高中數(shù)學(xué)人教A版選修44學(xué)案：第2講2 圓錐曲線的參數(shù)方程 Word版含解析

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1、二二圓錐曲線的參數(shù)方程圓錐曲線的參數(shù)方程1理解橢圓的參數(shù)方程及其應(yīng)用(重點(diǎn))2了解雙曲線、拋物線的參數(shù)方程3能夠利用圓錐曲線的參數(shù)方程解決最值、有關(guān)點(diǎn)的軌跡問(wèn)題(難點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn))基礎(chǔ)初探教材整理 1橢圓的參數(shù)方程閱讀教材 P27P29“思考”及以上部分，完成下列問(wèn)題普通方程參數(shù)方程x2a2y2b21(ab0)xacos ybsin (為參數(shù))y2a2x2b21(ab0)xbcos yasin (為參數(shù))橢圓x4cos y5sin (為參數(shù))的離心率為()A.45B.35C.34D.15【解析】由橢圓方程知 a5，b4，c29，c3，e35.【答案】B教材整理 2雙曲線的參數(shù)方程閱讀教材 P29P

2、32，完成下列問(wèn)題.普通方程參數(shù)方程x2a2y2b21(a0，b0)xasec ybtan (為參數(shù))下列雙曲線中，與雙曲線x 3sec ，ytan (為參數(shù))的離心率和漸近線都相同的是()A.y23x291B.y23x291C.y23x21D.y23x21【解析】由 x 3sec 得，x23cos23sin2cos2cos23tan23，又ytan ，x23y23，即x23y21.經(jīng)驗(yàn)證可知，選項(xiàng) B 合適【答案】B教材整理 3拋物線的參數(shù)方程閱讀教材 P33P34“習(xí)題”以上部分，完成下列問(wèn)題1拋物線 y22px 的參數(shù)方程是x2pt2y2pt(t 為參數(shù))2參數(shù) t 表示拋物線上除頂點(diǎn)外

3、的任意一點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率的倒數(shù)若點(diǎn) P(3，m)在以點(diǎn) F 為焦點(diǎn)的拋物線x4t2y4t(t 為參數(shù))上，則|PF|_.【解析】拋物線為 y24x，準(zhǔn)線為 x1，|PF|等于點(diǎn) P(3，m)到準(zhǔn)線 x1 的距離，即為 4.【答案】4質(zhì)疑手記預(yù)習(xí)完成后，請(qǐng)將你的疑問(wèn)記錄，并與“小伙伴們”探討交流：疑問(wèn) 1：解惑：疑問(wèn) 2：解惑：疑問(wèn) 3：解惑：橢圓的參數(shù)方程及應(yīng)用將參數(shù)方程x5cos ，y3sin (為參數(shù))化為普通方程， 并判斷方程表示曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)【思路探究】根據(jù)同角三角函數(shù)的平方關(guān)系，消去參數(shù)，化為普通方程，進(jìn)而研究曲線形狀和幾何性質(zhì)【自主解答】由x5cos y3sin 得cos x5，

4、sin y3，兩式平方相加，得x252y2321.a5，b3，c4.因此方程表示焦點(diǎn)在 x 軸上的橢圓，焦點(diǎn)坐標(biāo)為 F1(4,0)和 F2(4,0)橢圓的參數(shù)方程xacos ，ybsin ，(為參數(shù)，a，b 為常數(shù)，且 ab0)中，常數(shù)a，b 分別是橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)和短半軸長(zhǎng)，焦點(diǎn)在長(zhǎng)軸上再練一題1若本例的參數(shù)方程為x3cos ，y5sin ，(為參數(shù))，則如何求橢圓的普通方程和焦點(diǎn)坐標(biāo)？【解】將x3cos ，y5sin ，化為x3cos ，y5sin ，兩式平方相加，得x232y2521.其中 a5，b3，c4.所以方程的曲線表示焦點(diǎn)在 y 軸上的橢圓， 焦點(diǎn)坐標(biāo)為 F1(0， 4)與 F2(

5、0,4).雙曲線參數(shù)方程的應(yīng)用求證：雙曲線x2a2y2b21(a0，b0)上任意一點(diǎn)到兩漸近線的距離的乘積是一個(gè)定值【思路探究】設(shè)出雙曲線上任一點(diǎn)的坐標(biāo)，可利用雙曲線的參數(shù)方程簡(jiǎn)化運(yùn)算【自主解答】由雙曲線x2a2y2b21，得兩條漸近線的方程是：bxay0，bxay0，設(shè)雙曲線上任一點(diǎn)的坐標(biāo)為(asec ，btan )，它到兩漸近線的距離分別是 d1和 d2，則 d1d2|absec abtan |b2a2|absec abtan |b2a2|a2b2sec2tan2|a2b2a2b2a2b2(定值)在研究有關(guān)圓錐曲線的最值和定值問(wèn)題時(shí)， 使用曲線的參數(shù)方程非常簡(jiǎn)捷方便， 其中點(diǎn)到直線的距離公

6、式對(duì)參數(shù)形式的點(diǎn)的坐標(biāo)仍適用，另外本題要注意公式 sec2tan21 的應(yīng)用再練一題2如圖 221，設(shè) P 為等軸雙曲線 x2y21 上的一點(diǎn)，F(xiàn)1、F2是兩個(gè)焦點(diǎn)，證明：|PF1|PF2|OP|2.圖 221【證明】設(shè) P(sec ，tan )，F(xiàn)1( 2，0)，F(xiàn)2( 2，0)，|PF1| sec 22tan2 2sec22 2sec1，|PF2| sec 22tan2 2sec22 2sec 1，|PF1|PF2| 2sec2128sec22sec21.|OP|2sec2tan22sec21，|PF1|PF2|OP|2.拋物線的參數(shù)方程設(shè)拋物線 y22px 的準(zhǔn)線為 l，焦點(diǎn)為 F，頂點(diǎn)

7、為 O，P 為拋物線上任一點(diǎn)，PQl 于 Q，求 QF 與 OP 的交點(diǎn) M 的軌跡方程.【思路探究】 解答本題只要解兩條直線方程組成的方程組得到交點(diǎn)的參數(shù)方程，然后化為普通方程即可【自主解答】設(shè) P 點(diǎn)的坐標(biāo)為(2pt2,2pt)(t 為參數(shù))，當(dāng) t0 時(shí)，直線 OP 的方程為 y1tx，QF 的方程為 y2txp2 ，它們的交點(diǎn) M(x，y)由方程組y1txy2txp2確定，兩式相乘，消去 t，得 y22xxp2 ，點(diǎn) M 的軌跡方程為 2x2pxy20(x0)當(dāng) t0 時(shí)，M(0,0)滿足題意，且適合方程 2x2pxy20.故所求的軌跡方程為 2x2pxy20.1拋物線 y22px(p

8、0)的參數(shù)方程為x2pt2，y2pt(t 為參數(shù))，參數(shù) t 為任意實(shí)數(shù)，它表示拋物線上除頂點(diǎn)外的任意一點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率的倒數(shù)2用參數(shù)法求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，其基本思想是選取適當(dāng)?shù)膮?shù)作為中間變量， 使動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)分別與參數(shù)有關(guān)， 從而得到動(dòng)點(diǎn)的參數(shù)方程， 然后再消去參數(shù)，化為普通方程再練一題3已知拋物線的參數(shù)方程為x2pt2，y2pt(t 為參數(shù))，其中 p0，焦點(diǎn)為 F，準(zhǔn)線為 l.過(guò)拋物線上一點(diǎn) M 作 l 的垂線，垂足為 E，若|EF|MF|，點(diǎn) M 的橫坐標(biāo)是 3，則 p_.【解析】根據(jù)拋物線的參數(shù)方程可知拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是 y22px，所以y2M6p，所以 Ep2， 6p，F(xiàn)p2，0，

9、所以p23 p26p，所以 p24p120，解得 p2(負(fù)值舍去)【答案】2構(gòu)建體系圓錐曲線的參數(shù)方程|橢圓的參數(shù)方程雙曲線的參數(shù)方程拋物線的參數(shù)方程1參數(shù)方程xcos ，y2sin (為參數(shù))化為普通方程為()Ax2y241Bx2y221Cy2x241Dy2x241【解析】易知 cos x，sin y2，x2y241，故選 A.【答案】A2方程xcos a，ybcos (為參數(shù)，ab0)表示的曲線是()A圓B橢圓C雙曲線D雙曲線的一部分【解析】由 xcos a，cos ax，代入 ybcos ，得 xyab，又由 ybcos 知，y|b|，|b|，曲線應(yīng)為雙曲線的一部分【答案】D3圓錐曲線x

10、t2，y2t(t 為參數(shù))的焦點(diǎn)坐標(biāo)是_【解析】將參數(shù)方程化為普通方程為 y24x，表示開(kāi)口向右，焦點(diǎn)在 x 軸正半軸上的拋物線，由 2p4p2，則焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)【答案】(1,0)4在直角坐標(biāo)系 xOy 中，已知曲線 C1：xt1，y12t(t 為參數(shù))與曲線 C2：xasin ，y3cos (為參數(shù)，a0)有一個(gè)公共點(diǎn)在 x 軸上，則 a_.【解析】xt1，y12t，消去參數(shù) t 得 2xy30.又xasin ，y3cos ，消去參數(shù)得x2a2y291.方程 2xy30 中，令 y0 得 x32，將32，0代入x2a2y291，得94a21.又 a0，a32.【答案】325 已 知 兩

11、 曲 線 參 數(shù) 方 程 分 別 為x 5cos ，ysin (0 ) 和x54t2，yt(tR)，求它們的交點(diǎn)坐標(biāo)【解】將x 5cos ，ysin (0)化為普通方程得：x25y21(0y1，x 5)，將 x54t2，yt 代入得：516t4t210，解得 t245，t2 55(yt0)，x54t254451，交點(diǎn)坐標(biāo)為1，2 55.我還有這些不足：(1)(2)我的課下提升方案：(1)(2)學(xué)業(yè)分層測(cè)評(píng)學(xué)業(yè)分層測(cè)評(píng)( (七七) )(建議用時(shí)：45 分鐘)學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)一、選擇題1曲線 C：x3cos ，y 5sin (為參數(shù))的離心率為()A.23B.35C.32D.53【解析】由題設(shè)，得x29y

12、251，a29，b25，c24，因此 eca23.【答案】A2已知曲線x3cos y4sin (為參數(shù)，0)上一點(diǎn) P，原點(diǎn)為 O，直線 PO的傾斜角為4，則 P 點(diǎn)坐標(biāo)是()A(3,4)B.3 22，2 2C(3，4)D.125，125【解析】因?yàn)閥0 x043tan tan41，所以 tan 34，所以 cos 45，sin 35，代入得 P 點(diǎn)坐標(biāo)為125，125 .【答案】D3參數(shù)方程xsin2cos2，y 2sin (為參數(shù))的普通方程是()Ay2x21Bx2y21Cy2x21(1y 3)Dy2x21(|x| 2)【解析】因?yàn)?x21sin ，所以 sin x21.又因?yàn)?y22si

13、n 2(x21)，所以 y2x21.1sin 1，y 2sin ，1y 3，普通方程為 y2x21，y1， 3【答案】C4點(diǎn) P(1,0)到曲線xt2y2t(參數(shù) tR)上的點(diǎn)的最短距離為()A0B1C. 2D2【解析】d2(x1)2y2(t21)24t2(t21)2，由 t20 得 d21，故 dmin1.【答案】B5方程x2t2ty2t2t(t 為參數(shù))表示的曲線是()A雙曲線B雙曲線的上支C雙曲線的下支D圓【解析】將參數(shù)方程的兩個(gè)等式兩邊分別平方，再相減，得：x2y2(2t2t)2(2t2t)24，即 y2x24.又注意到 2t0,2t2t2 2t2t2，得 y2.可見(jiàn)與以上參數(shù)方程等價(jià)

14、的普通方程為：y2x24(y2)顯然它表示焦點(diǎn)在 y 軸上，以原點(diǎn)為中心的雙曲線的上支【答案】B二、填空題6已知橢圓的參數(shù)方程x2cos ty4sin t(t 為參數(shù))，點(diǎn) M 在橢圓上，對(duì)應(yīng)參數(shù)t3，點(diǎn) O 為原點(diǎn)，則直線 OM 的斜率為_(kāi)【解析】由x2cos31，y4sin32 3，得點(diǎn) M 的坐標(biāo)為(1,2 3)直線 OM 的斜率 k2 312 3.【答案】2 37設(shè)曲線 C 的參數(shù)方程為xt，yt2(t 為參數(shù))，若以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)，x 軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，則曲線 C 的極坐標(biāo)方程為_(kāi)【解析】xt，yt2化為普通方程為 yx2，由于cos x，sin y，所以化為極坐

15、標(biāo)方程為sin 2cos2，即cos2sin 0.【答案】cos2sin 08在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，曲線 C1和 C2的參數(shù)方程分別為xt，y t(t為參數(shù))和x 2cos ，y 2sin (為參數(shù))，則曲線 C1與 C2的交點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)【解析】由xt，y t，得 y x，又由x 2cos ，y 2sin ，得 x2y22.由y x，x2y22，得x1，y1，即曲線 C1與 C2的交點(diǎn)坐標(biāo)為(1,1)【答案】(1,1)三、解答題9如圖 222 所示，連接原點(diǎn) O 和拋物線 y12x2上的動(dòng)點(diǎn) M，延長(zhǎng) OM 到點(diǎn) P，使|OM|MP|，求 P 點(diǎn)的軌跡方程，并說(shuō)明是什么曲線？圖 222【

16、解】拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為 x22y，其參數(shù)方程為x2t，y2t2，得 M(2t,2t2)設(shè) P(x，y)，則 M 是 OP 中點(diǎn)2tx02，2t2y02，x4ty4t2(t 為參數(shù))，消去 t 得 y14x2，是以 y 軸對(duì)稱軸，焦點(diǎn)為(0,1)的拋物線10 已知直線 l 的極坐標(biāo)方程是cos sin 10.以極點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，極軸為 x 軸的正半軸，建立平面直角坐標(biāo)系，橢圓 C 的參數(shù)方程是x2cos ysin (為參數(shù))，求直線 l 和橢圓 C 相交所成弦的弦長(zhǎng)【解】由題意知直線和橢圓方程可化為：xy10，x24y21，聯(lián)立，消去 y 得：5x28x0，解得 x10，x285.設(shè)直線

17、與橢圓交于 A、B 兩點(diǎn)，則 A、B 兩點(diǎn)直角坐標(biāo)分別為(0,1)，85，35 ，則|AB|35128528 25，故所求的弦長(zhǎng)為8 25.能力提升1P 為雙曲線x4sec ，y3tan (為參數(shù))上任意一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2為其兩個(gè)焦點(diǎn)，則F1PF2重心的軌跡方程是()A9x216y216(y0)B9x216y216(y0)C9x216y21(y0)D9x216y21(y0)【解析】由題意知 a4，b3，可得 c5，故 F1(5,0)，F(xiàn)2(5,0)，設(shè) P(4sec ，3tan )，重心 M(x，y)，則x554sec 343sec ，y003tan 3tan .從而有 9x216y216(y0

18、)【答案】A2 若曲線xsin2，ycos 1(為參數(shù))與直線 xm 相交于不同兩點(diǎn)， 則 m 的取值范圍是()ARB(0，)C(0,1)D0,1)【解析】將曲線xsin2，ycos 1化為普通方程得(y1)2(x1)(0 x1)它是拋物線的一部分，如圖所示，由數(shù)形結(jié)合知 0m1.【答案】D3對(duì)任意實(shí)數(shù)，直線 yxb 與橢圓x2cos y4sin (02)，恒有公共點(diǎn)，則 b 的取值范圍是_【解析】將(2cos ，4sin )代入 yxb 得：4sin 2cos b.恒有公共點(diǎn)，以上方程有解令 f()4sin 2cos 2 5sin()tan 12 ，2 5f()2 5，2 5b2 5.【答案

19、】2 5，2 54在直角坐標(biāo)系 xOy 中，直線 l 的方程為 xy40，曲線 C 的參數(shù)方程為x 3cos ysin (為參數(shù))(1)已知在極坐標(biāo)系(與直角坐標(biāo)系 xOy 取相同的長(zhǎng)度單位， 且以原點(diǎn) O 為極點(diǎn)，以 x 軸正半軸為極軸)中，點(diǎn) P 的極坐標(biāo)為4，2 ，判斷點(diǎn) P 與直線 l 的位置關(guān)系；(2)設(shè)點(diǎn) Q 是曲線 C 上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求它到直線 l 的距離的最小值【解】(1)把極坐標(biāo)系下的點(diǎn) P4，2 化為直角坐標(biāo)，得點(diǎn)(0,4)因?yàn)辄c(diǎn) P的直角坐標(biāo)(0,4)滿足直線 l 的方程 xy40，所以點(diǎn) P 在直線 l 上(2)因?yàn)辄c(diǎn) Q 在曲線 C 上，故可設(shè)點(diǎn) Q 的坐標(biāo)為( 3cos ，sin )，從而點(diǎn) Q到直線 l 的距離為d| 3cos sin 4|22cos6 42 2cos6 2 2，由此得，當(dāng) cos6 1 時(shí)，d 取得最小值，且最小值為 2.最新精品資料