《新編浙江高考數(shù)學(xué)理二輪專題訓(xùn)練:第1部分 專題二 第2講 三角恒等變換與解三角形選擇、填空題型》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《新編浙江高考數(shù)學(xué)理二輪專題訓(xùn)練:第1部分 專題二 第2講 三角恒等變換與解三角形選擇、填空題型(10頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、
考 點
考 情
三角函數(shù)的概念及誘導(dǎo)公式
1.對三角變換公式注重基礎(chǔ)考查,并在綜合試題中作為一種工具考查,主要考查利用各種三角公式進行求值與化簡,其中降冪公式、輔助角公式是考查的重點,切化弦、角的變換是??嫉娜亲儞Q思想.如浙江T6等.
2.正弦定理和余弦定理及解三角形問題是高考考查的重點,單獨命題的頻率較高,主要涉及以下幾個問題:(1)邊和角的計算;(2)三角形形狀的判斷;(3)面積的計算;(4)有關(guān)范圍的問題.如遼寧T6,天津T6等.
同角三角函數(shù)基本關(guān)系式
兩角和與差的三角函數(shù)
倍角公式
解三角形問題
三角恒等
2、變換與向量相結(jié)合問題
1.(20xx·浙江高考)已知α∈R,sin α+2cos α=,則tan 2α=( )
A. B.
C.- D.-
解析:選C 兩邊平方,再同時除以cos2α,得3tan2α-8tan α-3=0,tan α=3或tan α=-,代入tan 2α=,得到tan 2α=-.
2.(20xx·遼寧高考)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.若asin Bcos C+csin Bcos A=b,且a>b,則∠B=( )
A. B.
C. D.
解析:選A 由正弦定理可得sin Asin Bcos C+si
3、n C·sin Bcos A=sin B,因為sin B≠0,所以sin Acos C+sin Ccos A=,即sin(A+C)=,故sin B=,因為a>b,所以∠B=.
3.(20xx·天津高考)在△ABC中,∠ABC=,AB=,BC=3,則sin ∠BAC=( )
A. B.
C. D.
解析:選C 由余弦定理可得AC2=9+2-2×3××=5,所以AC=.再由正弦定理得=,所以sin A===.
4.(20xx·福建高考)如圖,在△ABC中,已知點D在BC邊上,AD⊥AC,sin∠BAC=,AB=3,AD=3,則BD的長為________.
解析:因為sin∠BAC
4、=,且AD⊥AC,
所以sin=,所以cos∠BAD=,在△BAD中,由余弦定理,得
BD=
= =.
答案:
1.兩組三角公式
(1)兩角和與差的正弦、余弦、正切公式
①sin(α±β)=sin αcos β±cos αsin β.
②cos(α±β)=cos αcos β?sin αsin β.
③tan(α±β)= .
(2)二倍角的正弦、余弦、正切公式
①sin 2α=2sin αcos α.
②cos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α.
③tan 2α=.
2.兩個定理
(1)正弦定理
===2R(2R為△AB
5、C外接圓的直徑).
變形:a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C;
sin A=,sin B=,sin C=;
a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C.
(2)余弦定理
a2=b2+c2-2bccos A,b2=a2+c2-2accos B,c2=a2+b2-2abcos C.
推論:cos A=,cos B=,
cos C=.
變形:b2+c2-a2=2bccos A,a2+c2-b2=2accos B,a2+b2-c2=2abcos C.
熱點一
三角變換與求值
[例1] (1)(20xx·重慶高考)4cos 50°-tan
6、40°=( )
A. B.
C. D.2-1
(2)若tan=,且-<α<0,則=( )
A.- B.-
C.- D.
(3)若cos(2α-β)=-,sin(α-2β)=,0<β<<α<,則α+β的值為________.
[自主解答] (1)4cos 50°-tan 40°=4cos 50°-
=-=
==
=
===.
(2)由tan==,得tan α=-.
又-<α<0,所以sin α=-.
故==2sin α=-.
(3)∵cos(2α-β)=-且<2α-β<π,
∴sin(2α-β)=.
∵sin(α-2β)=且-
7、<α-2β<,
∴cos(α-2β)=.
∴cos(α+β)=cos[(2α-β)-(α-2β)]
=cos(2α-β)cos(α-2β)+sin(2α-β)sin(α-2β)
=-×+×=.
∵<α+β <,∴α+β=.
[答案] (1)C (2)A (3)
—————————————————規(guī)律·總結(jié)——————————————
1.化簡求值的方法與思路
三角函數(shù)式的化簡求值可以采用“切化弦”“弦化切”來減少函數(shù)的種類,做到三角函數(shù)名稱的統(tǒng)一,通過三角恒等變換,化繁為簡,便于化簡求值,其基本思路為:找差異,化同名(同角),化簡求值.
2.解決條件求值應(yīng)關(guān)注的三點
8、(1)分析已知角和未知角之間的關(guān)系,正確地用已知角來表示未知角.
(2)正確地運用有關(guān)公式將所求角的三角函數(shù)值用已知角的三角函數(shù)值來表示.
(3)求解三角函數(shù)中給值求角的問題時,要根據(jù)已知求這個角的某種三角函數(shù)值,然后結(jié)合角的取值范圍,求出角的大?。?
1.在△ABC中,若tan Atan B=tan A+tan B+1,則cos C的值是( )
A.- B.
C. D.-
解析:選B 由tan Atan B=tan A+tan B+1,可得=-1,即tan(A+B)=-1,所以A+B=,則C=,cos C=.
2.已知cos=-,sin=,且<α<π
9、,0<β<,則cos =________.
解析:因為<α<π,0<β<,則<<,
-<-β<0,-<-<0,
所以<α-<π,-<-β<.
又cos=-<0,sin=>0,
所以<α-<π,0<-β<.
則sin= =,
cos= =,
故cos =cos
=coscos+sinsin
=×+×=.
答案:
熱點二
利用正弦、余弦定理解三角形
[例2] (1)(20xx·湖南高考)在銳角△ABC中,角A,B所對的邊長分別為a,b.若2asin B=b,則角A等于 ( )
A. B.
C. D.
(2)已知△ABC的內(nèi)角
10、A,B,C所對的邊分別為a,b,c,a=80,b=100,A=30°,則此三角形( )
A.一定是銳角三角形
B.一定是直角三角形
C.一定是鈍角三角形
D.可能是直角三角形,也可能是銳角三角形
(3)在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知4sin2 -cos 2C=,且a+b=5,c=,則△ABC的面積為________.
[自主解答] (1)由已知及正弦定理得2sin Asin B=sin B,因為sin B>0,所以sin A=.又A∈,所以A=.
(2)依題意得=,sin B===<,因此0°
11、=180°-(B+30°)>90°,此時△ABC是鈍角三角形;若120°
12、n B=b”改為“2bcos B=acos C+ccos A,且b2=3ac,角C所對的邊長為c”,如何求解?
解:因為2bcos B=acos C+ccos A,根據(jù)正弦定理可得,2sin Bcos B=sin Acos C+sin Ccos A,即sin 2B=sin(A+C)=sin B,故B=.因為b2=3ac,所以sin2B=3sin Asin C,即2=3××[cos(A-C)-cos(A+C)]=,得cos(A-C)=0,即A-C=或C-A=,又A+C=,得A=或.
——————————————————規(guī)律·總結(jié)——————————————
解三角形問題的方
13、法
(1)“已知兩角和一邊”或“已知兩邊和其中一邊的對角”應(yīng)采用正弦定理;
(2)“已知兩邊和這兩邊的夾角”或“已知三角形的三邊”應(yīng)采用余弦定理.
3.已知a,b,c分別為△ABC三個內(nèi)角A,B,C的對邊,若acos C+asin C=b+c,則角A的值為( )
A.30° B.45°
C.60° D.120°
解析:選C 由acos C+asin C=b+c及正弦定理,得sin Acos C+×sin Asin C=sin B+sin C,由三角形內(nèi)角和定理知,sin Acos C+sin Asin C=sin(A+C)+sin C,化簡得sin A-cos A
14、=1,即sin(A-30°)=.由于0°
15、in(B-C)=0,即B=C,所以△ABC是等腰三角形.若△ABC是等腰三角形,當A=B時,a=2bcos C不一定成立,所以“a=2bcos C”是“△ABC是等腰三角形”的充分不必要條件.
熱點三
解三角形與實際應(yīng)用問題
[例3] (1)(20xx·青島模擬)如圖所示,長為3.5 m的木棒AB斜靠在石堤旁,木棒的一端A在離堤足C處1.4 m的地面上,另一端B在離堤足C處2.8 m的石堤上,石堤的傾斜角為α,則坡度值tan α等于( )
A. B.
C. D.
(2)如圖所示,為了測量正在海面勻速行駛的某航船的速度,在海岸上選取距離為1 km的兩個
16、觀察點C,D,在某天10:00觀察到該航船在A處,此時測得∠ADC=30°,3 min后該船行駛至B處,此時測得∠ACB=60°,∠BCD=45°,∠ADB=60°,則船速為__________km/min.
[自主解答] (1)由題意,可得在△ABC中,AB=3.5,AC=1.4,BC=2.8,且α+∠ACB=π.由余弦定理,可得AB2=AC2+BC2-2×AC×BC×cos ∠ACB,即3.52=1.42+2.82-2×1.4×2.8×cos(π-α),解得cos α=.所以sin α=.所以tan α==.
(2)法一:(常規(guī)思路)在△ACD中,
有=,
得AD=.
在△BCD
17、中,有=,
得BD=1.
在△ABD中,有AB2=AD2+BD2-2AD·BDcos 60°=
2+12-2××1×=,
所以AB=,故船速為 km/min.
法二:(特殊思路)
由題意,得∠BDC=30°+60°=90°,
又因為∠BCD=45°,所以BC=CD=.
因為∠ACB=∠ADB=60°,所以A,B,C,D四點共圓,且以BC為直徑,所以AB=BC·sin 60°=,
故船速為 km/min.
[答案] (1)A (2)
四步解決解三角形中的實際問題
(1)分析題意,準確理解題意,分清已知與所求,尤其要理解題中的有關(guān)名詞、術(shù)語,如坡度、仰角、方位角等;
18、(2)根據(jù)題意畫出示意圖,并將已知條件在圖形中標出;
(3)將所求解的問題歸結(jié)到一個或幾個三角形中,通過合理運用正弦定理、余弦定理等有關(guān)知識正確求解;
(4)檢驗解出的結(jié)果是否具有實際意義,對結(jié)果進行取舍,得出正確答案.
5.一船向正北方向航行,看見正西方向有相距10海里的兩個燈塔恰好與它在一條直線上,繼續(xù)航行半小時后,看見一燈塔在船的南偏西60°方向,另一燈塔在船的南偏西75°方向,則這只船的速度是( )
A.15海里/時 B.5海里/時
C.10海里/時 D.20海里/時
解析:選C 如圖,依題意有∠BAC=60°,∠BAD=75°,所以∠CAD=∠CDA=15°
19、,從而CD=CA=10,在
直角三角形ABC中,可得AB=5,于是這只船的速度是10海里/時.
6.如圖所示,福建省福清石竹山原有一條筆直的山路BC,現(xiàn)在又新架設(shè)了一條索道AC.在山腳B處看索道AC,此時張角∠ABC=120°;從B處攀登200米到達D處,回頭看索道AC,此時張角∠ADC=150°;從D處再攀登300米即到達C處,則石竹山這條索道AC的長度為________米.
解析:在△ABD中,BD=200米,∠ABD=120°,由∠ADB=30°,得∠DAB=30°.
因為=,即=,
所以AD==200 米.
在△ADC中,DC=300米,∠ADC=150°,
所以AC2=AD2+DC2-2×AD×DC×cos∠ADC=(200)2+3002-2×200×300×cos 150°=390 000.所以AC=100 米.
答案:100