高三數(shù)學(xué)北師大版理一輪教師用書：第4章 第3節(jié) 三角函數(shù)的圖像與性質(zhì) Word版含解析

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1、 第三節(jié)　三角函數(shù)的圖像與性質(zhì) [最新考綱]　1.能畫出y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的圖像，了解三角函數(shù)的周期性.2.理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)在[0,2π]上的性質(zhì)(如單調(diào)性、最大值和最小值、圖像與x軸的交點(diǎn)等)，理解正切函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性． 1．用五點(diǎn)法作正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的簡圖 正弦函數(shù)y＝sin x，x∈[0,2π]圖像的五個關(guān)鍵點(diǎn)是：(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)． 余弦函數(shù)y＝cos x，x∈[0,2π]圖像的五個關(guān)鍵點(diǎn)是：(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)． 2．正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖像與性質(zhì) 函數(shù) y＝sin

2、x y＝cos x y＝tan x 圖像 定義域 R R 值域 [－1,1] [－1,1] R 單調(diào)性 遞增區(qū)間： ， k∈Z， 遞減區(qū)間： ， k∈Z 遞增區(qū)間： [2kπ－π，2kπ]， k∈Z， 遞減區(qū)間： [2kπ，2kπ＋π]， k∈Z 遞增區(qū)間 ， k∈Z 奇偶性 奇函數(shù) 偶函數(shù) 奇函數(shù) 對稱性 對稱中心 (kπ，0)，k∈Z 對稱中心 ，k∈Z 對稱中心 ，k∈Z 對稱軸 x＝kπ＋(k∈Z) 對稱軸 x＝kπ(k∈Z) 周期性 2π 2π π 1．正弦曲線、余弦曲

3、線相鄰兩對稱中心、相鄰兩對稱軸之間的距離是半個周期，相鄰的對稱中心與對稱軸之間的距離是個周期． 2．正切曲線相鄰兩對稱中心之間的距離是半個周期． 3．對于函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)，其對稱軸一定經(jīng)過圖像的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)，對稱中心的橫坐標(biāo)一定是函數(shù)的零點(diǎn)． 一、思考辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)函數(shù)y＝sin x的圖像關(guān)于點(diǎn)(kπ，0)(k∈Z)中心對稱．(　　) (2)正切函數(shù)y＝tan x在定義域內(nèi)是增函數(shù)．(　　) (3)已知y＝ksin x＋1，x∈R，則y的最大值為k＋1.(　　) (4)y＝sin |x|與y＝|sin x|都是周期函數(shù)．(　　)

4、 [答案]　(1)√　(2)×　(3)×　(4)× 二、教材改編 1．函數(shù)y＝tan 2x的定義域是(　　) A. B. C. D. D　[由2x≠kπ＋，k∈Z，得x≠＋，k∈Z， ∴y＝tan 2x的定義域為.] 2．函數(shù)f(x)＝cos的最小正周期是________． π　[T＝＝π.] 3．y＝sin的單調(diào)減區(qū)間是________． (k∈Z)　[由＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.] 4．y＝3sin在區(qū)間上的值域是________． 　[當(dāng)x∈時，2x－∈， sin∈， 故3sin∈， 即y＝3sin的值域為.] 

5、考點(diǎn)1　三角函數(shù)的定義域和值域 　1.三角函數(shù)定義域的求法 求三角函數(shù)定義域?qū)嶋H上是構(gòu)造簡單的三角不等式(組)，常借助三角函數(shù)線或三角函數(shù)圖像來求解． 2．求三角函數(shù)最值或值域的常用方法 (1)直接法：直接利用sin x和cos x的值域求解． (2)化一法：把所給三角函數(shù)化為y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，由正弦函數(shù)單調(diào)性寫出函數(shù)的值域． (3)換元法：把sin x，cos x，sin xcos x或sin x±cos x換成t，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求解． 　1.函數(shù)f(x)＝－2tan的定義域是(　　) A. B. C. D. D　[由正切函數(shù)的定義域，得2x＋≠kπ＋，

6、k∈Z， 即x≠＋(k∈Z)，故選D.] 2．(2019·全國卷Ⅰ)函數(shù)f(x)＝sin－3cos x的最小值為________． －4　[f(x)＝sin－3cos x＝－cos 2x－3cos x＝－2cos2x－3cos x＋1， 令cos x＝t，則t∈[－1,1]． f(t)＝－2t2－3t＋1＝－22＋， 易知當(dāng)t＝1時，f(t)min＝－2×12－3×1＋1＝－4. 故f(x)的最小值為－4.] 3．已知函數(shù)f(x)＝sin，其中x∈，若f(x)的值域是，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________． 　[∵x∈， ∴x＋∈， ∵當(dāng)x＋∈時，f(x)的值域為， ∴

7、由函數(shù)的圖像(圖略)知≤a＋≤，∴≤a≤π.] 4．函數(shù)y＝sin x－cos x＋sin xcos x的值域為________． 　[設(shè)t＝sin x－cos x，則t2＝sin2x＋cos2x－2sin x·cos x，sin xcos x＝，且－≤t≤. ∴y＝－＋t＋＝－(t－1)2＋1，t∈[－，]． 當(dāng)t＝1時，ymax＝1； 當(dāng)t＝－時，ymin＝－－. ∴函數(shù)的值域為.] 　求解三角函數(shù)的值域(最值)常見的幾種類型 (1)形如y＝asin x＋bcos x＋c的三角函數(shù)化為y＝Asin(ωx＋φ)＋c的形式，再求值域(最值)． (2)形如y＝asin2x＋bs

8、in x＋c的三角函數(shù)，可先設(shè)sin x＝t，化為關(guān)于t的二次函數(shù)求值域(最值)． (3)形如y＝asin3x＋bsin2x＋csin x＋d，類似于(2)進(jìn)行換元，然后用導(dǎo)數(shù)法求最值． 考點(diǎn)2　三角函數(shù)的單調(diào)性 　(1)形如y＝Asin(ωx＋φ)的函數(shù)的單調(diào)性問題，一般是將ωx＋φ看成一個整體，再結(jié)合圖像利用y＝sin x的單調(diào)性求解；(2)如果函數(shù)中自變量的系數(shù)為負(fù)值，要根據(jù)誘導(dǎo)公式把自變量系數(shù)化為正值，再確定其單調(diào)性． 　求三角函數(shù)的單調(diào)性 　(1)函數(shù)f(x)＝tan的單調(diào)遞增區(qū)間是(　　) A.(k∈Z) B.(k∈Z) C.(k∈Z) D.(k∈Z) (2)(2

9、019·大連模擬)函數(shù)y＝sin x＋cos x的單調(diào)遞增區(qū)間是________． (1)B　(2)　[(1)由kπ－＜2x－＜kπ＋(k∈Z)， 得－＜x＜＋(k∈Z)， 所以函數(shù)f(x)＝tan的單調(diào)遞增區(qū)間為(k∈Z)，故選B. (2)∵y＝sin x＋cos x＝sin， 由2kπ－≤x＋≤2kπ＋(k∈Z)， 解得2kπ－≤x≤2kπ＋(k∈Z)． ∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為(k∈Z)， 又x∈，∴單調(diào)遞增區(qū)間為.] 　本例(2) 在整體求得函數(shù)y＝sin x＋cos x的增區(qū)間后，采用對k賦值的方式求得x∈上的區(qū)間． 　根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù) 　(1)已知ω＞0，

10、函數(shù)f(x)＝sin在上單調(diào)遞減，則ω的取值范圍是(　　) A.(0,2]　　　　　　 B. C. D. (2)(2018·全國卷Ⅱ)若f(x)＝cos x－sin x在[0，a] 是減函數(shù)，則a的最大值是(　　) A.　　　 B. C.　　　 D.π (1)D　(2)C　[(1)由2kπ＋≤ωx＋≤2kπ＋，得＋≤x≤＋，k∈Z， 因為f(x)＝sin在上單調(diào)遞減， 所以解得因為k∈Z，ω＞0，所以k＝0， 所以≤ω≤，即ω的取值范圍為.故選D. (2)f(x)＝cos x－sin x＝－sin， 當(dāng)x－∈，即x∈時， sin單調(diào)遞增，－sin 單調(diào)遞減，

11、∴是f(x)在原點(diǎn)附近的單調(diào)遞減區(qū)間， 結(jié)合條件得[0，a]?， ∴a≤，即amax＝，故選C.] 　已知單調(diào)區(qū)間求參數(shù)范圍的3種方法 子集法 求出原函數(shù)的相應(yīng)單調(diào)區(qū)間，由已知區(qū)間是所求某區(qū)間的子集，列不等式(組)求解 反子 集法 由所給區(qū)間求出整體角的范圍，由該范圍是某相應(yīng)正、余弦函數(shù)的某個單調(diào)區(qū)間的子集，列不等式(組)求解 周期 性法 由所給區(qū)間的兩個端點(diǎn)到其相應(yīng)對稱中心的距離不超過周期列不等式(組)求解 　1.若函數(shù)f(x)＝sin ωx(ω＞0)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，則ω＝________. 　[由已知得＝，∴T＝，∴ω＝＝.] 2．函數(shù)f(x

12、)＝sin的單調(diào)減區(qū)間為________． (k∈Z)　[由已知，得函數(shù)為y＝－sin，欲求函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間，只需求y＝sin的單調(diào)增區(qū)間即可． 由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z， 得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z. 故所求函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為(k∈Z)．] 考點(diǎn)3　三角函數(shù)的周期性、奇偶性、對稱性 　求解三角函數(shù)y＝sin(ωx＋φ)(ω＞0)的周期性、奇偶性、對稱性問題，其實(shí)質(zhì)都是根據(jù)y＝sin x的對應(yīng)性質(zhì)，利用整體代換的思想求解． 　三角函數(shù)的周期性 　(1)(2019·全國卷Ⅱ)下列函數(shù)中，以為周期且在區(qū)間單調(diào)遞增的是(　　) A．f(x)＝|cos 2x| B

13、．f(x)＝|sin 2x| C．f(x)＝cos|x| D．f(x)＝sin|x| (2)若函數(shù)f(x)＝2tan的最小正周期T滿足1＜T＜2，則自然數(shù)k的值為________． (1)A　(2)2或3　[(1)對于選項A，作出y＝|cos 2x|的部分圖像，如圖1所示，則f(x)在上單調(diào)遞增，且最小正周期T＝，故A正確． 對于選項B，作出f(x)＝|sin 2x|的部分圖像，如圖2所示，則f(x)在上單調(diào)遞減，且最小正周期T＝，故B不正確．對于選項C，∵f(x)＝cos|x|＝cos x，∴最小正周期T＝2π，故C不正確． 對于選項D，作出f(x)＝sin|x|的部分圖像，如

14、圖3所示．顯然f(x)不是周期函數(shù)，故D不正確．故選A. 　　 ] 圖1　　　　　　　　圖2 圖3 (2)由題意得，1＜＜2，∴k＜π＜2k，即＜k＜π， 又k∈Z，∴k＝2或3.] 　公式莫忘絕對值，對稱抓住“心”與“軸” (1)公式法求周期 ①正弦型函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B的周期T＝； ②余弦型函數(shù)f(x)＝Acos(ωx＋φ)＋B的周期T＝； ③正切型函數(shù)f(x)＝Atan(ωx＋φ)＋B的周期T＝. (2)對稱性求周期 ①兩對稱軸距離的最小值等于； ②兩對稱中心距離的最小值等于； ③對稱中

15、心到對稱軸距離的最小值等于. (3)特征點(diǎn)法求周期 ①兩個最大值點(diǎn)之差的最小值等于T； ②兩個最小值點(diǎn)之差的最小值等于T； ③最大值點(diǎn)與最小值點(diǎn)之差的最小值等于. 特征點(diǎn)法求周期實(shí)質(zhì)上就是由圖像的對稱性求周期，因為最值點(diǎn)與函數(shù)圖像的對稱軸相對應(yīng)．(說明：此處的T均為最小正周期) 　三角函數(shù)的奇偶性 　已知函數(shù)f(x)＝3sin，φ∈(0，π)． (1)若f(x)為偶函數(shù)，則φ＝________； (2)若f(x)為奇函數(shù)，則φ＝________. (1)π　(2)　[(1)因為f(x)＝3sin為偶函數(shù)， 所以－＋φ＝kπ＋，k∈Z， 又因為φ∈(0，π)，所以φ＝.

16、 (2)因為f(x)＝3sin為奇函數(shù)， 所以－＋φ＝kπ，k∈Z， 又φ∈(0，π)，所以φ＝.] 　若f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω≠0)，則①f(x)為偶函數(shù)的充 要條件是φ＝＋kπ(k∈Z)；②f(x)為奇函數(shù)的充要條件是φ＝kπ(k∈Z)． 　三角函數(shù)的對稱性 　(1)已知函數(shù)f(x)＝2sin(ω＞0)的最小正周期為4π，則該函數(shù)的圖像(　　) A．關(guān)于點(diǎn)對稱 B．關(guān)于點(diǎn)對稱 C．關(guān)于直線x＝對稱 D．關(guān)于直線x＝對稱 (2)已知函數(shù)y＝sin(2x＋φ)的圖像關(guān)于直線x＝對稱，則φ的值為________． (1)B　(2)－　[(1)因為函數(shù)f(x)＝

17、2sin(ω＞0)的最小正周期是4π，而T＝＝4π，所以ω＝， 即f(x)＝2sin. 令＋＝＋kπ(k∈Z)，解得x＝＋2kπ(k∈Z)， 故f(x)的對稱軸為x＝＋2kπ(k∈Z)， 令＋＝kπ(k∈Z)，解得x＝－＋2kπ(k∈Z)． 故f(x)的對稱中心為(k∈Z)，對比選項可知B正確． (2)由題意得f＝sin＝±1， ∴＋φ＝kπ＋(k∈Z)，∴φ＝kπ－(k∈Z)． ∵φ∈，∴φ＝－.] 　三角函數(shù)圖像的對稱軸和對稱中心的求解方法 若求f(x)＝Asin(ωx＋φ)(ω≠0)圖像的對稱軸，則只需令ωx＋φ＝＋kπ(k∈Z)，求x；若求f(x)＝Asin(ωx＋

18、φ)(ω≠0)圖像的對稱中心的橫坐標(biāo)，則只需令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，求x. 　1.設(shè)函數(shù)f(x)＝cos，則下列結(jié)論錯誤的是(　　) A．f(x)的一個周期為－2π B．y＝f(x)的圖像關(guān)于直線x＝對稱 C．f(x＋π)的一個零點(diǎn)為x＝ D．f(x)在上單調(diào)遞減 D　[A項，因為f(x)＝cos的周期為2kπ(k∈Z)，所以f(x)的一個周期為－2π，A項正確； B項，因為f(x)＝cos圖像的對稱軸為直線x＝kπ－(k∈Z)，所以y＝f(x)的圖像關(guān)于直線x＝對稱，B項正確； C項，f(x＋π)＝cos.令x＋＝kπ＋(k∈Z)，得x＝kπ－，當(dāng)k＝1時，x＝， 所以

19、f(x＋π)的一個零點(diǎn)為x＝，C項正確； D項，因為f(x)＝cos的單調(diào)遞減區(qū)間為(k∈Z)， 單調(diào)遞增區(qū)間為(k∈Z)， 所以是f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間，是f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間，D項錯誤．] 2．(2019·成都模擬)已知函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)的最小正周期為4π，且任意x∈R，有f(x)≤f成立，則f(x)圖像的一個對稱中心坐標(biāo)是(　　) A. B. C. D. A　[由f(x)＝sin(ωx＋φ)的最小正周期為4π，得ω＝. 因為f(x)≤f恒成立， 所以f(x)max＝f， 即×＋φ＝＋2kπ(k∈Z)， 由|φ|＜，得φ＝， 故f(x)＝sin. 令x＋＝kπ(k∈Z)，得x＝2kπ－(k∈Z)， 故f(x)圖像的對稱中心為(k∈Z)， 當(dāng)k＝0時，f(x)圖像的對稱中心為.]