新編高考數(shù)學二輪復習 考前數(shù)學思想領航 二 數(shù)形結合思想講學案 理

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1、新編高考數(shù)學復習資料 二、數(shù)形結合思想 以形助數(shù)(數(shù)題形解) 以數(shù)輔形(形題數(shù)解) 　　借助形的生動性和直觀性來闡述數(shù)之間的關系，把數(shù)轉化為形，即以形作為手段，數(shù)作為目的解決數(shù)學問題的數(shù)學思想 　　借助于數(shù)的精確性和規(guī)范性及嚴密性來闡明形的某些屬性，即以數(shù)作為手段，形作為目的解決問題的數(shù)學思想 　　數(shù)形結合思想通過“以形助數(shù)，以數(shù)輔形”，使復雜問題簡單化，抽象問題具體化，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數(shù)學問題的本質，它是數(shù)學的規(guī)律性與靈活性的有機結合 方法一　函數(shù)圖象數(shù)形溝通法 模型解法 函數(shù)圖象數(shù)形溝通法，即通過函數(shù)圖象來分析和解決函數(shù)問題的方法，對于高中數(shù)學函數(shù)

2、貫穿始終，因此這種方法是最常用的溝通方法．破解此類題的關鍵點： ①分析數(shù)理特征，一般解決問題時不能精確畫出圖象，只能通過圖象的大概性質分析問題，因此需要確定能否用函數(shù)圖象解決問題． ②畫出函數(shù)圖象，畫出對應的函數(shù)、轉化的函數(shù)或構造函數(shù)的圖象． ③數(shù)形轉化，這個轉化實際是借助函數(shù)圖象將難以解決的數(shù)理關系明顯化． ④得出結論，通過觀察函數(shù)圖象得出相應的結論． 典例1　設定義在R上的函數(shù)f(x)是最小正周期為2π的偶函數(shù)，f′(x)是f(x)的導函數(shù)．當x∈[0，π]時，0≤f(x)≤1；當x∈(0，π)且x≠時，f′(x)>0.則函數(shù)y＝f(x)－sin x在[－3π，3π]上的零點個數(shù)

3、為(　　) A．4 B．5 C．6 D．8 解析　∵當x∈[0，π]時，0≤f(x)≤1，f(x)是最小正周期為2π的偶函數(shù)， ∴當x∈[－3π，3π]時，0≤f(x)≤1. ∵當x∈(0，π)且x≠時，f′(x)>0， ∴當x∈時，f(x)為單調減函數(shù)； 當x∈時，f(x)為單調增函數(shù)， ∵當x∈[0，π]時，0≤f(x)≤1， 定義在R上的函數(shù)f(x)是最小正周期為2π的偶函數(shù)，在同一坐標系中作出y＝sin x和y＝f(x)的草圖如圖， 由圖知y＝f(x)－sin x在[－3π，3π]上的零點個數(shù)為6，故選C. 答案　C 思維升華　由函數(shù)圖象的變換能較快

4、畫出函數(shù)圖象，應該掌握平移(上下左右平移)、翻折(關于特殊直線翻折)、對稱(中心對稱和軸對稱)等基本轉化法與函數(shù)解析式的關系． 跟蹤演練1　已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且f(－x－1)＝f(x－1)，當x∈[－1,0]時，f(x)＝－x3，則關于x的方程f(x)＝|cos πx|在上的所有實數(shù)解之和為(　　) A．－7 B．－6 C．－3 D．－1 答案　A 解析　因為函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，所以f(－x－1)＝f(x＋1)＝f(x－1)，所以函數(shù)f(x)的周期為2，如圖，在同一平面直角坐標系內作出函數(shù)y＝f(x)與y＝|cos πx|的圖象， 由圖知關于x的方

5、程f(x)＝|cos πx|在上的實數(shù)解有7個．不妨設7個解中x1

6、質等方面分析代數(shù)式是否具有幾何意義． ②進行轉化，把要解決的代數(shù)問題轉化為幾何問題． ③得出結論，將幾何問題得出的結論回歸到代數(shù)問題中，進而得出結論． 典例2　如果實數(shù)x，y滿足(x－2)2＋y2＝3，則的最大值為(　　) A. B. C. D. 解析　方程(x－2)2＋y2＝3的幾何意義為坐標平面上的一個圓，圓心為M(2,0)，半徑為r＝(如圖)，而＝則表示圓M上的點A(x，y)與坐標原點O(0，0)的連線的斜率． 所以該問題可轉化為動點A在以M(2,0)為圓心，以為半徑的圓上移動，求直線OA的斜率的最大值． 由圖可知當∠OAM在第一象限，且直線OA與圓M相切時，OA的

7、斜率最大， 此時OM＝2，AM＝，OA⊥AM，則OA＝＝1，tan∠AOM＝＝，故的最大值為，故選D. 答案　D 思維升華　解決此類問題需熟悉幾何結構的代數(shù)形式，一般從構成幾何圖形的基本因素進行分析，主要有 (1)比值——可考慮直線的斜率． (2)二元一次式——可考慮直線的截距． (3)根式分式——可考慮點到直線的距離． (4)根式——可考慮兩點間的距離． 跟蹤演練2　設點P(x，y)滿足：則－的取值范圍是(　　) A. B.C. D．[－1,1] 答案　B 解析　作出不等式組所表示的可行域，如圖陰影部分所示(包括邊界)，其中A(2,1)，B(1,2)，令t＝，f(t

8、)＝t－，根據(jù)t的幾何意義可知，t為可行域內的點與坐標原點連線的斜率，連接OA，OB，顯然OA的斜率最小，OB的斜率2最大，即≤t≤2.由于函數(shù)f(t)＝t－在上單調遞增，故－≤f(t)≤，即－的取值范圍是. 方法三　圓錐曲線數(shù)形溝通法 模型解法 圓錐曲線數(shù)形溝通法是根據(jù)圓錐曲線中許多對應的長度、數(shù)式等都具有一定的幾何意義，挖掘題目中隱含的幾何意義，采用數(shù)形結合思想，快速解決某些相應的問題．破解此類題的關鍵點： ①畫出圖形，畫出滿足題設條件的圓錐曲線的圖形，以及相應的線段、直線等． ②數(shù)形求解，通過數(shù)形結合，利用圓錐曲線的定義、性質、直線與圓錐曲線的位置關系、圓與圓錐曲線的位置關系等

9、進行分析與求解． ③得出結論，結合題目條件進行分析，得出所要求解的結論． 典例3　已知點P在拋物線y2＝4x上，那么點P到點Q(2，－1)的距離與點P到拋物線焦點的距離之和取得最小值時，點P的坐標為(　　) A. B. C．(1,2) D．(1，－2) 解析　點P到拋物線焦點的距離等于點P到拋物線準線的距離，如圖所示，設焦點為F，過點P作準線的垂線，垂足為S，則|PF|＋|PQ|＝|PS|＋|PQ|，故當S，P，Q三點共線時取得最小值，此時P，Q的縱坐標都是－1，設點P的橫坐標為x0，代入y2＝4x得x0＝，故點P的坐標為，故選A. 答案　A 思維升華　破解圓錐曲線問題的

10、關鍵是畫出相應的圖形，注意數(shù)和形的相互滲透，并從相關的圖形中挖掘對應的信息進行研究．直線與圓錐曲線的位置關系的轉化有兩種，一種是通過數(shù)形結合建立相應的關系式，另一種是通過代數(shù)形式轉化為二元二次方程組的解的問題進行討論． 跟蹤演練3　已知拋物線的方程為x2＝8y，F(xiàn)是其焦點，點A(－2,4)，在此拋物線上求一點P，使△APF的周長最小，此時點P的坐標為________． 答案　 解析　因為(－2)2<8×4， 所以點A(－2,4)在拋物線x2＝8y的內部，如圖所示，設拋物線的準線為l， 過點P作PQ⊥l于點Q，過點A作AB⊥l于點B，連接AQ，由拋物線的定義可知，△APF的周長為|PF|＋|PA|＋|AF|＝|PQ|＋|PA|＋|AF|≥|AQ|＋|AF|≥|AB|＋|AF|，當且僅當P，B，A三點共線時，△APF的周長取得最小值，即|AB|＋|AF|. 因為A(－2,4)，所以不妨設△APF的周長最小時，點P的坐標為(－2，y0)，代入x2＝8y，得y0＝， 故使△APF的周長最小的點P的坐標為.