(浙江專版)2019版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第八章 立體幾何初步 第4節(jié) 直線、平面平行的判定及其性質(zhì)學(xué)案 理.doc
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第4節(jié) 直線、平面平行的判定及其性質(zhì) 最新考綱 1.以立體幾何的定義、公理和定理為出發(fā)點,認(rèn)識和理解空間中線面平行的有關(guān)性質(zhì)與判定定理;2.能運用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些有關(guān)空間圖形的平行關(guān)系的簡單命題. 知 識 梳 理 1.直線與平面平行 (1)直線與平面平行的定義 直線l與平面α沒有公共點,則稱直線l與平面α平行. (2)判定定理與性質(zhì)定理 文字語言 圖形表示 符號表示 判定定理 平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行,則該直線平行于此平面 a?α,b?α,a∥b?a∥α 性質(zhì)定理 一條直線和一個平面平行,則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行 a∥α,a?β,α∩β=b?a∥b 2.平面與平面平行 (1)平面與平面平行的定義 沒有公共點的兩個平面叫做平行平面. (2)判定定理與性質(zhì)定理 文字語言 圖形表示 符號表示 判定定理 一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面平行,則這兩個平面平行 a?α,b?α,a∩b=P,a∥β,b∥β?α∥β 性質(zhì)定理 兩個平面平行,則其中一個平面內(nèi)的直線平行于另一個平面 α∥β,a?α?a∥β 如果兩個平行平面同時和第三個平面相交,那么它們的交線平行 α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b?a∥b 3.與垂直相關(guān)的平行的判定 (1)a⊥α,b⊥α?a∥b. (2)a⊥α,a⊥β?α∥β. [常用結(jié)論與微點提醒] 1.平行關(guān)系轉(zhuǎn)化 2.平面與平面平行的六個性質(zhì) (1)兩個平面平行,其中一個平面內(nèi)的任意一條直線平行于另一個平面. (2)夾在兩個平行平面間的平行線段長度相等. (3)經(jīng)過平面外一點有且只有一個平面與已知平面平行. (4)兩條直線被三個平行平面所截,截得的對應(yīng)線段成比例. (5)如果兩個平面分別和第三個平面平行,那么這兩個平面互相平行. (6)如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線分別平行于另一個平面內(nèi)的兩條直線,那么這兩個平面平行. 診 斷 自 測 1.思考辨析(在括號內(nèi)打“√”或“”) (1)若一條直線和平面內(nèi)一條直線平行,那么這條直線和這個平面平行.( ) (2)若直線a∥平面α,P∈α,則過點P且平行于直線a的直線有無數(shù)條.( ) (3)如果一個平面內(nèi)的兩條直線平行于另一個平面,那么這兩個平面平行.( ) (4)如果兩個平面平行,那么分別在這兩個平面內(nèi)的兩條直線平行或異面.( ) 解析 (1)若一條直線和平面內(nèi)的一條直線平行,那么這條直線和這個平面平行或在平面內(nèi),故(1)錯誤. (2)若a∥α,P∈α,則過點P且平行于a的直線只有一條,故(2)錯誤. (3)如果一個平面內(nèi)的兩條直線平行于另一個平面,則這兩個平面平行或相交,故(3)錯誤. 答案 (1) (2) (3) (4)√ 2.下列命題中,正確的是( ) A.若a,b是兩條直線,且a∥b,那么a平行于經(jīng)過b的任何平面 B.若直線a和平面α滿足a∥α,那么a與α內(nèi)的任何直線平行 C.若直線a,b和平面α滿足a∥α,b∥α,那么a∥b D.若直線a,b和平面α滿足a∥b,a∥α,b?α,則b∥α 解析 根據(jù)線面平行的判定與性質(zhì)定理知,選D. 答案 D 3.設(shè)α,β是兩個不同的平面,m是直線且m?α.“m∥β”是“α∥β”的( ) A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件 解析 當(dāng)m∥β時,可能α∥β,也可能α與β相交. 當(dāng)α∥β時,由m?α可知,m∥β. ∴“m∥β”是“α∥β”的必要不充分條件. 答案 B 4.(必修2P56練習(xí)2改編)如圖,正方體ABCD-A1B1C1D1中,E為DD1的中點,則BD1與平面AEC的位置關(guān)系為________. 解析 連接BD,設(shè)BD∩AC=O,連接EO,在△BDD1中,O為BD的中點,E為DD1的中點,所以EO為△BDD1的中位線,則BD1∥EO,而BD1?平面ACE,EO?平面ACE,所以BD1∥平面ACE. 答案 平行 5.用一個截面去截正三棱柱ABC-A1B1C1,交A1C1,B1C1,BC,AC分別于E,F(xiàn),G,H四點,已知A1A>A1C1,則截面的形狀可以是________(把你認(rèn)為可能的結(jié)果都填上). 解析 由題意知,當(dāng)截面平行于側(cè)棱時所得截面為矩形,當(dāng)截面與側(cè)棱不平行時,所得的截面是梯形. 答案 矩形或梯形 6.(2018麗水月考)設(shè)α,β,γ為三個不同的平面,a,b為直線. (1)若α∥γ,β∥γ,則α與β的關(guān)系是________; (2)若a⊥α,b⊥β,a∥b,則α與β的關(guān)系是________. 解析 (1)由α∥γ,β∥γ?α∥β. (2)a⊥α,a∥b?b⊥α,又b⊥β,從而α∥β. 答案 (1)平行 (2)平行 考點一 線面、面面平行的相關(guān)命題的真假判斷 【例1】 (一題多解)(2017全國Ⅰ卷)如圖,在下列四個正方體中,A,B為正方體的兩個頂點,M,N,Q為所在棱的中點,則在這四個正方體中,直線AB與平面MNQ不平行的是( ) 解析 法一 對于選項B,如圖(1)所示,連接CD,因為AB∥CD,M,Q分別是所在棱的中點,所以MQ∥CD,所以AB∥MQ,又AB?平面MNQ,MQ?平面MNQ,所以AB∥平面MNQ.同理可證選項C,D中均有AB∥平面MNQ.因此A項不正確. 圖(1) 圖(2) 法二 對于選項A,其中O為BC的中點(如圖(2)所示),連接OQ,則OQ∥AB,因為OQ與平面MNQ有交點,所以AB與平面MNQ有交點,即AB與平面MNQ不平行.A項不正確. 答案 A 規(guī)律方法 (1)判斷與平行關(guān)系相關(guān)命題的真假,必須熟悉線、面平行關(guān)系的各個定義、定理,無論是單項選擇還是含選擇項的填空題,都可以從中先選出最熟悉最容易判斷的選項先確定或排除,再逐步判斷其余選項. (2)①結(jié)合題意構(gòu)造或繪制圖形,結(jié)合圖形作出判斷. ②特別注意定理所要求的條件是否完備,圖形是否有特殊情況,通過舉反例否定結(jié)論或用反證法推斷命題是否正確. 【訓(xùn)練1】 (2018金華測試)設(shè)m,n是兩條不同的直線,α,β,γ是三個不同的平面,給出下列四個命題: ①若m?α,n∥α,則m∥n; ②若α∥β,β∥γ,m⊥α,則m⊥γ; ③若α∩β=n,m∥n,m∥α,則m∥β; ④若m∥α,n∥β,m∥n,則α∥β. 其中是真命題的是________(填上正確命題的序號). 解析 ①m∥n或m,n異面,故①錯誤;易知②正確;③m∥β或m?β,故③錯誤;④α∥β或α與β相交,故④錯誤. 答案?、? 考點二 直線與平面平行的判定與性質(zhì)(多維探究) 命題角度1 直線與平面平行的判定 【例2-1】 (2016全國Ⅲ卷)如圖,四棱錐P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AD∥BC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M為線段AD上一點,AM=2MD,N為PC的中點. (1)證明:MN∥平面PAB; (2)求四面體N-BCM的體積. (1)證明 由已知得AM=AD=2. 如圖,取BP的中點T,連接AT,TN,由N為PC中點知TN∥BC,TN=BC=2. 又AD∥BC,故TN綉AM,所以四邊形AMNT為平行四邊形,于是MN∥AT. 因為AT?平面PAB,MN?平面PAB, 所以MN∥平面PAB. (2)解 因為PA⊥平面ABCD,N為PC的中點, 所以N到平面ABCD的距離為PA. 如圖,取BC的中點E,連接AE.由AB=AC=3得AE⊥BC,AE==. 由AM∥BC得M到BC的距離為,故S△BCM=4=2.所以四面體N-BCM的體積VN-BCM=S△BCM=. 命題角度2 直線與平面平行性質(zhì)定理的應(yīng)用 【例2-2】 如圖,四棱錐P-ABCD的底面是邊長為8的正方形,四條側(cè)棱長均為2.點G,E,F(xiàn),H分別是棱PB,AB,CD,PC上共面的四點,平面GEFH⊥平面ABCD,BC∥平面GEFH. (1)證明:GH∥EF; (2)若EB=2,求四邊形GEFH的面積. (1)證明 因為BC∥平面GEFH,BC?平面PBC,且平面PBC∩平面GEFH=GH, 所以GH∥BC.同理可證EF∥BC,因此GH∥EF. (2)解 如圖,連接AC,BD交于點O,BD交EF于點K,連接OP,GK.因為PA=PC,O是AC的中點,所以PO⊥AC, 同理可得PO⊥BD. 又BD∩AC=O,且AC,BD都在底面ABCD內(nèi),所以PO⊥底面ABCD.又因為平面GEFH⊥平面ABCD, 且PO?平面GEFH,所以PO∥平面GEFH. 因為平面PBD∩平面GEFH=GK, PO?平面PBD. 所以PO∥GK,且GK⊥底面ABCD, 又EF?平面ABCD, 從而GK⊥EF. 所以GK是梯形GEFH的高. 由AB=8,EB=2得EB∶AB=KB∶DB=1∶4, 從而KB=DB=OB,即K為OB的中點. 再由PO∥GK得GK=PO,即G是PB的中點,且GH=BC=4.由已知可得OB=4,PO===6,所以GK=3. 故四邊形GEFH的面積S=GK=3=18. 規(guī)律方法 (1)判斷或證明線面平行的常用方法有: ①利用反證法(線面平行的定義); ②利用線面平行的判定定理(a?α,b?α,a∥b?a∥α); ③利用面面平行的性質(zhì)定理(α∥β,a?α?a∥β); ④利用面面平行的性質(zhì)(α∥β,a?β,a∥α?a∥β). (2)利用判定定理判定線面平行,關(guān)鍵是找平面內(nèi)與已知直線平行的直線.常利用三角形的中位線、平行四邊形的對邊或過已知直線作一平面找其交線. 【訓(xùn)練2】 在四棱錐P-ABCD中,AD∥BC,AB=BC=AD,E,F(xiàn),H分別為線段AD,PC,CD的中點,AC與BE交于O點,G是線段OF上一點. (1)求證:AP∥平面BEF; (2)求證:GH∥平面PAD. 證明 (1)連接EC, ∵AD∥BC,BC=AD, E為AD的中點,∴BC綉AE, ∴四邊形ABCE是平行四邊形, ∴O為AC的中點, 又∵F是PC的中點,∴FO∥AP, 又FO?平面BEF,AP?平面BEF,∴AP∥平面BEF. (2)連接FH,OH,∵F,H分別是PC,CD的中點, ∴FH∥PD,又PD?平面PAD,F(xiàn)H?平面PAD, ∴FH∥平面PAD. 又∵O是BE的中點,H是CD的中點, ∴OH∥AD,又∵AD?平面PAD,OH?平面PAD, ∴OH∥平面PAD. 又FH∩OH=H,∴平面OHF∥平面PAD. 又∵GH?平面OHF,∴GH∥平面PAD. 考點三 面面平行的判定與性質(zhì)(變式遷移) 【例3】 (經(jīng)典母題)如圖所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F(xiàn),G,H分別是AB,AC,A1B1,A1C1的中點,求證: (1)B,C,H,G四點共面; (2)平面EFA1∥平面BCHG. 證明 (1)∵G,H分別是A1B1,A1C1的中點, ∴GH是△A1B1C1的中位線,則GH∥B1C1. 又∵B1C1∥BC, ∴GH∥BC, ∴B,C,H,G四點共面. (2)∵E,F(xiàn)分別為AB,AC的中點,∴EF∥BC, ∵EF?平面BCHG,BC?平面BCHG, ∴EF∥平面BCHG. 又G,E分別為A1B1,AB的中點,A1B1綉AB, ∴A1G綉EB, ∴四邊形A1EBG是平行四邊形,∴A1E∥GB. ∵A1E?平面BCHG,GB?平面BCHG, ∴A1E∥平面BCHG.又∵A1E∩EF=E, ∴平面EFA1∥平面BCHG. 【變式遷移1】 如圖,在本例條件下,若點D為BC1的中點,求證:HD∥平面A1B1BA. 證明 如圖所示,連接A1B. ∵D為BC1的中點,H為A1C1的中點,∴HD∥A1B, 又HD?平面A1B1BA, A1B?平面A1B1BA, ∴HD∥平面A1B1BA. 【變式遷移2】 在本例中,若將條件“E,F(xiàn),G,H分別是AB,AC,A1B1,A1C1的中點”變?yōu)椤包cD,D1分別是AC,A1C1上的點,且平面BC1D∥平面AB1D1”,試求的值. 解 連接A1B交AB1于O,連接OD1. 由平面BC1D∥平面AB1D1,且平面A1BC1∩平面BC1D=BC1,平面A1BC1∩平面AB1D1=D1O,所以BC1∥D1O,則==1. 又由題設(shè)=, ∴=1,即=1. 規(guī)律方法 (1)判定面面平行的主要方法 ①利用面面平行的判定定理. ②線面垂直的性質(zhì)(垂直于同一直線的兩平面平行). (2)面面平行的性質(zhì)定理 ①兩平面平行,則一個平面內(nèi)的直線平行于另一平面. ②若一平面與兩平行平面相交,則交線平行. 提醒 利用面面平行的判定定理證明兩平面平行時需要說明是一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面平行. 【訓(xùn)練3】 (2016山東卷)在如圖所示的幾何體中,D是AC的中點,EF∥DB. (1)已知AB=BC,AE=EC.求證:AC⊥FB; (2)已知G,H分別是EC和FB的中點.求證:GH∥平面ABC. 證明 (1)因為EF∥DB,所以EF與DB確定平面BDEF, 圖① 如圖①,連接DE.因為AE=EC,D為AC的中點, 所以DE⊥AC.同理可得BD⊥AC. 又BD∩DE=D, 所以AC⊥平面BDEF. 因為FB?平面BDEF, 所以AC⊥FB. (2)如圖②,設(shè)FC的中點為I,連接GI,HI. 圖② 在△CEF中,因為G是CE的中點, 所以GI∥EF.又EF∥DB, 所以GI∥DB. 在△CFB中,因為H是FB的中點,所以HI∥BC. 又HI∩GI=I, 所以平面GHI∥平面ABC, 因為GH?平面GHI, 所以GH∥平面ABC. 基礎(chǔ)鞏固題組 一、選擇題 1.設(shè)m,n是不同的直線,α,β是不同的平面,且m,n?α,則“α∥β”是“m∥β且n∥β”的( ) A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件 解析 若m,n?α,α∥β,則m∥β且n∥β;反之若m,n?α,m∥β且n∥β,則α與β相交或平行,即“α∥β”是“m∥β且n∥β”的充分不必要條件. 答案 A 2.有下列命題: ①若直線l平行于平面α內(nèi)的無數(shù)條直線,則直線l∥α; ②若直線a在平面α外,則a∥α; ③若直線a∥b,b∥α,則a∥α; ④若直線a∥b,b∥α,則a平行于平面α內(nèi)的無數(shù)條直線. 其中真命題的個數(shù)是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析 命題①l可以在平面α內(nèi),不正確;命題②直線a與平面α可以是相交關(guān)系,不正確;命題③a可以在平面α內(nèi),不正確;命題④正確. 答案 A 3.如圖所示的三棱柱ABC-A1B1C1中,過A1B1的平面與平面ABC交于DE,則DE與AB的位置關(guān)系是( ) A.異面 B.平行 C.相交 D.以上均有可能 解析 在三棱柱ABC-A1B1C1中,AB∥A1B1,∵AB?平面ABC,A1B1?平面ABC, ∴A1B1∥平面ABC,∵過A1B1的平面與平面ABC交于DE.∴DE∥A1B1,∴DE∥AB. 答案 B 4.下列四個正方體圖形中,A,B為正方體的兩個頂點,M,N,P分別為其所在棱的中點,能得出AB∥平面MNP的圖形的序號是( ) A.①③ B.①④ C.②③ D.②④ 解析 ①中,易知NP∥AA′, MN∥A′B, ∴平面MNP∥平面AA′B, 可得出AB∥平面MNP(如圖). ④中,NP∥AB,能得出AB∥平面MNP.在②③中不能判定AB∥平面MNP. 答案 B 5.(2018嘉興測試)已知m,n表示兩條不同直線,α表示平面,下列說法正確的是( ) A.若m∥α,n∥α,則m∥n B.若m⊥α,n?α,則m⊥n C.若m⊥α,m⊥n,則n∥α D.若m∥α,m⊥n,則n⊥α 解析 若m∥α,n∥α,則m,n平行、相交或異面,A錯;若m⊥α,n?α,則m⊥n,因為直線與平面垂直時,它垂直于平面內(nèi)任一直線,B正確;若m⊥α,m⊥n,則n∥α或n?α,C錯;若m∥α,m⊥n,則n與α可能相交,可能平行,也可能n?α,D錯. 答案 B 6.(2018湖州調(diào)研)已知m,n是兩條不同的直線,α,β是兩個不同的平面( ) A.若m∥α,m∥β,則α∥β B.若m⊥α,m∥β,則α∥β C.若m⊥α,n∥α,則m∥n D.若m⊥α,n⊥α,則m∥n 解析 若m∥α,m∥β,則α,β可能平行或相交,A錯誤;若m⊥α,m∥β,則α⊥β,B錯誤;若m⊥α,n⊥α,則m⊥n,C錯誤; 若m⊥α,n⊥α,則m∥n,D正確,故選D. 答案 D 二、填空題 7.(2017臺州月考)在四面體A-BCD中,M,N分別是△ACD,△BCD的重心,則MN與平面ABD的位置關(guān)系是________;與平面ABC的位置關(guān)系是________. 解析 如圖,取CD的中點E. 連接AE,BE,由于M,N分別是△ACD,△BCD的重心,所以AE,BE分別過M,N,則EM∶MA=1∶2,EN∶BN=1∶2, 所以MN∥AB.因為AB?平面ABD,MN?平面ABD,AB?平面ABC,MN?平面ABC,所以MN∥平面ABD, MN∥平面ABC. 答案 平行 平行 8.(2017寧波調(diào)研)如圖,四棱錐P-ABCD的底面是一直角梯形,AB∥CD,BA⊥AD,CD=2AB,PA⊥底面ABCD,E為PC的中點,則BE與平面PAD的位置關(guān)系為________. 解析 取PD的中點F,連接EF,AF, 在△PCD中,EF綉CD. 又∵AB∥CD且CD=2AB, ∴EF綉AB, ∴四邊形ABEF是平行四邊形, ∴EB∥AF. 又∵EB?平面PAD,AF?平面PAD, ∴BE∥平面PAD. 答案 平行 9.設(shè)m,n是兩條不同的直線,α,β,γ是三個不同的平面,給出下列四個命題: ①若m?α,n∥α,則m∥n;②若α∥β,β∥γ,m⊥α,則m⊥γ;③若α∩β=n,m∥n,則m∥α,且m∥β;④若α⊥γ,β⊥γ,則α∥β. 其中真命題的個數(shù)為__________. 解析 若m?α,n∥α,則m,n可能平行或異面,①錯誤;若α∥β,β∥γ,則α∥γ,又m⊥α,則m⊥γ,②正確;若α∩β=n,m∥n,則m∥α或m∥β或m?α或m?β,③錯誤;若α⊥γ,β⊥γ,則α,β可能平行或相交,④錯誤,則真命題個數(shù)為1. 答案 1 10.如圖所示,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,E,F(xiàn),G,H分別是棱CC1,C1D1,D1D,DC的中點,N是BC的中點,點M在四邊形EFGH及其內(nèi)部運動,則M只需滿足條件________時,就有MN∥平面B1BDD1.(注:請?zhí)钌夏阏J(rèn)為正確的一個條件即可,不必考慮全部可能情況) 解析 連接HN,F(xiàn)H,F(xiàn)N,則FH∥DD1,HN∥BD, ∴平面FHN∥平面B1BDD1,只需M∈FH,則MN?平面FHN,∴MN∥平面B1BDD1. 答案 點M在線段FH上(或點M與點H重合) 三、解答題 11.一個正方體的平面展開圖及該正方體的直觀圖的示意圖如圖所示. (1)請將字母F,G,H標(biāo)記在正方體相應(yīng)的頂點處(不需說明理由); (2)判斷平面BEG與平面ACH的位置關(guān)系,并證明你的結(jié)論. 解 (1)點F,G,H的位置如圖所示. (2)平面BEG∥平面ACH,證明如下:因為ABCD-EFGH為正方體, 所以BC∥FG,BC=FG, 又FG∥EH,F(xiàn)G=EH,所以BC∥EH,BC=EH,于是四邊形BCHE為平行四邊形,所以BE∥CH.又CH?平面ACH,BE?平面ACH, 所以BE∥平面ACH.同理BG∥平面ACH. 又BE∩BG=B,所以平面BEG∥平面ACH. 12.如圖,四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為矩形,PA⊥平面ABCD,E為PD的中點. (1)證明:PB∥平面AEC; (2)設(shè)AP=1,AD=,三棱錐P-ABD的體積V=,求A到平面PBC的距離. (1)證明 設(shè)BD與AC的交點為O,連接EO. 因為ABCD為矩形,所以O(shè)為BD的中點.又E為PD的中點,所以EO∥PB.又因為EO?平面AEC,PB?平面AEC,所以PB∥平面AEC. (2)解 V=PAABAD=AB. 由V=,可得AB=.作AH⊥PB交PB于H. 由題設(shè)知AB⊥BC,PA⊥BC,且PA∩AB=A,所以BC⊥平面PAB,又AH?平面PAB,所以BC⊥AH,又PB∩BC=B,故AH⊥平面PBC.在Rt△PAB中,由勾股定理可得PB=,所以AH==.所以A到平面PBC的距離為. 能力提升題組 13.給出下列關(guān)于互不相同的直線l,m,n和平面α,β,γ的三個命題:①若l與m為異面直線,l?α,m?β,則α∥β; ②若α∥β,l?α,m?β,則l∥m; ③若α∩β=l,β∩γ=m,γ∩α=n,l∥γ,則m∥n. 其中真命題的個數(shù)為( ) A.3 B.2 C.1 D.0 解析?、僦挟?dāng)α與β不平行時,也可能存在符合題意的l,m;②中l(wèi)與m也可能異面;③中?l∥n,同理,l∥m,則m∥n,正確. 答案 C 14.在四面體ABCD中,截面PQMN是正方形,則在下列結(jié)論中,錯誤的是( ) A.AC⊥BD B.AC∥截面PQMN C.AC=BD D.異面直線PM與BD所成的角為45 解析 因為截面PQMN是正方形,所以MN∥QP,又PQ?平面ABC,MN?平面ABC,則MN∥平面ABC,由線面平行的性質(zhì)知MN∥AC,又MN?平面PQMN,AC?平面PQMN,則AC∥截面PQMN,同理可得MQ∥BD,又MN⊥QM,則AC⊥BD,故A,B正確.又因為BD∥MQ,所以異面直線PM與BD所成的角等于PM與QM所成的角,即為45,故D正確. 答案 C 15.(2018紹興一中適應(yīng)性檢測)如圖所示,棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)面BCC1B1是菱形,設(shè)D是A1C1上的點且A1B∥平面B1CD,則A1D∶DC1的值為________. 解析 設(shè)BC1∩B1C=O,連接OD. ∵A1B∥平面B1CD且平面A1BC1∩平面B1CD=OD, ∴A1B∥OD,∵四邊形BCC1B1是菱形,∴O為BC1的中點,∴D為A1C1的中點,則A1D∶DC1=1. 答案 1 16.如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,已知AC⊥BC,BC=CC1.設(shè)AB1的中點為D,B1C∩BC1=E.求證: (1)DE∥平面AA1C1C; (2)BC1⊥AB1. 證明 (1)由題意知,E為B1C的中點,又D為AB1的中點,因此DE∥AC. 又因為DE?平面AA1C1C,AC?平面AA1C1C, 所以DE∥平面AA1C1C. (2)因為棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱, 所以CC1⊥平面ABC. 因為AC?平面ABC,所以AC⊥CC1. 又因為AC⊥BC,CC1?平面BCC1B1, BC?平面BCC1B1,BC∩CC1=C, 所以AC⊥平面BCC1B1. 又因為BC1?平面BCC1B1, 所以BC1⊥AC. 因為BC=CC1, 所以矩形BCC1B1是正方形, 因此BC1⊥B1C. 因為AC,B1C?平面B1AC,AC∩B1C=C, 所以BC1⊥平面B1AC. 又因為AB1?平面B1AC, 所以BC1⊥AB1. 17.(2018杭州七校聯(lián)考)如圖,在四棱臺ABCD-A1B1C1D1中,D1D⊥平面ABCD,底面ABCD是平行四邊形,AB=2AD,AD=A1B1,∠BAD=60. (1)證明:AA1⊥BD; (2)證明:CC1∥平面A1BD. 證明 (1)因為D1D⊥平面ABCD,且BD?平面ABCD,所以D1D⊥BD. 又AB=2AD,∠BAD=60,在△ABD中,由余弦定理,得BD=AD, 所以AD2+BD2=AB2,即AD⊥BD. 又AD∩D1D=D,所以BD⊥平面ADD1A1. 又AA1?平面ADD1A1,所以AA1⊥BD. (2)如圖,連接AC,A1C1. 設(shè)AC∩BD=E,連接EA1. 因為四邊形ABCD為平行四邊形, 所以EC=AC. 由棱臺定義及AB=2AD=2A1B1知,A1C1∥EC且A1C1=EC, 所以四邊形A1ECC1為平行四邊形, 因此CC1∥EA1. 又EA1?平面A1BD,CC1?平面A1BD, 所以CC1∥平面A1BD.- 1.請仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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