2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第二章 幾個(gè)重要的不等式 3.2 數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用學(xué)案 北師大版選修4-5.docx
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3.2 數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用 學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.會(huì)用數(shù)學(xué)歸納法證明與正整數(shù)有關(guān)的不等式.2.了解貝努利不等式，并會(huì)證明貝努利不等式.3.體會(huì)歸納—猜想—證明的思想方法． 知識(shí)點(diǎn)一 用數(shù)學(xué)歸納法證明與正整數(shù)n有關(guān)的不等式 思考1 用數(shù)學(xué)歸納法證明問題必須注意的步驟是什么？ 答案 (1)歸納奠基：驗(yàn)證初始值． (2)歸納遞推：在假設(shè)n＝k成立的前提下，證明n＝k＋1時(shí)問題成立． 思考2 證明不等式與證明等式有什么不同？ 答案 證明不等式需注意的是對(duì)式子進(jìn)行“放縮”． 梳理 利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式 在運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式時(shí)，由n＝k時(shí)命題成立，推導(dǎo)n＝k＋1命題成立時(shí)，常常要與其他方法，如比較法、分析法、綜合法、放縮法等結(jié)合進(jìn)行． 知識(shí)點(diǎn)二 貝努利不等式 對(duì)任意實(shí)數(shù)x≥－1和任何正整數(shù)n，有(1＋x)n≥1＋nx. 類型一 數(shù)學(xué)歸納法與放縮法結(jié)合證明不等式 例1 證明：1＋＋＋…＋＜2－(n∈N＋，n≥2)． 證明 (1)當(dāng)n＝2時(shí)，左邊＝1＋＝，右邊＝2－＝，由于＜，因此命題成立． (2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N＋，k≥2)時(shí)，命題成立， 即1＋＋＋…＋＜2－. 當(dāng)n＝k＋1時(shí)，1＋＋＋…＋＋＜2－＋＜2－＋＝2－＋＝2－，即當(dāng)n＝k＋1時(shí)，命題成立． 由(1)(2)可知，不等式對(duì)一切n∈N＋，n≥2都成立． 反思與感悟 在歸納遞推過程中常用到放縮法，這也是在用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式問題時(shí)常用的方法之一． 跟蹤訓(xùn)練1 用數(shù)學(xué)歸納法證明：1＋＋＋…＋＜n(n∈N＋，n＞1)． 證明 (1)當(dāng)n＝2時(shí)，左邊＝1＋＋，右邊＝2，左邊＜右邊，不等式成立． (2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k>1，k∈N＋)時(shí)，不等式成立， 即1＋＋＋…＋- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔，確保文檔完整性，對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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