新版【創(chuàng)新方案】高考數(shù)學(xué)理一輪突破熱點(diǎn)題型：第1章 第1節(jié)　集合

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1、 1

2、 1 第一節(jié)　集　 合 考點(diǎn)一 集合的基本概念 　 　[例1]　(1)(20xx·山東高考)已知集合A＝{0,1,2}，則集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的個(gè)數(shù)是(　　) A．1　　　　 B．3　　　　 C．5　　　　 D．9 (2)已知A＝{a＋2，(a＋1)2，a2＋3a＋3}，若1∈A，則實(shí)數(shù)a構(gòu)成的集合B的元素個(gè)數(shù)是(　　) A．0

3、 B．1 C．2 D．3 [自主解答]　(1)①當(dāng)x＝0時(shí)，y＝0,1,2，此時(shí)x－y的值分別為0，－1，－2；②當(dāng)x＝1時(shí)，y＝0,1,2，此時(shí)x－y的值分別為1,0，－1；③當(dāng)x＝2時(shí)，y＝0,1,2，此時(shí)x－y的值分別為2,1,0.綜上可知，x－y的可能取值為－2，－1,0,1,2，共5個(gè)． (2)①當(dāng)a＋2＝1時(shí)，a＝－1，此時(shí)A＝{1,0,1}，不合題意，故a≠－1；②當(dāng)(a＋1)2＝1時(shí)，a＝0或a＝－2.若a＝0，則A＝{2,1,3}，符合題意；若a＝－2，則A＝{0,1,1}，不符合題意；③當(dāng)a2＋3a＋3＝1時(shí)，(a＋1

4、)(a＋2)＝0，即a＝－1或a＝－2.由①②知，不符合題意． 綜上可知a＝0，即實(shí)數(shù)a構(gòu)成的集合B只有1個(gè)元素． [答案]　(1)C　(2)B 【互動(dòng)探究】 若將本例(1)中的集合B更換為B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，則集合B中有多少個(gè)元素？ 解：當(dāng)x＝0時(shí)，y＝0；當(dāng)x＝1時(shí)，y＝0或y＝1；當(dāng)x＝2時(shí)，y＝0,1,2. 故集合B＝{(0,0)，(1,0)，(1,1)，(2, 0)，(2,1)，(2,2)}，即集合B中有6個(gè)元素．　　　　　 【方法規(guī)律】 解決集合的概念問題應(yīng)關(guān)注兩點(diǎn) (1)研究一個(gè)集合，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制條

5、件，當(dāng)集合用描述法表示時(shí)，注意弄清其元素表示的意義是什么．如本例(1)中集合B中的元素為實(shí)數(shù)x－y，在“互動(dòng)探究”中，集合B中的元素為點(diǎn)(x，y)． (2)對(duì)于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意檢驗(yàn)集合是否滿足互異性． 1．(20xx·寧波模擬)已知集合M＝{1，m}，N＝{n，log2n}，若M＝N，則(m－n)2 015＝________. 解析：因?yàn)镸＝N，所以或即或 故(m－n)2 015＝－1或0. 答案：－1或0 2．已知集合A＝，且2∈A,3?A，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________． 解析：因?yàn)?∈A，所以＜0，即(2a－1)(a－2)＞0，解得a＞2或

6、a＜.① 若3∈A，則＜0，即(3a－1)(a－3)＞0，解得a＞3或a＜， 所以3?A時(shí)，≤a≤3.②由①②可知，實(shí)數(shù)a的取值范圍為∪(2,3]． 答案：∪(2,3] 考點(diǎn)二 集合間的基本關(guān)系 　 　[例2]　(1)(20xx·西城模擬)已知M＝{x|x－a＝0}，N＝{x|ax－1＝0}，若M∩N＝N，則實(shí)數(shù)a的值為(　　) A．1 B．－1 C．1或－1 D．0或1或－1 (2)已知集合A＝{x|x＜－1或x＞4}，B＝{x|2a≤x≤a＋3}，若B?A，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為________． [自主解答]　(1)因?yàn)镸∩N＝N，所以N?M

7、.當(dāng)a＝0時(shí)，N＝?，M＝{0}，滿足M∩N＝N；當(dāng)a≠0時(shí)，M＝{a}，N＝，所以＝a，即a＝±1.故實(shí)數(shù)a的值為0，±1. 圖1 (2)當(dāng)B＝?時(shí)，只需2a＞a＋3，即a＞3；當(dāng)B≠?時(shí)，根據(jù)題意作出如圖所示的數(shù)軸，可 得 圖2 或解得a＜－4或2＜a≤3. 綜上可得，實(shí)數(shù)a的取值范圍為(－∞，－4)∪(2，＋∞)． [答案]　(1)D　(2)(－∞，－4)∪(2，＋∞) 【方法規(guī)律】 根據(jù)兩集合的關(guān)系求參數(shù)的方法 已知兩個(gè)集合之間的關(guān)系求參數(shù)時(shí)，要明確集合中的元素，對(duì)子集是否為空集進(jìn)行分類討論，做到不漏解．若集合元素是一一列舉的，依據(jù)集合間的關(guān)系，轉(zhuǎn)化為解方程

8、(組)求解，此時(shí)注意集合中元素的互異性；若集合表示的是不等式的解集，常依據(jù)數(shù)軸轉(zhuǎn)化為不等式(組)求解， 此時(shí)需注意端點(diǎn)值能否取到． 1．(20xx·杭州模擬)A＝{x|1＜x＜2}，B＝{x|x＜a}，若AB，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　) A．{a|a≥2}　 B．{a|a＞2} C．{a|a≥1} D．{a|a≤1} 解析：選A　借助數(shù)軸可知a≥2，故選A. 2．若集合A＝{x|x2＋ax＋1＝0，x∈R}，集合B＝{1,2}，且A?B，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________． 解析：①若A＝?，則Δ＝a2－4＜0，解得－2＜a＜2； ②若1∈A，則12＋a＋

9、1＝0，解得a＝－2，此時(shí)A＝{1}，符合題意； ③若2∈A，則22＋2a＋1＝0，解得a＝－，此時(shí)A＝，不合題意． 綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍為[－2,2)． 答案：[－2,2) 高頻考點(diǎn) 考點(diǎn)三 集合的基本運(yùn)算 　 　 1．有關(guān)集合運(yùn)算的考題，在高考中多以選擇題或填空題的形式呈現(xiàn)，試題難度不大，多為低檔題． 2．高考對(duì)集合運(yùn)算的考查主要有以下幾個(gè)命題角度： (1)離散型數(shù)集間的交、并、補(bǔ)運(yùn)算； (2)連續(xù)型數(shù)集間的交、并、補(bǔ)運(yùn)算； (3)已知集合的運(yùn)算結(jié)果求集合； (4)已知集合的運(yùn)算結(jié)果求參數(shù)的值(或參數(shù)的取值范圍)． [例3]　(1)(20xx·山東高

10、考)已知全集U＝{0,1,2,3,4}，集合A＝{1,2,3}，B＝{2,4}，則(?UA)∪B為(　　) A．{1,2,4} B．{2,3,4} C．{0,2,4} D．{0,2,3,4} (2)(20xx·浙江高考)設(shè)集合S＝{x|x>－2}，T＝{x|x2＋3x－4≤0}，則(?RS)∪T＝(　　) A．(－2,1] B．(－∞，－4] C．(－∞，1] D．[1，＋∞) (3)(20xx·遼寧高考)已知A，B均為集合U＝{1,3,5,7,9}的子集，且A∩B＝{3}，(?UB)∩A＝{9}，則A＝(　　) A．{1,3} B．{

11、3,7,9} C．{3,5,9} D．{3,9} (4)(20xx·天津高考)已知集合A＝{x∈R||x＋2|＜3}，集合B＝{x∈R|(x－m)(x－2)＜0}，且A∩B＝(－1，n)，則m＝________，n＝________. [自主解答]　(1)由題意知?UA＝{0,4}，又B＝{2,4}，∴(?UA)∪B＝{0,2,4}． (2)?RS＝{x|x≤－2}，又T＝{x|－4≤x≤1}，故(?RS)∪T＝{x|x≤1}． (3)法一：因?yàn)锳∩B＝{3}，所以3∈A，又因?yàn)??UB)∩A＝{9}，所以9∈A，故選D. 法二：如圖所示， 得A＝{3,9}

12、，故選D. (4)A＝{x∈R||x＋2|＜3}＝{x∈R|－5＜x＜1}， 由A∩B＝(－1，n)，可知m＜1，則B＝{x|m＜x＜2}，畫出數(shù)軸，可得m＝－1，n＝1. [答案]　(1)C　(2)C　(3)D　(4)－1　1 集合運(yùn)算問題的常見類型及解題策略 (1)離散型數(shù)集或抽象集合間的運(yùn)算．常借助Venn圖求解； (2)連續(xù)型數(shù)集的運(yùn)算．常借助數(shù)軸求解； (3)已知集合的運(yùn)算結(jié)果求集合．借助數(shù)軸或Venn圖求解； (4)根據(jù)集合運(yùn)算求參數(shù)．先把符號(hào)語言譯成文字語言，然后適時(shí)應(yīng)用數(shù)形結(jié)合求解． 1．(20xx·鄭州模擬)已知集合M＝{－1，0,1}，N＝{0

13、,1,2}，則如圖所示的Venn圖中的陰影部分所表示的合為(　　) A．{0,1} B．{－1,0,1} C．{－1,2} D．{－1,0,1,2} 解析：選C　由圖可知，陰影部分為{x|x∈M∪N且x?M∩N}，又M∪N＝{－1,0,1,2}，M∩N＝{0,1}，所以{x|x∈M∪N且x?M∩N}＝{－1,2}． 2．(20xx·廈門模擬)已知集合A＝{1,2,3}，B∩A＝{3}，B∪A＝{1,2,3,4,5}，則集合B的子集的個(gè)數(shù)為(　　) A．6 B．7 C．8 D．9 解析：選C　由題意知B＝{3

14、,4,5}，集合B含有3個(gè)元素，則其子集個(gè)數(shù)為23＝8. 3．(20xx·日照模擬)設(shè)集合A＝{x|x2＋2x－3＞0}，B＝{x|x2－2ax－1≤0，a＞0}．若A∩B中恰含有一個(gè)整數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　) A. B. C. D．(1，＋∞) 解析：選B　A＝{x|x2＋2x－3＞0}＝{x|x＞1或x＜－3}，因?yàn)楹瘮?shù)y＝f(x)＝x2－2ax－1的對(duì)稱軸為x＝a＞0，f(－3)＝6a＋8＞0，根據(jù)對(duì)稱性可知，要使A∩B中恰含有一個(gè)整數(shù)，則這個(gè)整數(shù)解為2，所以有f(2)≤0且f(3)＞0，即所以即≤a＜. ———————————[課堂歸納——通法領(lǐng)悟]———

15、————————— 1組轉(zhuǎn)化——集合運(yùn)算與集合關(guān)系的轉(zhuǎn)化 　在集合的運(yùn)算關(guān)系和兩個(gè)集合的包含關(guān)系之間往往存在一定的聯(lián)系，在一定的情況下可以相互轉(zhuǎn)化，如A?B?A∩B＝A?A∪B＝B??UA??UB?A∩(?UB)＝?，在解題中運(yùn)用這種轉(zhuǎn)化能有效地簡化解題過程．  2種技巧——集合的運(yùn)算技巧 　(1)在進(jìn)行集合的運(yùn)算時(shí)要盡可能地借助Venn圖和數(shù)軸使抽象問題直觀化．一般地，集合元素離散時(shí)用Venn圖表示；集合元素連續(xù)時(shí)用數(shù)軸表示，用數(shù)軸表示時(shí)要注意端點(diǎn)值的取舍． (2)兩個(gè)有限集合相等，可以從兩個(gè)集合中的元素相同求解，如果是兩個(gè)無限集合相等，從兩個(gè)集合中元素相同求解 就不方便，這時(shí)就根據(jù)兩個(gè)集合相等的定義求解，即如果A?B，B?A，則A＝B. 3個(gè)注意點(diǎn)——解決集合問題應(yīng)注意的問題 　(1)認(rèn)清元素的屬性．解決集合問題時(shí)，認(rèn)清集合中元素的屬性(是點(diǎn)集、數(shù)集或其他情形)和化簡集合是正確求解的兩個(gè)先決條件． (2)注意元素的互異性．在解決含參數(shù)的集合問題時(shí)，要注意檢驗(yàn)集合中元素的互異性，否則很可能會(huì)因?yàn)椴粷M足“互異性”而導(dǎo)致解題錯(cuò)誤． (3)防范空集．在解決有關(guān)A∩B＝?，A?B等集合問題時(shí)，往往忽略空集的情況，一定先考慮?是否成立，以防漏解．