沖刺2019高考數(shù)學二輪復習 核心考點特色突破 專題07 正余弦定理及其應用（含解析）.doc

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專題07 正余弦定理及其應用 【自主熱身，歸納總結】 1、在△ABC中，設a，b，c分別為角A，B，C的對邊，若a＝5，A＝，cosB＝，c＝________. 【答案】： 7　 【解析】：因為cosB＝，所以B∈(0，)，從而sinB＝，所以sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝＋＝，又由正弦定理得＝，即＝，解得c＝7. 2、在△ABC中，已知AB＝1，AC＝，B＝45，則BC的長為________． 【答案】： 　 【解析】：在△ABC中，已知c＝1，b＝，B＝45，由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，得a2－a－1＝0.因為a>0，所以a＝，即BC＝. 已知兩條邊以及一個角，研究第三邊的問題的本質是三邊一角，所以應用余弦定理是最直接的方法，它要比應用正弦定理來得方便、快捷． 3、 在△中，若，則的值為 ． 【答案】 【解析】由正弦定理得，，不妨設 則由余弦定理得. 【課本探源】（必修5第26頁第10題）在三角形中，若則角等于 4、在銳角△ABC中，，．若△ABC的面積為，則的長是 ． 【答案】、 【解析】： 因為，由，解得，因為是在銳角中，所以（或求出銳角，再求），在銳角中，由余弦定理得：，所以，即. 5、在△中，已知，，且的面積為，則邊長為 ． 【答案】：7 6、在△ABC中，已知角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.若bsinAsinB＋acos2B＝2c，則的值為________． 【答案】：. 2　 【解析】：由正弦定理得，sinBsinAsinB＋sinAcos2B＝2sinC，即sinA(sin2B＋cos2B)＝2sinC，即sinA＝2sinC，再由正弦定理得，＝＝2. 7、在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，，則 ． .【答案】：4 【思路分析】本題第一步應將的條件化成正余弦的等式；第二步由于本題求是的三角形邊長，所以將三角函數(shù)值等式轉化為邊長的等式；第三步：再結合解方程組即可. 【解析】：解法一：由可得：，即， 所以有，即 由正、余弦定理可得：，即，又 所以，即. 解法二：也可在， 用余弦定理可得，解得，下同解法一. 8、 在△ABC中，角A，B，C所對邊的長分別為a，b，c.已知a＋c＝2b，sinB＝sinC，則cosA＝________. 【答案】　 【解析】：由sinB＝sinC得b＝c.又因為a＋c＝2b，所以a＝c，因此cosA＝＝＝ 9、設△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知＝，則cosA＝________． 【答案】、 　 10、設△的內角，，的對邊分別是，且滿足，則 ▲ ． 【答案】;. 4 解法1（正弦定理） 根據(jù)正弦定理可得， 即， 又因為 所以 又因為，所以 所以，則 解法2（射影定理） 因為及可得，，注意到，兩式相除可得，再由正弦定理可得 解后反思：解三角形問題中若等式既有三角函數(shù)又有邊，則可以考慮利用正弦定理或余弦定理轉化為只含有邊或只含有三角函數(shù)的等式處理.解法2則利用了三角形中的射影定理（教材必修5p17練習5）結合條件整體處理. 11、在△ABC中，BC=，AC=1，以AB為邊作等腰直角三角形ABD（B為直角頂點，C、D兩點在直線AB的兩側）．當變化時，線段CD長的最大值為 ． 【答案】3 思路分析 要求的長，只需將表示為的函數(shù)形式，然后應用三角函數(shù)知識來求它的最大值則可，因此在中應用余弦定理可得 ，再在中分別應用正弦定理、余弦定理得 及，故 ，由此可得結果． 【解析】：在中，由正弦定理得，由余弦定理得．在中，由余弦定理得 ，故 ，即． 【問題探究，變式訓練】 例1、.如圖，在△ABC中，D是BC上的一點．已知∠B＝60，AD＝2，AC＝，DC＝，則AB＝________. 【答案】　 【解析】：在△ACD中，因為AD＝2，AC＝，DC＝，所以cos∠ADC＝＝－，從而∠ADC＝135，所以∠ADB＝45.在△ADB中，＝，所以AB＝＝ 【變式1】、如圖，在△ABC中，AB＝3，AC＝2，BC＝4，點D在邊BC上，∠BAD＝45，則tan∠CAD的值為________． 【答案】　 【解析】： 從構造角的角度觀察分析，可以從差的角度(∠CAD＝∠A－45)，也可以從和的角度(∠A＝∠CAD＋45)，所以只需從余弦定理入手求出∠A的正切值，問題就迎刃而解了． 解法1 在△ABC中，AB＝3，AC＝2，BC＝4，由余弦定理可得cosA＝＝－，所以tanA＝－，于是tan∠CAD＝tan(A－45)＝＝. 解法2 由解法1得tanA＝－.由tan(45＋∠CAD)＝－得＝－，即＝－，解得tan∠CAD＝. 【變式2】、A B C D (第15題) 如圖，在中，已知點在邊上，，，，． （1）求的值； （2）求的長． 【解析】：（1）在中，，， 所以． 同理可得，． 所以 ． 【變式3】、如圖，在梯形ABCD中，已知AD∥BC，AD＝1，BD＝2，∠CAD＝，tan∠ADC＝－2. (1) 求CD的長； (2) 求△BCD的面積． 【解析】： (1)因為tan∠ADC＝－2，且∠ADC∈(0，π)，所以sin∠ADC＝，cos∠ADC＝－. 所以sin∠ACD＝sin ＝sin ＝sin∠ADCcos＋cos∠ADCsin ＝，(6分) 在△ADC中，由正弦定理得CD＝＝ (2) 因為AD∥BC, 所以cos∠BCD＝－cos∠ADC＝，sin∠BCD＝sin∠ADC＝ 在△BDC中，由余弦定理得BD2＝BC2＋CD2－2BCCDcos∠BCD， 得BC2－2BC－35＝0，解得BC＝7, (12分) 所以S△BCD＝BCCDsin∠BCD＝7＝7. 【變式4】、如圖，在四邊形ABCD中，已知AB＝13，AC＝10，AD＝5，CD＝，＝50. (1) 求cos∠BAC的值； (2) 求sin∠CAD的值； (3) 求△BAD的面積． 【解析】： (1) 因為＝cos∠BAC， 所以cos∠BAC＝＝＝. (2) 在△ADC中，AC＝10，AD＝5，CD＝. 由余弦定理，得cos∠CAD＝＝＝. 因為∠CAD∈(0，π)，所以sin∠CAD＝＝＝. (3) 由(1)知，cos∠BAC＝. 因為∠BAC∈(0，π)， 所以sin∠BAC＝＝＝. 從而sin∠BAD＝sin(∠BAC＋∠CAD) ＝sin∠BACcos∠CAD＋cos∠BACsin∠CAD ＝＋＝. 所以S△BAD＝ABADsin∠BAD＝135 ＝28. 【關聯(lián)1】、中，點在邊上，且，::＝:k:，則實數(shù)k的取值范圍為 ． 【答案】：(，) 【解析】：解法一：因為DC＝2BD，所以有，即，所以有 ，又AB∶AD∶AC＝3∶k∶1，可設， 所以，即,所以. 【關聯(lián)2】、 在△ABC中，已知AC＝3，∠A＝45，點D滿足＝2，且AD＝，則BC的長為________． 【答案】3　 【解析】： 由＝2可得點D為線段CB上靠近點B的一個三等分點，作CE⊥AB，DF⊥AB，在Rt△ACE中先求出AE＝CE＝，再在Rt△BCE中根據(jù)＝求出DF＝，進而求出AF＝，EF＝，F(xiàn)B＝，然后根據(jù)勾股定理或余弦定理求BC的長度即可． 如圖，過點C作CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分別為E，F(xiàn).在Rt△ACE中，因為AC＝3，∠A＝45，所以AE＝CE＝.因為＝2，所以＝＝，從而DF＝CE＝.在Rt△ADF中，AD＝，所以AF＝＝ ＝，EF＝AF－AE＝－＝.因為＝2，所以＝＝，從而BF＝EF＝，BE＝BF＋EF＝. 解法1 在Rt△BCE中，BC＝＝＝3. 解法2 所以AB＝＋＝3，所以在△ABC中，由余弦定理得BC2＝AC2＋AB2－2ACABcos∠BAC，所以BC2＝9＋18－233＝9，所以BC＝3. 【關聯(lián)3】、. 在△ABC中，D為邊AC上一點，AB＝AC＝6，AD＝4，若△ABC的外心恰在線段BD上，則BC＝________. 【答案】3　 【解析】： 本題要求BC的長，關鍵是要求出∠BAC，找出線段的比例關系，建立方程，從而求出BC的長． 解法2 如圖2，設∠BAC＝2α，外接圓的半徑為R，由S△ABO＋S△ADO＝S△ABD，得6Rsinα＋4Rsinα＝64sin2α，化簡得24cosα＝5R.在Rt△AFO中，Rcosα＝3，聯(lián)立解得R＝，cosα＝，所以sinα＝，所以BC＝2BE＝2ABsinα＝12＝3. 圖1 　　圖2 圖3 解法3 如圖3，延長AO交BC于點E，過點D作BC的垂線，垂足為F，則＝＝，＝＝.又DF∥AE，則＝＝，所以＝.設OE＝x，則AE＝5x，所以OB＝OA＝4x，所以BE＝x.又因為25x2＋15x2＝36，所以x＝3，所以BC＝2BE＝3. 例2、 在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若a2＝3b2＋3c2－2bcsinA，則C＝________. 【答案】. 　 【解析】：因為a2＝3b2＋3c2－2bcsinA＝b2＋c2－2bccosA，所以＝sinA－cosA＝2sin. 又＝＋≥2＝2(當且僅當b＝c時取等號)，2sin≤2當且僅當A＝時取等號，故＝2sin＝2，所以b＝c，A＝，故C＝. 解后反思 本題中對所得條件“＝sinA－cosA”出現(xiàn)無法轉化的現(xiàn)象．這里需要借助三角函數(shù)有界性以及基本不等式得到兩個方程求出b，c，A. 【變式1】、 在△ABC中，已知AB＝，C＝，則的最大值為________． 【答案】：. 　 【解析】：因為AB＝，C＝，設角A，B，C所對的邊為a，b，c，所以由余弦定理得3＝a2＋b2－2abcos＝a2＋b2－ab≥ab，當且僅當a＝b＝時等號成立，又＝abcosC＝ab，所以當a＝b＝時，()max＝. 【變式2】、 在△ABC中，A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若a2＋b2＋2c2＝8，則△ABC面積的最大值為________． 【答案】： 　 【解析】：思路分析1 注意到a2＋b2＋2c2＝8中a，b是對稱的，因此，將三角形的面積表示為S＝absinC，利用余弦定理將ab表示為C的形式，進而轉化為三角函數(shù)來求它的最值． 思路分析2 將c看作定值，這樣，滿足條件的三角形就有無數(shù)個，從而來研究點C所滿足的條件，為此，建立直角坐標系，從而根據(jù)條件a2＋b2＋2c2＝8得到點C的軌跡方程，進而來求出邊AB上的高的所滿足的條件． 解法1 因為cosC＝＝＝≥，所以ab≤，從而S＝absinC≤.設t＝，則3t＝2sinC＋2tcosC＝2sin(C＋φ)，其中tanφ＝t，故3t≤2，解得t≤，所以Smax＝，當且僅當a＝b＝且tanC＝時，等號成立． 解法2 以AB所在的直線為x軸，它的垂直平分線為y軸，建立如圖所示的直角坐標系，則A，B，C(x，y)，則由a2＋b2＋2c2＝8得2＋y2＋2＋y2＋2c2＝8，即x2＋y2＝4－，即點C在圓x2＋y2＝4－上，所以S≤r＝＝≤，當且僅當c2＝時取等號，故Smax＝. 解法3 設AD＝m，BD＝n，CD＝h，由a2＋b2＋2c2＝8，得m2＋h2＋n2＋h2＋2(m＋n)2＝8≥(m＋n)2＋2h2＋2(m＋n)2＝(m＋n)2＋2h2≥2(m＋n)h，當且僅當h＝m＝n時取等號，所以S＝(m＋n)h≤＝，所以面積的最大值為. 解法4 由余弦定理a2＋b2－c2＝2abcosC，結合a2＋b2＋2c2＝8，得8－3c2＝2abcosC，由三角形面積公式得4S＝2absinC，兩式平方相加得，(8－3c2)2＋16S2＝4a2b2≤(a2＋b2)2＝(8－2c2)2，即16S2≤c2(16－5c2)≤，所以S2≤，所以S≤，當且僅當a＝b，c2＝時取等號，所以面積的最大值為. 解后反思 解法1是從將面積表示為角C的形式來加以思考的，而解法2則是將面積表示為邊c的形式來加以思考的．這兩種解法都基于一點，即等式a2＋b2＋2c2＝8中的a，b是對稱關系．解法2則是從運動變化的角度來加以思考的，這體現(xiàn)了三角函數(shù)與【解析】幾何之間的千絲萬鏤的關系．解法1是一種常規(guī)的想法，是必須要認真體會的，而解法2就需要學生能充分地認識知識與知識之間的聯(lián)系．本題對學生的知識的應用要求、思考問題、分析問題、解決問題的能力要求都比較高． 【關聯(lián)】、如圖，某生態(tài)園將三角形地塊ABC的一角APQ開辟為水果園種植桃樹，已知角A為120，AB，AC的長度均大于200 m，現(xiàn)在邊界AP，AQ處建圍墻，在PQ處圍竹籬笆． (1) 若圍墻AP，AQ的總長度為200 m，如何圍可使得三角形地塊APQ的面積最大？ (2) 已知AP段圍墻高1 m，AQ段圍墻高1.5 m，造價均為每平方米100元．若圍圍墻用了20 000元，問如何圍可使竹籬笆用料最??？ 【解析】：(1) 設AP＝x m，AQ＝y(tǒng) m，則x＋y＝200，x>0，y>0. △APQ的面積S＝xysin120＝xy. 因為xy≤2＝10 000，當且僅當x＝y(tǒng)＝100時取等號． 所以當AP＝AQ＝100 m時，可使三角形地塊APQ的面積最大． (2) 由題意得100(1x＋1.5y)＝20 000，即x＋1.5y＝200 在△APQ中，PQ2＝x2＋y2－2xycos120＝x2＋y2＋xy. 即PQ2＝(200－1.5y)2＋y2＋(200－1.5y)y＝y(tǒng)2－400y＋40 000，其中00.(5分) 所以cosC＝－，(6分) 所以C＝π.(7分) (2) 因為△ABC的面積為2，所以absinC＝2，所以ab＝.(8分) 由(1)知C＝π，所以sinC＝，所以ab＝8.(9分) 又因為b＝2a，解得a＝2，b＝4， 所以c2＝a2＋b2－2abcosC＝22＋42－224＝28，(13分) 所以c＝2.(14分) 對于三角函數(shù)問題，在解題中要注意解題的規(guī)范性、嚴謹性，否則，就會因為解題不規(guī)范而導致失分．一般地，要注意以下幾個方面：一是在應用三角公式時，要注意展示公式的過程；二是在等式兩邊同除以一個代數(shù)式時，要注意判斷它是否為0；三是在研究角的關系時，要注意角的范圍． 【變式1】、在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且cosA＝，tan(B－A)＝. (1) 求tanB的值； (2) 若c＝13，求△ABC的面積． 【解析】：(1) 在△ABC中，由cosA＝，得A為銳角，所以sinA＝＝， 所以tanA＝＝， 所以tanB＝tan[(B－A)＋A]＝ ＝＝3. (2) 在△ABC中，由tanB＝3， 得sinB＝，cosB＝.(8分) 所以sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝. 由正弦定理＝，得b＝＝＝15， 所以△ABC的面積S＝bcsinA＝1513＝78. 【變式2】、在△ABC中，已知角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且tanB＝2，tanC＝3. (1) 求角A的大??； (2) 若c＝3，求b的長． 【解析】： (1) 因為tanB＝2，tanC＝3，A＋B＋C＝π， 所以tanA＝tan[π－(B＋C)]＝－tan(B＋C) ＝－＝－＝1. 又A∈(0，π)，所以A＝. (2) 因為tanB＝＝2，且sin2B＋cos2B＝1， 又B∈(0，π)，所以sinB＝. 同理可得sinC＝. 由正弦定理，得b＝＝＝2. 【變式3】、在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab. (1) 求角C的大小； (2) 若c＝2acosB，b＝2，求△ABC的面積． 【解析】(1) 在△ABC中，由(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，得＝－，即cosC＝－因為00，所以c＝2. 解后反思 在△ABC中，結論c＝acosB＋bcosA稱為“一般三角形射影定理”．其幾何意義(也是記憶方法)是：三角形一邊的長度等于另兩邊在這條邊上的射影之和． 【關聯(lián)2】、在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，已知c＝2，C＝. (1) 若△ABC的面積等于，求a，b； (2) 若sin C＋sin(B－A)＝2sin 2A，求△ABC的面積. 【解析】 (1) 由余弦定理及已知條件得a2＋b2－ab＝4 又因為△ABC的面積等于，所以absinC＝，得ab＝4. 聯(lián)立方程組解得a＝2，b＝2. 【關聯(lián)3】、在斜三角形ABC中，tanA＋tanB＋tanAtanB＝1. (1) 求C的值； (2) 若A＝15，AB＝，求△ABC的周長． 【解析】 (1) 解法1 因為tanA＋tanB＋tanAtanB＝1，即tanA＋tanB＝1－tanAtanB， 因為在斜三角形ABC中，1－tanAtanB≠0， 所以tan(A＋B)＝＝1， 即tan(180－C)＝1，即tanC＝－1， 因為00，A∈(0，π)，所以A∈，sinA＝.(10分) 因為sinA>sinB，所以a>b，從而A>B，B為銳角，cosB＝.(12分) 所以cosC＝－cos(A＋B)＝－cosAcosB＋sinAsinB＝ －＋＝.(14分) 【關聯(lián)1】、已知△ABC的面積為S，且||2＝＋2S. (1) 求B的大小； (2) 若S＝，且|－|＝1，試求△ABC最長邊的長度． 設角A，B，C所對的邊分別是a，b，c.因為||2＝＋2S，所以a2＝bacosC＋absinC，(2分) 所以a＝bcosC＋bsinC. 由正弦定理得sinA＝sinBcosC＋sinBsinC.(4分) 在△ABC中，sinA＝sin(B＋C)，sinC≠0，B∈(0，π)，(6分) 所以sinBcosC＋cosBsinC＝sinBcosC＋sinbsinC， 所以cosBsinC＝sinBsinC， 所以cosB＝sinB，tanB＝1，(8分) 所以B＝.(9分) (2) 因為b＝1，B＝，S＝， 所以＝acsinB.(10分) 由余弦定理得1＝a2＋c2－2ac.(11分) 解得a＝1，c＝或a＝，c＝1.(13分) 所以最長邊的長度為.(14分) 【關聯(lián)2】、在△ABC中，已知＝9，＝－16.求： (1) AB的值； (2) 的值． 【解析】(1) 解法1 因為＝9，＝－16，所以－＝9＋16＝25，即(＋)＝25，亦即2＝25，故AB＝5.解法2 設A，B，C的對邊依次為a，b，c. 則由條件得bccosA＝9，accosB＝16. 兩式相加得c(bcosA＋acosB)＝9＋16＝25，即c2＝25，故AB＝c＝5. (7分) 解法3 設A，B，C的對邊依次為a，b，c. 則由條件得bccosA＝9，accosB＝16. 由余弦定理得(b2＋c2－a2)＝9，(c2＋a2－b2)＝16. 兩式相加得c2＝25，故AB＝c＝5. (2) ＝. 由正弦定理得＝＝ ＝＝.