D(2)來比較

29、兩個隨機(jī)變量的穩(wěn)定程度來比較兩個隨機(jī)變量的穩(wěn)定程度.即一般地將期望最大即一般地將期望最大(或最小或最小)的方案作為最優(yōu)方案，若各方案的期望相同，則選擇方差最小的方案作為最優(yōu)方案，若各方案的期望相同，則選擇方差最小(或最大或最大)的方案作為最優(yōu)方案的方案作為最優(yōu)方案.過關(guān)訓(xùn)練過關(guān)訓(xùn)練某投資公司在某投資公司在 2019 年年初準(zhǔn)備將年年初準(zhǔn)備將 1 000 萬元投資到萬元投資到“低碳低碳”項目上，現(xiàn)有兩個項目供項目上，現(xiàn)有兩個項目供選擇：選擇：項目一項目一：新能源汽車新能源汽車.據(jù)市場調(diào)研據(jù)市場調(diào)研，投資到該項目上投資到該項目上，到年底可能獲利到年底可能獲利 30%，也可能虧也可能虧損損15%，且

30、這兩種情況發(fā)生的概率分別為，且這兩種情況發(fā)生的概率分別為79和和29；項目二項目二： 通信設(shè)備通信設(shè)備.據(jù)市場調(diào)研據(jù)市場調(diào)研， 投資到該項目上投資到該項目上， 到年底可能獲利到年底可能獲利 50%， 可能損失可能損失 30%，也可能不賠不賺，且這三種情況發(fā)生的概率分別為也可能不賠不賺，且這三種情況發(fā)生的概率分別為35，13和和115.針對以上兩個投資項目，請你為投資公司選擇一個合理的項目，并說明理由針對以上兩個投資項目，請你為投資公司選擇一個合理的項目，并說明理由.解：解：若按若按“項目一項目一”投資，設(shè)獲利為投資，設(shè)獲利為 X1萬元，則萬元，則 X1的分布列為：的分布列為：X1300150P

31、7929E(X1)30079(150)29200，D(X1)(300200)279(150200)22935 000.若按若按“項目二項目二”投資，設(shè)獲利為投資，設(shè)獲利為 X2萬元，則萬元，則 X2的分布列為：的分布列為：X25000300P3511513E(X2)500350115(300)13200，D(X2)(500200)235(300200)213(0200)2115140 000.E(X1)E(X2)，D(X1)D(X2)，這說明雖然項目一、項目二獲利相等，但項目一更穩(wěn)妥這說明雖然項目一、項目二獲利相等，但項目一更穩(wěn)妥.綜上所述，建議該投資公司選擇項目一投資綜上所述，建議該投資公司

32、選擇項目一投資.考點四考點四正態(tài)分布正態(tài)分布師生共研過關(guān)師生共研過關(guān)典例精析典例精析(1)設(shè)設(shè) XN(1，21)，YN(2，22)，這兩個正態(tài)分布密度曲線如圖所示，這兩個正態(tài)分布密度曲線如圖所示.下列結(jié)論中正確下列結(jié)論中正確的是的是()A.P(Y2)P(Y1)B.P(X2)P(X1)C.對任意正數(shù)對任意正數(shù) t，P(Xt)P(Yt)D.對任意正數(shù)對任意正數(shù) t，P(Xt)P(Yt)(2)(2019太原模擬太原模擬)已知隨機(jī)變量已知隨機(jī)變量 X 服從正態(tài)分布服從正態(tài)分布 N(3,1)，且且 P(X4)0.158 7，則則 P(2X4)()A.0.682 6B.0.341 3C.0.460 3D.

33、0.920 7(3)某校在一次月考中有某校在一次月考中有 900 人參加考試，數(shù)學(xué)考試的成績服從正態(tài)分布人參加考試，數(shù)學(xué)考試的成績服從正態(tài)分布 XN(90，a2)(a0，試卷滿分，試卷滿分 150 分分)，統(tǒng)計結(jié)果顯示數(shù)學(xué)考試成績在，統(tǒng)計結(jié)果顯示數(shù)學(xué)考試成績在 70 分到分到 110 分之間的人數(shù)約為總?cè)藬?shù)分之間的人數(shù)約為總?cè)藬?shù)的的35，則此次月考中數(shù)學(xué)考試成績不低于，則此次月考中數(shù)學(xué)考試成績不低于 110 分的學(xué)生約有分的學(xué)生約有_人人.解析解析(1)由正態(tài)曲線的性質(zhì)及題圖知，由正態(tài)曲線的性質(zhì)及題圖知，12,012.故對任意正數(shù)故對任意正數(shù) t，P(Xt)P(Yt)正確正確.(2)因為隨機(jī)變

34、量因為隨機(jī)變量 X 服從正態(tài)分布服從正態(tài)分布 N(3,1)，且，且 P(X4)0.158 7，所以，所以 P(X2)0.158 7，所以所以 P(2X4)1P(X2)P(X4)0.682 6，故選，故選 A.(3)因為數(shù)學(xué)成績服從正態(tài)分布因為數(shù)學(xué)成績服從正態(tài)分布 XN(90，a2)，所以其正態(tài)分布曲線關(guān)于直線所以其正態(tài)分布曲線關(guān)于直線 x90 對稱，對稱，又因為成績在又因為成績在 70 分到分到 110 分之間的人數(shù)約為總?cè)藬?shù)的分之間的人數(shù)約為總?cè)藬?shù)的35，由對稱性知成績在由對稱性知成績在 110 分以上的人數(shù)約為總?cè)藬?shù)的分以上的人數(shù)約為總?cè)藬?shù)的12135 15， 所以此次數(shù)學(xué)考試成績所以此次

35、數(shù)學(xué)考試成績不低于不低于 110 分的學(xué)生約有分的學(xué)生約有15900180(人人).答案答案(1)C(2)A(3)180解題技法解題技法正態(tài)分布下正態(tài)分布下 2 類常見的概率計算類常見的概率計算(1)利用正態(tài)分布密度曲線的對稱性研究相關(guān)概率問題，涉及的知識主要是正態(tài)曲線關(guān)于利用正態(tài)分布密度曲線的對稱性研究相關(guān)概率問題，涉及的知識主要是正態(tài)曲線關(guān)于直線直線 x對稱，曲線與對稱，曲線與 x 軸之間的面積為軸之間的面積為 1.(2)利用利用 3原則求概率問題時原則求概率問題時，要注意把給出的區(qū)間或范圍與正態(tài)變量的要注意把給出的區(qū)間或范圍與正態(tài)變量的，進(jìn)行對比聯(lián)進(jìn)行對比聯(lián)系，確定它們屬于系，確定它們屬

36、于(，)，(2，2)，(3，3)中的哪一個中的哪一個.過關(guān)訓(xùn)練過關(guān)訓(xùn)練1.(2019武漢模擬武漢模擬)已知隨機(jī)變量已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布服從正態(tài)分布 N(， 2)， 若若 P(2)P(6)0.15，則則 P(24)等于等于()A.0.3B.0.35C.0.5D.0.7解析：解析：選選 BP(2)P(6)0.15，2624.又又 P(26)1P(2)P(6)0.7，P(24)P 26 20.35，故選，故選 B.2.(2017全國卷全國卷)為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程， 檢驗員每天從該生產(chǎn)線上檢驗員每天從該生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取隨機(jī)抽取 16 個零件個

37、零件，并測量其尺寸并測量其尺寸(單位單位：cm).根據(jù)長期生產(chǎn)經(jīng)驗根據(jù)長期生產(chǎn)經(jīng)驗，可以認(rèn)為這條生產(chǎn)線正常可以認(rèn)為這條生產(chǎn)線正常狀態(tài)下生產(chǎn)的零件的尺寸服從正態(tài)分布狀態(tài)下生產(chǎn)的零件的尺寸服從正態(tài)分布 N(，2).(1)假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常，記記 X 表示一天內(nèi)抽取的表示一天內(nèi)抽取的 16 個零件中其尺寸在個零件中其尺寸在(3，3)之外之外的零件數(shù)，求的零件數(shù)，求 P(X1)及及 X 的數(shù)學(xué)期望；的數(shù)學(xué)期望；(2)一天內(nèi)抽檢零件中，如果出現(xiàn)了尺寸在一天內(nèi)抽檢零件中，如果出現(xiàn)了尺寸在(3，3)之外的零件，就認(rèn)為這條生產(chǎn)之外的零件，就認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況，需對

38、當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況，需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查.試說明上述監(jiān)控生產(chǎn)過程方法的合理性；試說明上述監(jiān)控生產(chǎn)過程方法的合理性；下面是檢驗員在一天內(nèi)抽取的下面是檢驗員在一天內(nèi)抽取的 16 個零件的尺寸：個零件的尺寸：9.9510.129.969.9610.019.929.9810.0410.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95經(jīng)計算得經(jīng)計算得x116錯誤錯誤!i9.97，s錯誤錯誤!錯誤錯誤!0.212，其中其中 xi為抽取的第為抽取的第 i 個零件的尺個零件的尺寸，寸，i1,2，16.用樣本平均數(shù)用樣本平均數(shù)x作為作為的估計值

39、的估計值，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差用樣本標(biāo)準(zhǔn)差 s 作為作為的估計值的估計值，利用估計值判斷是利用估計值判斷是否需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查？剔除否需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查？剔除(3，3)之外的數(shù)據(jù)，用剩下的數(shù)據(jù)估計之外的數(shù)據(jù)，用剩下的數(shù)據(jù)估計和和(精確到精確到 0.01).附：若隨機(jī)變量附：若隨機(jī)變量 Z 服從正態(tài)分布服從正態(tài)分布 N(，2)，則，則 P(3Z3)0.997 4.0.997 4160.959 2， 0.0080.09.解：解：(1)抽取的一個零件的尺寸在抽取的一個零件的尺寸在(3，3)之內(nèi)的概率為之內(nèi)的概率為 0.997 4，從而零件的尺寸，從而零件的尺寸在在(3，3)之外的概率為之外的

40、概率為 0.002 6，故，故 XB(16,0.002 6).因此因此 P(X1)1P(X0)10.997 4160.040 8.X 的數(shù)學(xué)期望為的數(shù)學(xué)期望為 E(X)160.002 60.041 6.(2)如果生產(chǎn)狀態(tài)正常，一個零件尺寸在如果生產(chǎn)狀態(tài)正常，一個零件尺寸在(3，3)之外的概率只有之外的概率只有 0.002 6，一天，一天內(nèi)抽取的內(nèi)抽取的 16 個零件中個零件中，出現(xiàn)尺寸在出現(xiàn)尺寸在(3，3)之外的零件的概率只有之外的零件的概率只有 0.040 8，發(fā)生的概發(fā)生的概率很小率很小.因此一旦發(fā)生這種情況，就有理由認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異因此一旦發(fā)生這種情況，就有理

41、由認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況，需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查，可見上述監(jiān)控生產(chǎn)過程的方法是合理的常情況，需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查，可見上述監(jiān)控生產(chǎn)過程的方法是合理的.由由x9.97，s0.212，得，得的估計值為的估計值為9.97，的估計值為的估計值為0.212，由樣本數(shù)據(jù)，由樣本數(shù)據(jù)可以看出有一個零件的尺寸在可以看出有一個零件的尺寸在(3，3)之外，因此需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查之外，因此需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查.剔除剔除(3，3)之外的數(shù)據(jù)之外的數(shù)據(jù) 9.22，剩下數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，剩下數(shù)據(jù)的平均數(shù)為115(169.979.22)10.02，因此因此的估計值為的估計值為 10.02.錯誤錯誤!2i160.2122169.9721 591.134，剔除剔除(3，3)之外的數(shù)據(jù)之外的數(shù)據(jù) 9.22，剩下數(shù)據(jù)的樣本方差為，剩下數(shù)據(jù)的樣本方差為115(1 591.1349.2221510.022)0.008，因此因此的估計值為的估計值為 0.0080.09.