2018年高中數(shù)學(xué) 第二章 數(shù)列 2.3 等比數(shù)列學(xué)案 蘇教版選修5.doc

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2.3　 第一課時(shí)　等比數(shù)列的概念及通項(xiàng)公式 　預(yù)習(xí)課本P49～53，思考并完成以下問(wèn)題 (1)等比數(shù)列的定義是什么？它和等差數(shù)列有什么不同？ (2)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式怎樣表述？ (3)怎樣證明一個(gè)數(shù)列是等比數(shù)列？　 1．等比數(shù)列 一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比都等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比．通常用字母q表示． [點(diǎn)睛]　 (1)“從第二項(xiàng)起”，也就是說(shuō)等比數(shù)列中至少含有三項(xiàng)； (2)“每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比”不可理解為“每相鄰兩項(xiàng)的比”； (3)“同一常數(shù)q”，q是等比數(shù)列的公比，即q＝或q＝. 特別注意，q不可以為零，當(dāng)q＝1時(shí)，等比數(shù)列為常數(shù)列，非零的常數(shù)列是特殊的等比數(shù)列． 2．等比數(shù)列的通項(xiàng)公式 首項(xiàng)是a1，公比是q的等比數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝a1qn－1. [點(diǎn)睛]　(1)在已知首項(xiàng)a1和公比q的前提下，利用通項(xiàng)公式an＝a1qn－1可求出等比數(shù)列中的任一項(xiàng)； (2)等比數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝a1qn－1，可改寫(xiě)為an＝qn. 當(dāng)q＞0且q≠1時(shí)，這是指數(shù)型函數(shù)． 1．若等比數(shù)列的前三項(xiàng)分別為5，－15,45，則第5項(xiàng)是________． 解析：∵a5＝a1q4，而a1＝5，q＝－3，∴a5＝405. 答案：405 2．已知等比數(shù)列{an}中，a1＝32，公比q＝－，則a6＝______. 解析：由題知a6＝a1q5＝325＝－1. 答案：－1 3．已知數(shù)列a，a(1－a)，a(1－a)2，…是等比數(shù)列，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________． 解析：若數(shù)列{an}是等比數(shù)列，則數(shù)列中an≠0，即a≠1且a≠0. 答案：a≠0且a≠1 4．已知{an}是等比數(shù)列，a2＝2，a5＝，則公比q＝________. 解析：由題意知：q3＝＝，∴q＝. 答案： 等比數(shù)列的通項(xiàng)公式 [典例]　已知{an}為等比數(shù)列，a3＝2，a2＋a4＝，求{an}的通項(xiàng)公式． [解]　設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，則q≠0， a2＝＝，a4＝a3q＝2q， ∴＋2q＝，解得q＝或q＝3. 當(dāng)q＝時(shí)，a1＝18，此時(shí)an＝18n－1＝233－n； 當(dāng)q＝3時(shí)，a1＝，此時(shí)an＝3n－1＝23n－3. 等比數(shù)列通項(xiàng)公式的求法 (1)根據(jù)已知條件，建立關(guān)于a1，q的方程組，求出a1，q后再求an，這是常規(guī)方法． (2)充分利用各項(xiàng)之間的關(guān)系，直接求出q后，再求a1，最后求an，這種方法帶有一定的技巧性，能簡(jiǎn)化運(yùn)算． 　　　 [活學(xué)活用] 1．在等比數(shù)列{an}中，若a1＝，a7＝27，試求an. 解：由a7＝a1q6，得27＝q6. ∴q6＝272＝36.∴q＝3. 當(dāng)q＝3時(shí)，an＝a1qn－1＝3n－1＝3n－4； 當(dāng)q＝－3時(shí)，an＝a1qn－1＝(－3)n－1 ＝－(－3)－3(－3)n－1＝－(－3)n－4. 故an＝3n－4或an＝－(－3)n－4. 2．在等比數(shù)列{an}中，已知a3＋a6＝36，a4＋a7＝18，an＝，求n. 解：法一：∵a3＋a6＝36，a4＋a7＝18， ∴a1q2＋a1q5＝36， ① a1q3＋a1q6＝18， ② 得q＝，∴a1＋a1＝36，∴a1＝128， 而an＝a1qn－1，∴＝128n－1，∴n＝9. 法二：∵a4＋a7＝a3q＋a6q＝q(a3＋a6)， ∴q＝＝＝，而a3＋a6＝a3(1＋q3)， ∴a3＝＝＝32. ∵an＝a3qn－3，∴＝32n－3，∴n＝9. 等比數(shù)列的判斷與證明 [典例]　(1)若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且an＝2Sn－3，則{an}的通項(xiàng)公式是________． (2)已知等比數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝3n－1，且bn＝a3n－2＋a3n－1＋a3n，求證{bn}成等比數(shù)列． [解]　(1)由an＝2Sn－3得an－1＝2Sn－1－3(n≥2)，兩式相減得an－an－1＝2an(n≥2)， ∴an＝－an－1(n≥2)，＝－1(n≥2)． 故{an}是公比為－1的等比數(shù)列， 令n＝1得a1＝2a1－3，∴a1＝3， 故an＝3(－1)n－1. [答案]　an＝3(－1)n－1 (2)證明：∵an＝3n－1， ∴bn＝a3n－2＋a3n－1＋a3n＝33n－3＋33n－2＋33n－1＝33n－3＝ 3n－3， ∴＝3，當(dāng)n＝1時(shí)，b1＝，∴{bn}是以為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列． 判斷或證明數(shù)列為等比數(shù)列常用的方法 (1)定義法：＝q(q為常數(shù)且q≠0)等價(jià)于{an}是等比數(shù)列． (2)通項(xiàng)公式法： an＝a1qn－1(a1≠0且q≠0)等價(jià)于{an}是等比數(shù)列． [活學(xué)活用] 已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，Sn＝(an－1) (n∈N*)． (1)求a1，a2； (2)求證：數(shù)列{an}是等比數(shù)列． 解：(1)由S1＝(a1－1)，得a1＝(a1－1)， ∴a1＝－. 又S2＝(a2－1)，即a1＋a2＝(a2－1)，得a2＝. (2)證明：當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝(an－1)－(an－1－1)，得＝－，又＝－， 所以{an}是首項(xiàng)為－，公比為－的等比數(shù)列. 巧設(shè)項(xiàng)計(jì)算等比數(shù)列問(wèn)題 [典例]　已知三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，它們的積為27，它們的平方和為91，求這三個(gè)數(shù)． [解]　[法一　利用通項(xiàng)公式設(shè)項(xiàng)] 設(shè)這三個(gè)數(shù)依次為a，aq，aq2， 由題意知 ∴即 故＝得9q4－82q2＋9＝0， 解得q2＝9或q2＝，∴q＝3或q＝. 若q＝3，則a＝1；若q＝－3，則a＝－1； 若q＝，則a＝9；若q＝－，則a＝－9. 故這三個(gè)數(shù)為1,3,9或－1,3，－9或9,3,1或－9,3，－1. [法二　對(duì)稱設(shè)項(xiàng)] 由題意，可設(shè)這三個(gè)數(shù)分別為，a，aq， ∴即 得9q4－82q2＋9＝0.解得q2＝9或q2＝. ∴q＝3或q. 故這三個(gè)數(shù)為1,3,9或－1,3，－9或9,3,1或－9,3，－1. 一般地，關(guān)于等比數(shù)列的“對(duì)稱設(shè)”，當(dāng)項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)時(shí)，可設(shè)中間一個(gè)數(shù)為a，再以公比為q向兩邊對(duì)稱設(shè)其項(xiàng)；當(dāng)項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)時(shí)，可設(shè)中間兩項(xiàng)分別為、a，再以公比為q向兩邊對(duì)稱設(shè)其項(xiàng)． [活學(xué)活用] 已知四個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，其積為1，第二項(xiàng)與第三項(xiàng)之和為－，求這四個(gè)數(shù)． 解：設(shè)這四個(gè)數(shù)分別為a，aq，aq2，aq3. 則 由①得a2q3＝1， ③ 由②得a2q2(1＋q)2＝， ④ 把a(bǔ)2q2＝代入④得q2－q＋1＝0，此方程無(wú)解． 把a(bǔ)2q2＝－代入④得q2＋q＋1＝0， 解得q＝－4或q＝－. 當(dāng)q＝－時(shí)，a＝8； 當(dāng)q＝－4時(shí)，a＝－. 所以，這四個(gè)數(shù)分別是： 8，－2，，－或－，，－2,8. 層級(jí)一　學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo) 1．在等比數(shù)列中，已知首項(xiàng)為，末項(xiàng)為，公比為，則項(xiàng)數(shù)n為_(kāi)_______． 解析：由＝n－1?n＝4. 答案：4 2．已知{an}是等比數(shù)列，a1＝1，a4＝2，則a3等于________． 解析：由已知得a4＝a1q3，∴q3＝2，即q＝， ∴a3＝a1q2＝1()2＝2. 答案：2 3．已知等比數(shù)列{an}為遞增數(shù)列．若a1>0，且2(an＋an＋2)＝5an＋1，則數(shù)列{an}的公比q＝________. 解析：∵2(an＋an＋2)＝5an＋1，∴2an＋2anq2＝5anq，化簡(jiǎn)得，2q2－5q＋2＝0，由題意知，q>1，∴q＝2. 答案：2 4．在等比數(shù)列{an}中，若公比q＝4，且a1＋a2＋a3＝21，則該數(shù)列的通項(xiàng)公式an＝________. 解析：由題意知a1＋4a1＋16a1＝21，解得a1＝1，所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝4n－1. 答案：4n－1 5．已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列，a1，a2，a3依次位于下表中第一行，第二行，第三行中的某一格內(nèi)，又a1，a2，a3中任何兩個(gè)都不在同一列，則an＝________(n∈N*). 第一列 第二列 第三列 第一行 1 10 2 第二行 6 14 4 第三行 9 18 8 解析：觀察題中的表格可知a1，a2，a3分別為2,6,18，即{an}是首項(xiàng)為2，公比為3的等比數(shù)列，∴an＝23n－1. 答案：23n－1 6．某單位某年十二月份的產(chǎn)值是同一年一月份產(chǎn)值的m倍，那么該單位此年的月平均增長(zhǎng)率是________． 解析：由題意知，這一年中的每一個(gè)月的產(chǎn)值成等比數(shù)列，設(shè)一月份的產(chǎn)值為a1，則十二月份產(chǎn)值為a12，設(shè)平均增長(zhǎng)率為x，則a1(1＋x)11＝ a12，∵(1＋x)11＝＝m.∴x＝－1.即此年的月平均增長(zhǎng)率為－1. 答案：－1 7．在數(shù)列{an}中，已知a1＝1，an＝2(an－1＋an－2＋…＋a2＋a1)(n≥2，n∈N*)，這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是________． 解析：由已知n≥2時(shí)，an＝2Sn－1；　 ① 當(dāng)n≥3時(shí)，an－1＝2Sn－2，　 ② ①－②整理得＝3(n≥3)， ∴an＝ 答案：an＝ 8．等比數(shù)列{an}中，|a1|＝1，a5＝－8a2，a5>a2，則an＝________. 解析：∵|a1|＝1，∴a1＝1或a1＝－1. ∵a5＝－8a2＝a2q3，∴q3＝－8，q＝－2. 又a5>a2，即a2q3>a2， ∴a2<0.而a2＝a1q＝a1(－2)<0， ∴a1＝1.故an＝a1(－2)n－1＝(－2)n－1. 答案：(－2)n－1 9．在四個(gè)正數(shù)中，前三個(gè)成等差數(shù)列，和為48，后三個(gè)成等比數(shù)列，積為8 000，求這四個(gè)數(shù)． 解：設(shè)前三個(gè)數(shù)分別為a－d，a，a＋d，則有 (a－d)＋a＋(a＋d)＝48，即a＝16. 設(shè)后三個(gè)數(shù)分別為，b，bq，則有 bbq＝b3＝8 000，即b＝20， ∴這四個(gè)數(shù)分別為m,16,20，n， ∴m＝216－20＝12，n＝＝25. 即所求的四個(gè)數(shù)分別為12,16,20,25. 10．已知遞增的等比數(shù)列{an}滿足a2＋a3＋a4＝28，且a3＋2是a2和a4的等差中項(xiàng)，求an. 解：設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q.依題意，知2(a3＋2)＝a2＋a4， ∴a2＋a3＋a4＝3a3＋4＝28， ∴a3＝8，a2＋a4＝20， ∴＋8q＝20，解得q＝2或q＝(舍去)． 又a1＝＝2，∴an＝2n. 層級(jí)二　應(yīng)試能力達(dá)標(biāo) 1．某公司第一年獲得1萬(wàn)元的利潤(rùn)，以后每年比前一年增加30%的利潤(rùn)，如此下去，則該公司第10年獲得利潤(rùn)為_(kāi)_______萬(wàn)元．(精確到萬(wàn)元)． (參考數(shù)據(jù)：1.39≈10.60,1.310≈13.78,1.311≈17.92) 解析：由題意知各年的利潤(rùn)成公比為1.3的等比數(shù)列，首項(xiàng)a1＝1，則a10＝11.39≈10.60≈11(萬(wàn)元)． 答案：11萬(wàn)元 2．若等比數(shù)列{an}滿足anan＋1＝16n，則公比為_(kāi)_______． 解析：由anan＋1＝16n，知a1a2＝16，a2a3＝162，后式除以前式得q2＝16，∴q＝4.∵a1a2＝aq＝16>0，∴q>0，∴q＝4. 答案：4 3．一個(gè)蜂巢里有1只蜜蜂，第一天，它飛出去帶回了5個(gè)伙伴；第二天，6只蜜蜂飛出去各自帶回了5個(gè)伙伴……如果這個(gè)過(guò)程繼續(xù)下去，那么第6天所有蜜蜂歸巢后，蜂巢中共有蜜蜂________只． 解析：從第一天起，每一天歸巢后，蜂巢中的蜜蜂數(shù)依次為：6,62,63，...，這是一個(gè)等比數(shù)列，首項(xiàng)為6，公比為6，所以第6天所有蜜蜂歸巢后，蜂巢中共有蜜蜂66只． 答案：66 4．在等比數(shù)列{an}中，a9＋a10＝a(a≠0)，a19＋a20＝b，則a99＋a100＝________. 解析：設(shè)公比為q，則＝q10＝，＝q90＝(q10)9＝9，故a99＋a100＝9(a9＋a10)＝. 答案： 5．若等比數(shù)列{an}{an∈R}對(duì)任意的正整數(shù)m，n滿足am＋n＝aman，且a3＝2，那么a12＝________. 解析：令m＝1，則an＋1＝ana1?a1＝q，an＝qn.因?yàn)閍3＝q3＝2，所以a12＝q12＝64. 答案：64 6．在如圖的表格中，每格填上一個(gè)數(shù)字后，使得每一橫行成等差數(shù)列，每一縱列成等比數(shù)列，則a＋b＋c的值為_(kāi)_______. 1 2 0.5 1 a b c 解析：由表格知，第一行構(gòu)成以1為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，所以第一行第四個(gè)數(shù)為，第五個(gè)數(shù)為3.第三列構(gòu)成以2為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以a＝.同理，b＝，c＝，所以a＋b＋c＝1. 答案：1 7．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝2an＋1，求證：{an}是等比數(shù)列，并求出通項(xiàng)公式． 證明：∵Sn＝2an＋1，∴Sn＋1＝2an＋1＋1. ∴Sn＋1－Sn＝an＋1＝(2an＋1＋1)－(2an＋1)＝2an＋1－2an. ∴an＋1＝2an.① 又∵S1＝a1＝2a1＋1， ∴a1＝－1≠0. 由①式可知，an≠0， ∴由＝2知{an}是等比數(shù)列，an＝－2n－1. 8．在數(shù)列{an}中，a1＝2，an＋1＝4an－3n＋1，n∈N＋. (1)證明數(shù)列{an－n}是等比數(shù)列； (2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式． 解：(1)證明：由題設(shè)an＋1＝4an－3n＋1， 得an＋1－(n＋1)＝4(an－n)，n∈N＋. 又a1－1＝1， 所以數(shù)列{an－n}是首項(xiàng)為1，且公比為4的等比數(shù)列． (2)由(1)可知an－n＝4n－1， 于是數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝4n－1＋n. 第二課時(shí)　等比數(shù)列的性質(zhì) 　預(yù)習(xí)課本P54習(xí)題T10～T12，思考并完成以下問(wèn)題 (1)等比中項(xiàng)的定義是什么？ (2)等比數(shù)列項(xiàng)的運(yùn)算性質(zhì)是什么？ 1．等比中項(xiàng) 若a，G，b成等比數(shù)列，則稱G為a和b的等比中項(xiàng)． [點(diǎn)睛]　(1)在一個(gè)等比數(shù)列中，從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)(有窮數(shù)列的末項(xiàng)除外)都是它的前一項(xiàng)與后一項(xiàng)的等比中項(xiàng)． (2)當(dāng)a，b同號(hào)時(shí)，a，b的等比中項(xiàng)有兩個(gè)，異號(hào)時(shí)，沒(méi)有等比中項(xiàng)．所以“a，G，b成等比數(shù)列”與“G＝”是不等價(jià)的． (3)“a，G，b成等比數(shù)列”等價(jià)于“G2＝ab(a，b均不為0)”，可以用它來(lái)判斷或證明三數(shù)成等比數(shù)列． (4)利用等比中項(xiàng)法：a＝anan＋2(n∈N*，且an≠0)可證明{an}是等比數(shù)列． 2．等比數(shù)列的性質(zhì) (1)若數(shù)列{an}，{bn}是項(xiàng)數(shù)相同的等比數(shù)列，則{anbn}也是等比數(shù)列．特別地，若{an}是等比數(shù)列，c是不等于0的常數(shù)，則{can}也是等比數(shù)列． (2)在等比數(shù)列{an}中，若m＋n＝p＋q，則aman＝apaq.特別地，若m＋n＝2t(t∈N*)，則aman＝a. (3)數(shù)列{an}是有窮數(shù)列，則與首末兩項(xiàng)等距離的兩項(xiàng)的積相等，且等于首末兩項(xiàng)的積． (4)在等比數(shù)列{an}中，每隔k項(xiàng)取出一項(xiàng)，按原來(lái)的順序排列，所得新數(shù)列仍為等比數(shù)列，公比為qk＋1. (5)當(dāng)m，n，p(m，n，p∈N*)成等差數(shù)列時(shí)，am，an，ap成等比數(shù)列． 1.＋1與－1兩數(shù)的等比中項(xiàng)是________． 解析：設(shè)等比中項(xiàng)為x，則x2＝(＋1)(－1)＝1，即x＝1.　 答案：1 2．在等比數(shù)列{an}中，a4＝4，則a2a6＝________. 解析：由等比數(shù)列的性質(zhì)得a2a6＝a＝42＝16. 答案：16 3．已知等比數(shù)列{an}中，a4＝7，a6＝21，則a8的值為_(kāi)_______． 解析：∵{an}成等比數(shù)列．∴a4，a6，a8成等比數(shù)列 ∴a＝a4a8，即a8＝＝63. 答案：63 4．在等比數(shù)列{an}中，各項(xiàng)都是正數(shù)，a6a10＋a3a5＝41，a4a8＝4，則a4＋a8＝________. 解析：∵a6a10＝a，a3a5＝a，∴a＋a＝41， 又a4a8＝4， ∴(a4＋a8)2＝a＋a＋2a4a8＝41＋8＝49， ∵數(shù)列各項(xiàng)都是正數(shù)， ∴a4＋a8＝7. 答案：7 等比中項(xiàng)及應(yīng)用 [典例]　等比數(shù)列{an}的前三項(xiàng)的和為168，a2－a5＝42，求a5，a7的等比中項(xiàng)． [解]　設(shè)該等比數(shù)列的公比為q，首項(xiàng)為a1，因?yàn)閍2－a5＝42，所以q≠1，由已知，得 所以 因?yàn)?－q3＝(1－q)(1＋q＋q2)， 所以由②除以①，得q(1－q)＝. 所以q＝.所以a1＝＝96. 若G是a5，a7的等比中項(xiàng)， 則應(yīng)有G2＝a5a7 ＝a1q4a1q6＝aq10 ＝96210＝9. 所以a5，a7的等比中項(xiàng)是3. 由等比中項(xiàng)的定義可知：＝?G2＝ab?G＝.這表明：只有同號(hào)的兩項(xiàng)才有等比中項(xiàng)，并且這兩項(xiàng)的等比中項(xiàng)有兩個(gè)，它們互為相反數(shù)．異號(hào)的兩數(shù)沒(méi)有等比中項(xiàng)．反之，若G2＝ab，則＝，即a，G，b成等比數(shù)列．所以a，G，b成等比數(shù)列?G2＝ab(ab≠0)． [活學(xué)活用] 1．公差不為0的等差數(shù)列第二、三、六項(xiàng)構(gòu)成等比數(shù)列，則公比為_(kāi)_______． 解析：設(shè)等差數(shù)列的公差為d(d≠0)， ∴a2＝a1＋d，a3＝a1＋2d，a6＝a1＋5d. ∴(a1＋2d)2＝(a1＋d)(a1＋5d)． ∴d2＋2a1d＝0. ∵d≠0，∴d＝－2a1. ∴q＝＝＝3. 答案：3 2．已知實(shí)數(shù)a，b，c成等差數(shù)列，a＋1，b＋1，c＋4成等比數(shù)列，且a＋b＋c＝15，求a，b，c. 解：由題意，得 由①②兩式，解得b＝5. 將c＝10－a代入③，整理得a2－13a＋22＝0，解得a＝2，或a＝11， 故a＝2，b＝5，c＝8或a＝11，b＝5，c＝－1, 經(jīng)驗(yàn)證，上述兩組數(shù)都符合題意. 等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用 [典例]　在等比數(shù)列{an}中， (1)若已知a3a4a5＝8，求a2a3a4a5a6的值； (2)若a2＝2，a6＝16，求a10； (3)若a3＝－2，a7＝－16，求a5. [解]　(1)∵a3a4a5＝8，∴a＝8，a4＝2. ∴a2a3a4a5a6＝(a2a6)(a3a5)a4＝aaa4＝32. (2)∵a2a10＝a，∴a10＝＝＝128. (3)∵a3a7＝a，∴a5＝ ＝4. 又∵a5＝a3q2<0，∴a5＝－4. 有關(guān)等比數(shù)列的計(jì)算問(wèn)題，基本方法是運(yùn)用方程思想列出基本量a1和q的方程組，先解出a1和q，然后利用通項(xiàng)公式求解．但有時(shí)運(yùn)算稍繁，而利用等比數(shù)列的性質(zhì)解題，卻簡(jiǎn)便快捷，為了發(fā)現(xiàn)性質(zhì)，要充分發(fā)揮項(xiàng)的“下標(biāo)”的指導(dǎo)作用． [活學(xué)活用] 1．在等比數(shù)列{an}中，若a3a5a7a9a11＝243，則的值為_(kāi)_______． 解析：由a3a5a7a9a11＝243，得a＝243， ∴a7＝3.∴＝＝a7＝3. 答案：3 2．已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列，且a2a6＝2a4，則a3a5＝________. 解析：∵a2a6＝2a4， 由等比數(shù)列的性質(zhì)可知，a2a6＝a3a5＝a， ∴a＝2a4，∴a4＝2，∴a3a5＝4. 答案：4 等比數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用 [典例]　某人買(mǎi)了一輛價(jià)值13.5萬(wàn)元的新車(chē)，專家預(yù)測(cè)這種車(chē)每年按10%的速度貶值． (1)用一個(gè)式子表示第n(n∈N*)年這輛車(chē)的價(jià)值． (2)如果他打算用滿4年時(shí)賣(mài)掉這輛車(chē)，他大概能得到多少錢(qián)？ [解]　(1)從第一年起，每年車(chē)的價(jià)值(萬(wàn)元)依次設(shè)為：a1，a2，a3，…，an， 由題意，得a1＝13.5，a2＝13.5(1－10%)， a3＝13.5(1－10%)2，…. 由等比數(shù)列定義，知數(shù)列{an}是等比數(shù)列，首項(xiàng)a1＝13.5，公比q＝(1－10%)＝0.9， ∴an＝a1qn－1＝13.5(0.9)n－1. ∴第n年車(chē)的價(jià)值為an＝13.5(0.9)n－1萬(wàn)元． (2)當(dāng)他用滿4年時(shí)，車(chē)的價(jià)值為a5＝13.5(0.9)5－1≈8.857. ∴用滿4年時(shí)賣(mài)掉時(shí)，他大概能得到8.857萬(wàn)元． 解等比數(shù)列應(yīng)用題的步驟 (1)審題：解決數(shù)列應(yīng)用題的關(guān)鍵是讀懂題意； (2)建模：建立數(shù)學(xué)模型，將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列的問(wèn)題； (3)解模：解數(shù)學(xué)模型，注意隱含條件，數(shù)列中n的值是正整數(shù)； (4)還原：最后轉(zhuǎn)化為實(shí)際問(wèn)題作出回答． [活學(xué)活用] 某工廠2016年1月的生產(chǎn)總值為a萬(wàn)元，計(jì)劃從2016年2月起，每月生產(chǎn)總值比上一個(gè)月增長(zhǎng)m%，那么到2017年8月底該廠的生產(chǎn)總值為多少萬(wàn)元？ 解：設(shè)從2016年開(kāi)始，第n個(gè)月該廠的生產(chǎn)總值是an萬(wàn)元，則an＋1＝an＋anm%，∴＝1＋m%. ∴數(shù)列{an}是首項(xiàng)a1＝a，公比q＝1＋m%的等比數(shù)列． ∴an＝a(1＋m%)n－1. ∴2017年8月底該廠的生產(chǎn)總值為a20＝a(1＋m%)20－1＝a(1＋m%)19萬(wàn)元． 層級(jí)一　學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo) 1．等比數(shù)列{an}中，a4＝4，則a1a7＝________. 解析：由等比數(shù)列的性質(zhì)可得：a1a7＝a＝16. 答案：16 2．已知x，y，z∈R，若－1，x，y，z，－3成等比數(shù)列，則xyz＝________. 解析：由等比中項(xiàng)知y2＝3，∴y＝，又∵y與－1，－3符號(hào)相同，∴y＝－，y2＝xz，所以xyz＝y(tǒng)3＝－3. 答案：－3 3．已知等比數(shù)列{an}的公比為正數(shù)，且a3a9＝2a，a2＝1，則a1＝________. 解析：因?yàn)閍3a9＝2a＝a所以q2＝2， 因?yàn)楦黜?xiàng)為正數(shù)，所以q＝， 由a2＝1，所以a1＝. 答案： 4．已知等比數(shù)列{an}滿足an>0，n＝1,2，…，且a5a2n－5＝22n(n≥3)，則log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1＝________. 解析：∵a5a2n－5＝a＝22n，且an>0，∴an＝2n， ∵a2n－1＝22n－1，∴l(xiāng)og2a2n－1＝2n－1， ∴l(xiāng)og2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1 ＝1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝＝n2. 答案：n2 5．在等比數(shù)列{an}中，若a7＋a8＋a9＋a10＝，a8a9＝－，則＋＋＋＝________. 解析：a7＋a8＋a9＋a10＝，a8a9＝a7a10＝－，∴＋＋＋＝＝ ＝＝＝－. 答案：－ 6．已知等比數(shù)列{an}中，各項(xiàng)都是正數(shù)，且a1，a3,2a2成等差數(shù)列，則＝________. 解析：由條件知a3＝a1＋2a2，∴a1q2＝a1＋2a1q， ∵a1≠0，∴q2－2q－1＝0.∵q>0，∴q＝1＋， ∴＝q2＝3＋2. 答案：3＋2 7．等比數(shù)列{an}中a1＝2，公比q＝－2，記Πn＝a1a2…an(即Πn表示數(shù)列{an}的前n項(xiàng)之積)，Π8，Π9，Π10，Π11中值最大的是________． 解析：由a1＝2，q＝－2， Πn＝a1a2…an＝(a1)nq. Π8＝28(－2)28＝236；Π9＝29(－2)36＝245； Π10＝210(－2)45＝－255；Π11＝211(－2)55＝－266； 所以Π8，Π9，Π10，Π11中值最大的是Π9. 答案：Π9 8．在正項(xiàng)等比數(shù)列{an}中，已知a1a2a3＝4，a4a5a6＝12，an－1anan＋1＝324，則n＝________. 解析：設(shè)數(shù)列{an}的公比為q，由a1a2a3＝4＝aq3與a4a5a6＝12＝aq12可得q9＝3，an－1anan＋1＝aq3n－3＝324，因此q3n－6＝81＝34＝q36，所以n＝14. 答案：14 9．等比數(shù)列{an}滿足：a1＋a6＝11，a3a4＝，且公比q∈(0,1)．求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式． 解：因?yàn)閍3a4＝a1a6＝，又a1＋a6＝11， 故a1，a6可看作方程x2－11x＋＝0的兩根， 又q∈(0,1)，所以a1＝，a6＝， 所以q5＝＝，所以q＝， 所以an＝n－1＝n－6. 10．在等比數(shù)列{an}中，已知a1＋a2＝6，a3＋a4＝3，求a5＋a6＋a7＋a8. 解：因?yàn)閧an}為等比數(shù)列 所以a3＋a4是a1＋a2與a5＋a6的等比中項(xiàng)， 所以(a3＋a4)2＝(a1＋a2)(a5＋a6)， 所以a5＋a6＝＝＝， 同理，a5＋a6是a3＋a4與a7＋a8的等比中項(xiàng)， 所以(a5＋a6)2＝(a3＋a4)(a7＋a8)， 故a7＋a8＝＝， 所以a5＋a6＋a7＋a8＝＋＝. 層級(jí)二　應(yīng)試能力達(dá)標(biāo) 1．若a，b，c既成等差數(shù)列，又成等比數(shù)列，則公比為_(kāi)_______． 解析：由已知得 ∴2b＝a＋.即a2＋b2＝2ab. ∴(a－b)2＝0.∴a＝b≠0.∴q＝＝1. 答案：1 2．設(shè){an}是首項(xiàng)為a1，公差為－1的等差數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)和．若S1，S2，S4成等比數(shù)列，則a1的值為_(kāi)_______． 解析：由已知得S1S4＝S， 即a1(4a1－6)＝(2a1－1)2，解得a1＝－. 答案：－ 3.如圖，在等腰直角三角形ABC 中，斜邊BC＝2.過(guò)點(diǎn) A作BC 的垂線，垂足為A1 ；過(guò)點(diǎn) A1作 AC的垂線，垂足為 A2；過(guò)點(diǎn)A2 作A1C 的垂線，垂足為A3 ；…，依此類推．設(shè)BA＝a1 ，AA1＝a2 , A1A2＝a3 ，…， A5A6＝a7 ，則 a7＝________. 解析：等腰直角三角形ABC中，斜邊BC＝2，所以AB＝AC＝a1＝2，AA1＝a2＝，…，An－1An＝an＋1＝sinan＝an＝2n，故a7＝26＝. 答案： 4．已知{an}為等比數(shù)列，a4＋a7＝2，a5a6＝－8，則a1＋a10＝________. 解析：∵a4＋a7＝2，由等比數(shù)列的性質(zhì)可得， a5a6＝a4a7＝－8， ∴a4＝4，a7＝－2或a4＝－2，a7＝4， 當(dāng)a4＝4，a7＝－2時(shí)，q3＝－， 則a1＝－8，a10＝1， ∴a1＋a10＝－7， 當(dāng)a4＝－2，a7＝4時(shí)，q3＝－2， 則a10＝－8，a1＝1， ∴a1＋a10＝－7， 綜上可得，a1＋a10＝－7. 答案：－7 5．在等比數(shù)列{an}中，已知a4a7＝－512，a3＋a8＝124，且公比為整數(shù)，則a10＝________. 解析：由a4a7＝－512，得a3a8＝－512. 由 解得或(舍去)． 所以q＝＝－2. 所以a10＝a3q7＝－4(－2)7＝512. 答案：512 6．已知a，b，c成等比數(shù)列，如果a，x，b和b，y，c都成等差數(shù)列，則＋＝________. 解析：設(shè)公比為q，則b＝aq，c＝aq2， x＝(a＋b)＝a(1＋q)， y＝(b＋c)＝aq(1＋q)， 所以＋＝ ＝＝2. 答案：2 7．已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列且公差d≠0，{an}的部分項(xiàng)組成下列數(shù)列：ak1，ak2，…，akn恰為等比數(shù)列，其中k1＝1，k2＝5，k3＝17，求kn. 解：由題設(shè)有a2k2＝ak1ak3，即a＝a1a17， ∴(a1＋4d)2＝a1(a1＋16d)， ∴a1＝2d或d＝0(舍去)，∴a5＝a1＋4d＝6d， ∴等比數(shù)列的公比q＝＝＝3. 由于akn是等差數(shù)列的第kn項(xiàng)，又是等比數(shù)列的第n項(xiàng)， 故akn＝a1＋(kn－1)d＝ak1qn－1，∴kn＝23n－1－1. 8．在正項(xiàng)等比數(shù)列{an}中，a1a5－2a3a5＋a3a7＝36，a2a4＋2a2a6＋a4a6＝100，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式． 解：∵a1a5＝a，a3a7＝a， ∴由題意，得a－2a3a5＋a＝36， 同理得a＋2a3a5＋a＝100， ∴即 解得或 分別解得或 ∴an＝2n－2或an＝26－n. 第三課時(shí)　等比數(shù)列的前n項(xiàng)和 　預(yù)習(xí)課本P55～60，思考并完成以下問(wèn)題 (1)公比是1的等比數(shù)列的前n項(xiàng)和如何計(jì)算？ (2)能否根據(jù)首項(xiàng)、末項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)求出等比數(shù)列的前n項(xiàng)和？ (3)能否根據(jù)首項(xiàng)、公比與項(xiàng)數(shù)求出等比數(shù)列的前n項(xiàng)和？ (4)等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)有哪些？ 　　　 1．等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式 已知量 首項(xiàng)a1與公比q 首項(xiàng)a1，末項(xiàng)an與公比q 公式 Sn＝ Sn＝ [點(diǎn)睛]　在應(yīng)用公式求和時(shí)，應(yīng)注意到Sn＝的使用條件為q≠1，而當(dāng)q＝1時(shí)應(yīng)按常數(shù)列求和，即Sn＝na1. 2．等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì) (1)等比數(shù)列{an}中，若項(xiàng)數(shù)為2n，則＝q；若項(xiàng)數(shù)為2n＋1，則＝q. (2)若等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…，成等比數(shù)列(其中Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…，均不為0)． (3)若一個(gè)非常數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝Aqn－A(A≠0，q≠0，n∈N*)，則數(shù)列{an}為等比數(shù)列，即Sn＝Aqn－A(A≠0，q≠0，q≠1，n∈N*)?數(shù)列{an}為等比數(shù)列． 1．在等比數(shù)列{an}中，a1＝2，a4＝16，則a2＋a4＋…＋a2n＝________. 解析：根據(jù)a4＝a1q3＝16，解得q＝2，所求和即以a2為首項(xiàng)，公比為4的等比數(shù)列求和，∴a2＋a4＋…＋a2n＝. 答案： 2．設(shè){an}是公比為正數(shù)的等比數(shù)列，若a1＝1，a5＝16，則數(shù)列{an}的前7項(xiàng)的和為_(kāi)_______． 解析：a5＝a1q4＝16， 所以q＝2，即S7＝＝127， 答案：127 3．等比數(shù)列{an}中，公比q＝－2，S5＝44，則a1的值為_(kāi)_______． 解析：由S5＝＝44，得a1＝4. 答案：4 4．設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S6∶S3＝1∶2，則S9∶S3＝________. 解析：由等比數(shù)列的性質(zhì)：S3，S6－S3，S9－S6仍成等比數(shù)列，于是(S6－S3)2＝S3(S9－S6)，將S6＝S3代入得＝. 答案：3∶4 等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的基本運(yùn)算 [典例]　在等比數(shù)列{an}中， (1)若Sn＝189，q＝2，an＝96，求a1和n； (2)若a1＋a3＝10，a4＋a6＝，求a4和S5； (3)若q＝2，S4＝1，求S8. [解]　(1)法一：由Sn＝， an＝a1qn－1以及已知條件得 ∴a12n＝192，∴2n＝. ∴189＝a1(2n－1)＝a1，∴a1＝3. 又∵2n－1＝＝32，∴n＝6. 法二：由公式Sn＝及條件得 189＝，解得a1＝3，又由an＝a1qn－1， 得96＝32n－1，解得n＝6. (2)設(shè)公比為q，由通項(xiàng)公式及已知條件得 即 ∵a1≠0,1＋q2≠0，∴②①得， q3＝，即q＝，∴a1＝8. ∴a4＝a1q3＝83＝1， S5＝＝＝. (3)設(shè)首項(xiàng)為a1， ∵q＝2，S4＝1，∴＝1，即a1＝， ∴S8＝＝＝17. (1)熟練掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式，運(yùn)用方程的思想，求出基本量a1和q，然后求出其它量， 是解這類題的常用方法． (2)已知an時(shí)，用Sn＝較簡(jiǎn)便，而Sn＝在將已知量表示為最基本元素a1和q的表達(dá)式中發(fā)揮著重要作用． 　　　　 [活學(xué)活用] 1．已知數(shù)列{an}滿足3an＋1＋an＝0，a2＝－，則{an}的前10項(xiàng)和等于________． 解析：由3an＋1＋an＝0得an＋1＝－an，所以{an}是公比為－的等比數(shù)列，由a2＝－得a1＝4，所以由等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式得S10＝3(1－3－10)． 答案：3(1－3－10) 2．設(shè)等比數(shù)列{an}的公比q<1，前n項(xiàng)和為Sn，已知a3＝2，S4＝5S2，求{an}的通項(xiàng) 公式． 解：由題設(shè)知a1≠0， 則 由②得1－q4＝5(1－q2)，即(q2－4)(q2－1)＝0. ∵q<1，∴q＝－1或q＝－2. 當(dāng)q＝－1時(shí)，代入①得a1＝2，此時(shí)an＝2(－1)n－1， 當(dāng)q＝－2時(shí)，代入①得a1＝，此時(shí)an＝(－2)n－1. 綜上，當(dāng)q＝－1時(shí)，an＝2(－1)n－1； 當(dāng)q＝－2時(shí)，an＝(－2)n－1. 等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)及應(yīng)用 [典例]　等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝48，前2n項(xiàng)和S2n＝60，則前3n項(xiàng)和S3n＝________. [解析]　[法一　公式法] 設(shè)公比為q，由已知易知q≠1，由?所以S3n＝＝[1－(qn)3]＝64＝63. [法二　性質(zhì)法] 由Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比數(shù)列，得(S2n－Sn)2＝Sn(S3n－S2n)，即(60－48)2＝48(S3n－60)?S3n＝63. [答案]　63 運(yùn)用等比數(shù)列求和性質(zhì)解題時(shí)，一定要注意性質(zhì)成立的條件．否則會(huì)出現(xiàn)失誤．如Sn，S2n－Sn，S3n－S2n…成等比數(shù)列的前提是Sn，S2n－Sn，S3n－S2n均不為0. [活學(xué)活用] 1．若等比數(shù)列{an}的公比為，且a1＋a3＋…＋a99＝60，則{an}的前100項(xiàng)和為_(kāi)_______． 解析：令X＝a1＋a3＋…＋a99＝60，Y＝a2＋a4＋…＋a100， 則S100＝X＋Y， 由等比數(shù)列前n項(xiàng)和性質(zhì)知：＝q＝， 所以Y＝20，即S100＝X＋Y＝80. 答案：80 2．一個(gè)項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)的等比數(shù)列{an}，全部各項(xiàng)之和為偶數(shù)項(xiàng)之和的4倍，前3項(xiàng)之積為64，求數(shù)列的通項(xiàng)公式． 解：設(shè)數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公比為q，所有奇數(shù)項(xiàng)、偶數(shù)項(xiàng)之和分別記作S奇，S偶，由題意可知， S奇＋S偶＝4S偶，即S奇＝3S偶． 因?yàn)閿?shù)列{an}的項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)，所以有q＝＝. 又因?yàn)閍1a1qa1q2＝64，所以aq3＝64，即a1＝12，故所求通項(xiàng)公式為an＝12n－1. 等比數(shù)列前n項(xiàng)和的實(shí)際應(yīng)用 [典例]　從社會(huì)效益和經(jīng)濟(jì)效益出發(fā)，某地投入資金進(jìn)行生態(tài)環(huán)境建設(shè)，并以此發(fā)展旅游業(yè)，根據(jù)計(jì)劃，本年度投入800萬(wàn)元，以后每年投入將比上年減少，本年度當(dāng)?shù)芈糜螛I(yè)收入估計(jì)為400萬(wàn)元，由于該項(xiàng)建設(shè)對(duì)旅游業(yè)的促進(jìn)作用，預(yù)計(jì)今后的旅游業(yè)收入每年會(huì)比上年增加. (1)設(shè)n年內(nèi)(本年度為第一年)總投入為an萬(wàn)元，旅游業(yè)總收入為bn萬(wàn)元，寫(xiě)出an，bn的表達(dá)式； (2)到第6年時(shí)旅游業(yè)收入能否超過(guò)投入？ [解]　(1)第1年投入為800萬(wàn)元，第2年投入為800萬(wàn)元，…，第n年投入為800n－1萬(wàn)元． 所以n年內(nèi)的總投入 an＝800＋800＋…＋800n－1 ＝800 ＝4 000. 第一年旅游業(yè)收入為400萬(wàn)元，第二年的旅游業(yè)收入為400萬(wàn)元，…，第n年的旅游業(yè)收入為400n－1萬(wàn)元． 所以n年內(nèi)的旅游業(yè)總收入 bn＝400＋400＋…＋400n－1 ＝400 ＝1 600. (2)a6＝4 000，b6＝1 600. 因?yàn)閍6－b6＝4 000－4 0006－1 6006＋1 600＝5 600－4 0006－1 6006<0 所以，到第6年，旅游業(yè)收入超過(guò)總投入． 對(duì)于有些數(shù)列應(yīng)用題，解題的關(guān)鍵在于認(rèn)真閱讀題意，抓住關(guān)鍵，建立相應(yīng)的等差、等比數(shù)列的模型．另外要注意分清求的是數(shù)列的通項(xiàng)還是前n項(xiàng)和． [活學(xué)活用] 在一次人才招聘會(huì)上，A，B兩家公司分別開(kāi)出了工資標(biāo)準(zhǔn)： A公司 B公司 第一年月工資為1 500元，以后每一年月工資比上一年月工資增加230元 第一年月工資為2 000元，以后每一年月工資比上一年月工資增加5% 大學(xué)生王明被A，B兩家公司同時(shí)錄取，而王明只想選擇一家連續(xù)工作10年，經(jīng)過(guò)一番思考，他選擇了A公司，你知道為什么嗎？ 解：如下表所示. A公司 B公司 工資標(biāo)準(zhǔn) 第一年月工資為1 500元，以后每一年月工資比上一年月工資增加230元 第一年月工資為2 000元，以后每一年月工資比上一年月工資增加5% 王明的選擇過(guò)程 第n年月工資為an元 第n年月工資為bn元 {an}是首項(xiàng)為1 500，公差為230的等差數(shù)列 {bn}是首項(xiàng)為2 000，公比為1＋5%的等比數(shù)列 an＝230n＋1 270 bn＝2 000(1＋5%)n－1 S10＝12(a1＋a2＋…＋a10)＝12＝ 304 200(元) T10＝12(b1＋b2＋…＋b10)＝12≈301 869(元) 結(jié)論 顯然S10>T10，故王明選擇了A公司 層級(jí)一　學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo) 1．等比數(shù)列{an}中，q＝－， S5＝11，則a1，a5分別為_(kāi)_______，________. 解析：S5＝＝11?a1＝16，a5＝a1q4＝164＝1. 答案：16　1 2．在等比數(shù)列{an}中，若a2＝9，a5＝243，則數(shù)列{an}的前4項(xiàng)和為_(kāi)_______． 解析：設(shè)等比數(shù)列{an}中的公比為q，根據(jù)題意及等比數(shù)列的性質(zhì)可知：＝27＝q3，所以q＝3，所以a1＝＝3，所以S4＝＝120. 答案：120 3．設(shè)Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，8a2＋a5＝0，則＝________. 解析：由8a2＋a5＝0，得8a1q＋a1q4＝0，所以q＝－2，則＝＝－11. 答案：－11 4．設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.若a1＝1，S6＝4S3，則a4＝________. 解析：因?yàn)榈缺葦?shù)列{an}中，a1＝1，S6＝4S3，所以q≠1，所以＝4，解得q3＝3，所以a4＝1q3＝3. 答案：3 5．已知等比數(shù)列{an}是遞增數(shù)列，Sn是{an}的前n項(xiàng)和．若a1，a3是方程x2－5x＋4＝0的兩個(gè)根，則S6＝________. 解析：由題意得，a1＋a3＝5，a1a3＝4，由數(shù)列是遞增數(shù)列得，a1＝1，a3＝4，所以q＝2，代入等比數(shù)列的求和公式得S6＝63. 答案：63 6．在數(shù)列{an}中，對(duì)任意自然數(shù)n∈N*，a1＋a2＋a3＋…＋an＝2n－1，則a＋a＋…＋a＝________. 解析：設(shè)Sn＝a1＋a2＋…＋an＝2n－1，∴an＝Sn－Sn－1＝(2n－1)－(2n－1－1)＝2n－1(n≥2)．當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝21－1＝1滿足上式．∴an＝2n－1，∴a＝4n－1，∴a＋a＋…＋a＝1＋4＋42＋…＋4n－1＝＝(4n－1)． 答案：(4n－1) 7．等比數(shù)列{an}共有2n項(xiàng)，其和為－240，且奇數(shù)項(xiàng)的和比偶數(shù)項(xiàng)的和大80，則公比q＝________. 解析：由題意知： ∴∴公比q＝＝＝2. 答案：2 8．一個(gè)項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)的等比數(shù)列{an}中，所有奇數(shù)項(xiàng)和S奇＝255，所有偶數(shù)項(xiàng)和S偶＝－126，末項(xiàng)是192，則首項(xiàng)a1＝________. 解析：設(shè)等比數(shù)列{an}共有2k＋1(k∈N*)項(xiàng)，則a2k＋1＝192，則S奇＝a1＋a3＋…＋a2k－1＋a2k＋1＝(a2＋a4＋…＋a2k)＋a2k＋1＝S偶＋a2k＋1＝－＋192＝255，解得q＝－2，而S奇＝＝＝255，解得a1＝3. 答案：3 9．已知等差數(shù)列{an}滿足a2＝2，a5＝8. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為T(mén)n，若b3＝a3，T3＝7，求Tn. 解：(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，則 解得∴an＝2n－2. (2)設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{bn}的公比為q(q＞0)， 由(1)知a3＝4，∴b3＝4.又T3＝7，∴q≠1. ∴解得或(舍去) ∴Tn＝1＝2n－1. 10．某校為擴(kuò)大教學(xué)規(guī)模，從今年起擴(kuò)大招生，現(xiàn)有學(xué)生人數(shù)為b人，以后學(xué)生人數(shù)年增長(zhǎng)率為4.9‰.該校今年年初有舊實(shí)驗(yàn)設(shè)備a套，其中需要換掉的舊設(shè)備占了一半．學(xué)校決定每年以當(dāng)年年初設(shè)備數(shù)量的10%的增長(zhǎng)率增加新設(shè)備，同時(shí)每年淘汰x套舊設(shè)備． (1)如果10年后該校學(xué)生的人均占有設(shè)備的比率正好比目前翻一番，那么每年應(yīng)更換的舊設(shè)備是多少套？ (2)依照(1)的更換速度，共需多少年能更換所有需要更換的舊設(shè)備？下列數(shù)據(jù)提供計(jì)算時(shí)參考： 1.19＝2.36 1.004 99＝1.04 1.110＝2.60 1.004 910＝1.05 1.111＝2.85 1.004 911＝1.06 解：(1)設(shè)今年學(xué)生人數(shù)為b人，則10年后學(xué)生人數(shù)為b(1＋4.9‰)10＝1.05b， 由題設(shè)可知，1年后的設(shè)備為 a(1＋10%)－x＝1.1a－x， 2年后的設(shè)備為(1.1a－x)(1＋10%)－x ＝1.12a－1.1x－x＝1.12a－x(1＋1.1)， …，10年后的設(shè)備為 a1.110－x(1＋1.1＋1.12＋…＋1.19) ＝2.6a－x＝2.6a－16x， 由題設(shè)得＝2， 解得x＝. ∴每年應(yīng)更換的舊設(shè)備為套． (2)全部更換舊設(shè)備共需a＝16年． ∴按此速度全部更換舊設(shè)備共需16年． 層級(jí)二　應(yīng)試能力達(dá)標(biāo) 1．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn＝n＋a，若{an}為等比數(shù)列，則a＝________. 解析：a1＝S1＝＋a， a2＝S2－S1＝2＋a－＝－， a3＝S3－S2＝3＋a－＝－. ∵{an}為等比數(shù)列，∴a＝a1a3，∴a＝－1. 答案：－1 2．設(shè){an}是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)和．已知a2a4＝1，S3＝7，則S5＝________. 解析：顯然公比q≠1，由題意得 解得或(舍去)， ∴S5＝＝＝. 答案： 3．某住宅小區(qū)計(jì)劃植樹(shù)不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植樹(shù)的棵數(shù)是前一天的2倍，則需要的最少天數(shù)n(n∈N*)等于________． 解析：每天植樹(shù)的棵數(shù)構(gòu)成以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，其前n項(xiàng)和Sn＝＝＝2n＋1－2.由2n＋1－2≥100，得2n＋1≥102.由于26＝64,27＝128，則n＋1≥7，即n≥6. 答案：6 4．等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1＝－1，前n項(xiàng)和為Sn，若＝，則公比q＝________. 解析：由＝，a1＝－1知公比q≠1，則可得＝－.由等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)知S5，S10－S5，S15－S10成等比數(shù)列，且公比為q5，故q5＝－，q＝－. 答案：－ 5．設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，前n項(xiàng)和為Sn，若Sn＋1，Sn，Sn＋2成等差數(shù)列，則q的值為_(kāi)_______． 解析：由題意可知，q≠1，∴Sn＝. 又∵Sn＋1，Sn，Sn＋2成等差數(shù)列， ∴2Sn＝Sn＋1＋Sn＋2.即2－2qn＝2－qn＋1－qn＋2. 即2＝q＋q2. ∴q＝－2(q＝1不合題意舍去)． 答案：－2 6．在等比數(shù)列中，已知a1＋a2＋a3＝6，a2＋a3＋a4＝－3，則a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝________. 解析：由＝＝＝q＝－，又由a1＋a2＋a3＝6，且q＝－，∴a1＝8，可得a2＝a1q＝8＝－4.∴a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝S7－a1－a2＝－8－(－4)＝. 答案： 7．在等比數(shù)列{an}中，公比q＝2，前99項(xiàng)的和S99＝56，求a3＋a6＋a9＋…＋a99的值． 解：法一：∵S99＝＝56， ∴a3＋a6＋a9＋…＋a99＝a3(1＋q3＋q6＋…＋q96) ＝a1q2＝a1q2 ＝＝56＝32. 法二：設(shè)b1＝a1＋a4＋a7＋…＋a97. b2＝a2＋a5＋a8＋…＋a98， b3＝a3＋a6＋a9＋…＋a99， 則b1q＝b2，b2q＝b3且b1＋b2＋b3＝56， ∴b1(1＋q＋q2)＝56， ∴b1＝＝8， ∴b3＝b1q2＝32. 即a3＋a6＋a9＋…＋a99＝32. 8．已知公比不為1的等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1＝，前n項(xiàng)和為Sn，且a4＋S4，a5＋S5，a6＋S6成等差數(shù)列． (1)求等比數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)對(duì)n∈N*，在an與an＋1之間插入3n個(gè)數(shù)，使這3n＋2個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，記插入的這3n個(gè)數(shù)的和為bn，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn. 解：(1)因?yàn)閍4＋S4，a5＋S5，a6＋S6成等差數(shù)列， 所以a5＋S5－a4－S4＝a6＋S6－a5－S5， 即2a6－3