《新版高三文科數(shù)學通用版二輪復習：第1部分 專題5 突破點13 圓錐曲線中的綜合問題酌情自選 Word版含解析》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《新版高三文科數(shù)學通用版二輪復習：第1部分 專題5 突破點13 圓錐曲線中的綜合問題酌情自選 Word版含解析（11頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、11突破點突破點 13圓錐曲線中的綜合問題圓錐曲線中的綜合問題(酌情自選酌情自選)提煉 1 解答圓錐曲線的定值、定點問題，從三個方面把握(1)從特殊開始，求出定值，再證明該值與變量無關(2)直接推理、計算，在整個過程中消去變量，得定值(3)在含有參數(shù)的曲線方程里面，把參數(shù)從含有參數(shù)的項里面分離出來，并令其系數(shù)為零，可以解出定點坐標.提煉 2 用代數(shù)法求最值與范圍問題時從下面幾個方面入手(1)若直線和圓錐曲線有兩個不同的交點，則可以利用判別式求范圍(2)若已知曲線上任意一點、一定點或與定點構(gòu)成的圖形，則利用圓錐曲線的性質(zhì)(性質(zhì)中的范圍)求解(3)利用隱含或已知的不等關系式直接求范圍(4)利用基本
2、不等式求最值與范圍(5)利用函數(shù)值域的方法求最值與范圍提煉 3與圓錐曲線有關的探索性問題(1)給出問題的一些特殊關系，要求探索出一些規(guī)律，并能論證所得規(guī)律的正確性通常要對已知關系進行觀察、比較、分析，然后概括出一般規(guī)律(2)對于只給出條件，探求“是否存在”類型問題，一般要先對結(jié)論作出肯定存在的假設，然后由假設出發(fā)，結(jié)合已知條件進行推理，若推出相符的結(jié)論，則存在性得到論證；若推出矛盾，則假設不存在回訪 1圓錐曲線的定值、定點問題1(20 xx全國卷)已知橢圓 C：x2a2y2b21(ab0)的離心率為22，點(2， 2)在 C 上(1)求 C 的方程；(2)直線 l 不過原點 O 且不平行于坐標
3、軸，l 與 C 有兩個交點 A，B，線段 AB 的中點為 M.證明：直線 OM 的斜率與直線 l 的斜率的乘積為定值解(1)由題意有a2b2a22，4a22b21，2 分解得 a28，b24.3 分所以 C 的方程為x28y241.4 分(2)證明：設直線 l：ykxb(k0，b0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)將 ykxb 代入x28y241，得(2k21)x24kbx2b280.6 分故 xMx1x222kb2k21，yMkxMbb2k21.8 分于是直線 OM 的斜率 kOMyMxM12k，即 kOMk12.11 分所以直線 OM 的斜率與直線 l 的斜率的乘積為
4、定值.12 分回訪 2圓錐曲線中的最值與范圍問題2(20 xx北京高考)已知橢圓 C：x22y24.(1)求橢圓 C 的離心率；(2)設 O 為原點，若點 A 在直線 y2 上，點 B 在橢圓 C 上，且 OAOB，求線段 AB 長度的最小值解(1)由題意，橢圓 C 的標準方程為x24y221，2 分所以 a24，b22，從而 c2a2b22.因此 a2，c 2.故橢圓 C 的離心率 eca22.5 分(2)設點 A，B 的坐標分別為(t,2)，(x0，y0)，其中 x00.因為 OAOB，所以OAOB0，即 tx02y00，解得 t2y0 x0.7 分又 x202y204， 所以|AB|2(
5、x0t)2(y02)2x02y0 x02(y02)2x20y204y20 x204x204x20224x20 x204x2028x204(0 x204).12 分因為x2028x204(0b0)的離心率是22， 點 P(0,1)在短軸 CD 上，且PCPD1.圖 151(1)求橢圓 E 的方程；(2)設 O 為坐標原點，過點 P 的動直線與橢圓交于 A，B 兩點是否存在常數(shù)，使得OAOBPAPB為定值？若存在，求的值；若不存在，請說明理由解(1)由已知，點 C，D 的坐標分別為(0，b)，(0，b)又點 P 的坐標為(0,1)，且PCPD1，于是1b21，ca22，a2b2c2.解得 a2，b
6、 2.所以橢圓 E 的方程為x24y221.4 分(2)當直線 AB 的斜率存在時，設直線 AB 的方程為 ykx1，A，B 的坐標分別為(x1，y1)，(x2，y2)聯(lián)立x24y221，ykx1，得(2k21)x24kx20.其判別式(4k)28(2k21)0，所以 x1x24k2k21，x1x222k21.6 分從而，OAOBPAPBx1x2y1y2x1x2(y11)(y21)(1)(1k2)x1x2k(x1x2)124k2212k2112k212.9 分所以，當1 時，12k2123.此時，OAOBPAPB3 為定值.10 分當直線 AB 斜率不存在時，直線 AB 即為直線 CD.此時，
7、OAOBPAPBOCODPCPD213.12 分故存在常數(shù)1，使得OAOBPAPB為定值3.13 分熱點題型 1圓錐曲線中的定值問題題型分析：圓錐曲線中的定值問題是近幾年高考的熱點內(nèi)容，解決這類問題的關鍵是引入變化的參數(shù)表示直線方程、數(shù)量積、比例關系等，根據(jù)等式恒成立，數(shù)式變換等尋找不受參數(shù)影響的量(20 xx重慶二模)已知橢圓 C：x2a2y2b21(ab0)上一點 P1，32 與橢圓右焦點的連線垂直于 x 軸，直線 l：ykxm 與橢圓 C 相交于 A，B 兩點(均不在坐標軸上)(1)求橢圓 C 的標準方程；(2)設 O 為坐標原點， 若AOB 的面積為 3， 試判斷直線 OA 與 OB
8、的斜率之積是否為定值？【導學號：85952055】解(1)由題意知1a294b21，a2b21，解得a24，b23，3 分橢圓 C 的標準方程為x24y231.4 分(2)設點 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由x24y231，ykxm，得(4k23)x28kmx4m2120，5 分由(8km)216(4k23)(m23)0，得 m24k23.6 分x1x28km4k23，x1x24m2124k23，SOAB12|m|x1x2|12|m|4 3 4k23m24k23 3，8 分化簡得 4k232m20，滿足0，從而有 4k2m2m23(*)，9 分kOAkOBy1y2x1x2kx1mkx2
9、mx1x2k2x1x2kmx1x2m2x1x212k23m24m212344k2m2m23，由(*)式，得4k2m2m231，kOAkOB34，即直線 OA 與 OB 的斜率之積為定值34.12 分求解定值問題的兩大途徑1由特例得出一個值(此值一般就是定值)證明定值：將問題轉(zhuǎn)化為證明待證式與參數(shù)(某些變量)無關2先將式子用動點坐標或動線中的參數(shù)表示，再利用其滿足的約束條件使其絕對值相等的正負項抵消或分子、分母約分得定值變式訓練 1(20 xx北京高考)已知橢圓 C：x2a2y2b21 過 A(2,0)，B(0,1)兩點(1)求橢圓 C 的方程及離心率；(2)設 P 為第三象限內(nèi)一點且在橢圓 C
10、 上，直線 PA 與 y 軸交于點 M，直線 PB與 x 軸交于點 N，求證：四邊形 ABNM 的面積為定值解(1)由題意得 a2，b1，橢圓 C 的方程為x24y21.3 分又 c a2b2 3，離心率 eca32.5 分(2)證明：設 P(x0，y0)(x00，y00)，則 x204y204.6 分又 A(2,0)，B(0,1)，直線 PA 的方程為 yy0 x02(x2)令 x0，得 yM2y0 x02，從而|BM|1yM12y0 x02.9 分直線 PB 的方程為 yy01x0 x1.令 y0，得 xNx0y01，從而|AN|2xN2x0y01.12 分四邊形 ABNM 的面積 S12
11、|AN|BM|122x0y0112y0 x02x204y204x0y04x08y042x0y0 x02y022x0y02x04y04x0y0 x02y022.從而四邊形 ABNM 的面積為定值.14 分熱點題型 2圓錐曲線中的最值、范圍問題題型分析：圓錐曲線中的最值、范圍問題是高考重點考查的內(nèi)容，解決此類問題常用的方法是幾何法和代數(shù)法(20 xx全國乙卷)設圓 x2y22x150 的圓心為 A， 直線 l 過點 B(1,0)且與 x 軸不重合，l 交圓 A 于 C，D 兩點，過 B 作 AC 的平行線交 AD 于點 E.(1)證明|EA|EB|為定值，并寫出點 E 的軌跡方程；(2)設點 E
12、的軌跡為曲線 C1，直線 l 交 C1于 M，N 兩點，過 B 且與 l 垂直的直線與圓 A 交于 P，Q 兩點，求四邊形 MPNQ 面積的取值范圍解(1)因為|AD|AC|，EBAC，所以EBDACDADC，所以|EB|ED|，故|EA|EB|EA|ED|AD|.又圓 A 的標準方程為(x1)2y216，從而|AD|4，所以|EA|EB|4.2 分由題設得 A(1,0)，B(1,0)，|AB|2，由橢圓定義可得點 E 的軌跡方程為x24y231(y0).4 分(2)當 l 與 x 軸不垂直時，設 l 的方程為 yk(x1)(k0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)由ykx1，x24y231
13、，得(4k23)x28k2x4k2120，則 x1x28k24k23，x1x24k2124k23.所以|MN| 1k2|x1x2|12k214k23.過點 B(1,0)且與 l 垂直的直線 m： y1k(x1)， 點 A 到直線 m 的距離為2k21，6 分所以|PQ|2422k21244k23k21.故四邊形 MPNQ 的面積S12|MN| PQ|12114k23.8 分可得當 l 與 x 軸不垂直時，四邊形 MPNQ 面積的取值范圍為(12,8 3).10 分當 l 與 x 軸垂直時，其方程為 x1，|MN|3，|PQ|8，故四邊形 MPNQ 的面積為 12.綜上，四邊形 MPNQ 面積的
14、取值范圍為 12,8 3).12 分與圓錐曲線有關的取值范圍問題的三種解法1數(shù)形結(jié)合法：利用待求量的幾何意義，確定出極端位置后數(shù)形結(jié)合求解2構(gòu)建不等式法：利用已知或隱含的不等關系，構(gòu)建以待求量為元的不等式求解3構(gòu)建函數(shù)法：先引入變量構(gòu)建以待求量為因變量的函數(shù)，再求其值域變式訓練 2(名師押題)已知拋物線 C：x22py(p0)，過其焦點作斜率為 1的直線 l 交拋物線 C 于 M，N 兩點，且|MN|16.(1)求拋物線 C 的方程；(2)已知動圓 P 的圓心在拋物線 C 上， 且過定點 D(0,4)， 若動圓 P 與 x 軸交于 A，B 兩點，求|DA|DB|DB|DA|的最大值解(1)設拋
15、物線的焦點為 F0，p2 ，則直線 l：yxp2.由yxp2，x22py，得 x22pxp20，x1x22p，y1y23p，|MN|y1y2p4p16，p4，拋物線 C 的方程為 x28y.4 分(2)設動圓圓心 P(x0，y0)，A(x1,0)，B(x2,0)，則 x208y0，且圓 P：(xx0)2(yy0)2x20(y04)2，令 y0，整理得 x22x0 xx20160，解得 x1x04，x2x04，6 分設 t|DA|DB|x04216x04216x208x032x208x032116x0 x208x032，當 x00 時，t1，7 分當 x00 時，t116x0832x0.x00，
16、x032x08 2，t11688 2 32 2 21，且 t1，綜上知 21t1.9 分f(t)t1t在 21,1上單調(diào)遞減，|DA|DB|DB|DA|t1t 211212 2，當且僅當 t 21，即 x042時等號成立|DA|DB|DB|DA|的最大值為 2 2.12 分熱點題型 3圓錐曲線中的探索性問題題型分析：探索性問題一般分為探究條件和探究結(jié)論兩種類型，若探究條件，則可先假設條件成立，再驗證結(jié)論是否成立，成立則存在，否則不存在若探究結(jié)論，則應先寫出結(jié)論的表達式，再針對表達式進行討論，往往涉及對參數(shù)的討論(20 xx長沙二模)如圖 152，在平面直角坐標系 xOy 中，已知 F1，F(xiàn)2分
17、別是橢圓 E：x2a2y2b21(ab0)的左、右焦點，A，B 分別是橢圓 E 的左、右頂點，D(1,0)為線段 OF2的中點，且AF25BF20.圖 152(1)求橢圓 E 的方程；(2)若 M 為橢圓 E 上的動點(異于點 A，B)，連接 MF1并延長交橢圓 E 于點 N，連接 MD，ND 并分別延長交橢圓 E 于點 P，Q，連接 PQ，設直線 MN，PQ 的斜率存在且分別為 k1，k2.試問是否存在常數(shù)，使得 k1k20 恒成立？若存在，求出的值；若不存在，說明理由解題指導(1)D 為 OF2的中點求 cAF25BF20a 與 c 的關系橢圓方程(2)假設存在常數(shù)設點 M，N，P，Q 的
18、坐標直線 MD 的方程與橢圓方程聯(lián)立用點 M 的坐標表示點 P，Q 的坐標點 M，F(xiàn)1，N 共線得到點 M，N 坐標的關系求 k2得到 k1與 k2的關系解(1)AF25BF20，AF25F2B，ac5(ac)，化簡得 2a3c，又點 D(1,0)為線段 OF2的中點，c2，從而 a3，b 5，左焦點 F1(2,0)，故橢圓 E 的方程為x29y251.4 分(2)假設存在滿足條件的常數(shù)，使得 k1k20 恒成立，設 M(x1，y1)，N(x2，y2)，P(x3，y3)，Q(x4，y4)，則直線 MD 的方程為 xx11y1y1，代入橢圓方程x29y251，整理得，5x1y21y2x11y1y
19、40，6 分y1y3y1x11x15， y34y1x15， 從而 x35x19x15， 故點 P5x19x15，4y1x15 ，同理，點 Q5x29x25，4y2x25 .8 分三點 M，F(xiàn)1，N 共線，y1x12y2x22，從而 x1y2x2y12(y1y2)，從而 k2y3y4x3x44y1x154y2x255x19x155x29x25x1y2x2y15y1y24x1x27y1y24x1x27k14，故 k14k270，從而存在滿足條件的常數(shù)，47.12 分探索性問題求解的思路及策略1思路：先假設存在，推證滿足條件的結(jié)論，若結(jié)論正確，則存在；若結(jié)論不正確，則不存在2策略：(1)當條件和結(jié)論
20、不唯一時要分類討論；(2)當給出結(jié)論而要推導出存在的條件時，先假設成立，再推出條件變式訓練 3(20 xx哈爾濱二模)已知橢圓 C：x2a2y2b21(ab0)的焦點分別為F1( 3，0)，F(xiàn)2( 3，0)，點 P 在橢圓 C 上，滿足|PF1|7|PF2|，tanF1PF24 3.(1)求橢圓 C 的方程；(2)已知點 A(1,0)，試探究是否存在直線 l：ykxm 與橢圓 C 交于 D，E 兩點，且使得|AD|AE|？若存在，求出 k 的取值范圍；若不存在，請說明理由.【導學號：85952056】解(1)由|PF1|7|PF2|，PF1PF22a 得 PF17a4，PF2a4.2 分由余弦
21、定理得 cosF1PF177a42a422 3227a4a4，a2，所求 C 的方程為x24y21.4 分(2)假設存在直線 l 滿足題設，設 D(x1，y1)，E(x2，y2)，將 ykxm 代入x24y21 并整理得(14k2)x28kmx4m240，由64k2m24(14k2)(4m24)16(m24k21)0，得 4k21m2.6 分又 x1x28km14k2.設 D，E 中點為 M(x0，y0)，M4km14k2，m14k2，kAMk1，得 m14k23k，8 分將代入得 4k2114k23k2， 化簡得 20k4k210(4k21)(5k21)0，解得 k55或 k55，所以存在直線 l，使得|AD|AE|，此時 k 的取值范圍為，55 55，.12 分
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