《（浙江專用）2020版高考數(shù)學新增分大一輪復習 第七章 數(shù)列與數(shù)學歸納法 7.5 數(shù)學歸納法講義（含解析）.docx》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《（浙江專用）2020版高考數(shù)學新增分大一輪復習 第七章 數(shù)列與數(shù)學歸納法 7.5 數(shù)學歸納法講義（含解析）.docx（15頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
7.5 數(shù)學歸納法
最新考綱
考情考向分析
會用數(shù)學歸納法證明一些簡單的數(shù)學問題.
以了解數(shù)學歸納法的原理為主，會用數(shù)學歸納法證明與數(shù)列有關或與不等式有關的等式或不等式．在高考中以解答題形式出現(xiàn)，屬高檔題.
數(shù)學歸納法
一般地，證明一個與正整數(shù)n有關的命題，可按下列步驟進行：
(1)(歸納奠基)證明當n取第一個值n0(n0∈N*)時命題成立；
(2)(歸納遞推)假設n＝k(k≥n0，k∈N*)時命題成立，證明當n＝k＋1時命題也成立．
只要完成這兩個步驟，就可以斷定命題對從n0開始的所有正整數(shù)n都成立．
概念方法微思考
1．用數(shù)學歸納法證題時，證明當n取第一個值n0(n0∈N*)時命題成立．因為n0∈N*，所以n0＝1.這種說法對嗎？
提示 不對，n0也可能是2,3,4，….如用數(shù)學歸納法證明多邊形內角和定理(n－2)π時，初始值n0＝3.
2．數(shù)學歸納法的第一個步驟可以省略嗎？
提示 不可以，數(shù)學歸納法的兩個步驟相輔相成，缺一不可．
3．有人說，數(shù)學歸納法是合情推理，這種說法對嗎？
提示 不對，數(shù)學歸納法是一種證明與自然數(shù)有關的命題的方法，它是演繹推理．
題組一 思考辨析
1．判斷下列結論是否正確(請在括號中打“√”或“”)
(1)所有與正整數(shù)有關的數(shù)學命題都必須用數(shù)學歸納法證明．( )
(2)用數(shù)學歸納法證明問題時，歸納假設可以不用．( )
(3)不論是等式還是不等式，用數(shù)學歸納法證明時，由n＝k到n＝k＋1時，項數(shù)都增加了一項．( )
(4)用數(shù)學歸納法證明等式“1＋2＋22＋…＋2n＋2＝2n＋3－1”，驗證n＝1時，左邊式子應為1＋2＋22＋23.( √ )
(5)用數(shù)學歸納法證明凸n邊形的內角和公式時，n0＝3.( √ )
題組二 教材改編
2．[P99B組T1]在應用數(shù)學歸納法證明凸n邊形的對角線為n(n－3)條時，第一步檢驗n等于( )
A．1B．2C．3D．4
答案 C
解析 凸n邊形邊數(shù)最小時是三角形，
故第一步檢驗n＝3.
3．[P96A組T2]已知{an}滿足an＋1＝a－nan＋1，n∈N*，且a1＝2，則a2＝________，a3＝________，a4＝________，猜想an＝________.
答案 3 4 5 n＋1
題組三 易錯自糾
4．用數(shù)學歸納法證明1＋a＋a2＋…＋an＋1＝(a≠1，n∈N*)，在驗證n＝1時，等式左邊的項是( )
A．1 B．1＋a
C．1＋a＋a2 D．1＋a＋a2＋a3
答案 C
解析 當n＝1時，n＋1＝2，
∴左邊＝1＋a1＋a2＝1＋a＋a2.
5．對于不等式
Tn＋3n.
(1)解 因為Sn＝2an－2，所以當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1，即an＝2an－1.又由S1＝2a1－2＝a1，得a1＝2，所以數(shù)列{an}是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列．
故an＝22n－1＝2n.
因為點P(bn，bn＋1)在直線x－y＋2＝0上，所以bn－bn＋1＋2＝0，即bn＋1－bn＝2.又b1＝1，所以數(shù)列{bn}是以1為首項，2為公差的等差數(shù)列．故bn＝1＋2(n－1)＝2n－1.
(2)證明 易知Sn＝2an－2＝2n＋1－2，Tn＝n2，所以2Sn>Tn＋3n，即2n＋2>n2＋3n＋4(n≥2，n∈N*)．
方法一 用數(shù)學歸納法證明如下．
①當n＝2時，因為2n＋2＝16，n2＋3n＋4＝14，所以不等式成立；
②假設當n＝k(k≥2)時，不等式成立，即2k＋2>k2＋3k＋4成立，
那么當n＝k＋1時，由k≥2得k2＋k>0，
所以2k＋3＝22k＋2>2(k2＋3k＋4)＝2k2＋6k＋8＝(k2＋k)＋(k2＋5k＋8)>k2＋5k＋8＝(k＋1)2＋3(k＋1)＋4，所以2(k＋1)＋2>(k＋1)2＋3(k＋1)＋4，
所以當n＝k＋1時，不等式成立．
綜合①②可知，對任意的n≥2，n∈N*，不等式2Sn>Tn＋3n成立．
故得證．
方法二 用二項式定理證明如下：
因為n≥2，n∈N*，所以2n＋2＝222n＝4(1＋1)n
＝4(C＋C＋C＋…)≥4(C＋C＋C)
＝4＝2n2＋2n＋4
＝n2＋3n＋4＋(n2－n)>n2＋3n＋4，
所以2n＋2>n2＋3n＋4，故得證．
題型三 歸納—猜想—證明
例2(2018浙江名校協(xié)作體考試)已知函數(shù)f(x)＝.
(1)求方程f(x)－x＝0的實數(shù)解；
(2)如果數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1＝f(an)(n∈N*)，是否存在實數(shù)c，使得a2nf(a2k)>f>f(a2k－1)≥f(1)，
從而>a2k＋1>>a2k≥，
因此f1時，對x∈(0，a－1]，有φ′(x)≤0，
∴φ(x)在(0，a－1]上單調遞減，
∴φ(a－1)<φ(0)＝0.
即當a>1時，存在x>0，使φ(x)<0，
∴l(xiāng)n(1＋x)≥不恒成立．
綜上可知，a的取值范圍是(－∞，1]．
(3)由題設知g(1)＋g(2)＋…＋g(n)＝＋＋…＋，n－f(n)＝n－ln(n＋1)，
比較結果為g(1)＋g(2)＋…＋g(n)>n－ln(n＋1)．
證明如下：
方法一 上述不等式等價于＋＋…＋，x>0.
令x＝，n∈N*，則，x>0.
令x＝，n∈N*，則ln>.
故有l(wèi)n2－ln1>，
ln3－ln2>，
……
ln(n＋1)－lnn>，
上述各式相加可得ln(n＋1)>＋＋…＋.
結論得證．
1．若f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N*)，則f(1)的值為( )
A．1 B.
C．1＋＋＋＋ D．非以上答案
答案 C
解析 等式右邊的分母是從1開始的連續(xù)的自然數(shù)，且最大分母為6n－1，則當n＝1時，最大分母為5，故選C.
2．已知f(n)＝12＋22＋32＋…＋(2n)2，則f(k＋1)與f(k)的關系是( )
A．f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2
B．f(k＋1)＝f(k)＋(k＋1)2
C．f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋2)2
D．f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋1)2
答案 A
解析 f(k＋1)＝12＋22＋32＋…＋(2k)2＋(2k＋1)2＋[2(k＋1)]2＝f(k)＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2.
3．利用數(shù)學歸納法證明不等式1＋＋＋…＋－，假設n＝k時，不等式成立，則當n＝k＋1時，應推證的目標不等式是________________________________．
答案?。?－
解析 觀察不等式中分母的變化便知．
7．已知f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N*)，經(jīng)計算得f(4)>2，f(8)>，f(16)>3，f(32)>，則其一般結論為__________________________________________．
答案 f(2n)>(n≥2，n∈N*)
解析 觀察規(guī)律可知f(22)>，f(23)>，f(24)>，f(25)>，…，故得一般結論為f(2n)>(n≥2，n∈N*)．
8．用數(shù)學歸納法證明不等式＋＋…＋>的過程中，由n＝k推導n＝k＋1時，不等式的左邊增加的式子是________________．
答案
解析 不等式的左邊增加的式子是
＋－＝.
9．若數(shù)列{an}的通項公式an＝，記cn＝2(1－a1)(1－a2)…(1－an)，試通過計算c1，c2，c3的值，推測cn＝________.
答案
解析 c1＝2(1－a1)＝2＝，
c2＝2(1－a1)(1－a2)＝2＝，
c3＝2(1－a1)(1－a2)(1－a3)
＝2＝，
故由歸納推理得cn＝.
10．用數(shù)學歸納法證明(n＋1)(n＋2)(n＋3)…(n＋n)＝2n135…(2n－1)(n∈N*)時，從n＝k到n＝k＋1時左邊需增乘的代數(shù)式是________．
答案 4k＋2
解析 用數(shù)學歸納法證明(n＋1)(n＋2)(n＋3)…(n＋n)＝2n135…(2n－1)(n∈N*)時，
從n＝k到n＝k＋1時左邊需增乘的代數(shù)式是
＝2(2k＋1)．
11．已知正項數(shù)列{an}中，對于一切的n∈N*均有a≤an－an＋1成立．
(1)證明：數(shù)列{an}中的任意一項都小于1；
(2)探究an與的大小關系，并證明你的結論．
(1)證明 由a≤an－an＋1，得an＋1≤an－a.
∵在數(shù)列{an}中，an>0，
∴an＋1>0，∴an－a>0，
∴0(k＋1)＋2.
綜上，當且僅當a1≥3時，an≥n＋2對一切正整數(shù)n均成立．
(2)證明 由(1)知，當a1≥3時，an≥n＋2，
an＋1＝a－nan＋1＝an(an－n)＋1≥an(n＋2－n)＋1＝2an＋1(n∈N*)．
于是，an＋1＋1≥2(an＋1)≥22(an－1＋1)≥…≥2n(a1＋1)(n∈N*)，
從而，對任意的i∈N*，
≤，
所以＋＋…＋≤＋＋…＋
＝
＝
＝<.
欲使≤，只需a1≥3.
所以只要a1∈[3，＋∞)，
不等式＋＋…＋<對任意的正整數(shù)n均成立，
即滿足要求的a1的取值有無數(shù)多個．
13．設f(x)是定義在正整數(shù)集上的函數(shù)，且f(x)滿足：“當f(k)≥k2成立時，總可推出f(k＋1)≥(k＋1)2成立”．那么，下列命題總成立的是( )
A．若f(1)<1成立，則f(10)<100成立
B．若f(2)<4成立，則f(1)≥1成立
C．若f(3)≥9成立，則當k≥1時，均有f(k)≥k2成立
D．若f(4)≥16成立，則當k≥4時，均有f(k)≥k2成立
答案 D
解析 ∵當f(k)≥k2成立時，f(k＋1)≥(k＋1)2成立，
∴當f(4)≥16時，有f(5)≥52，f(6)≥62，…，f(k)≥k2成立．
14．n個半圓的圓心在同一條直線l上，這n個半圓每兩個都相交，且都在直線l的同側，問這些半圓被所有的交點最多分成多少段圓??？
解 設這些半圓最多互相分成f(n)段圓弧，采用由特殊到一般的方法，進行猜想和論證．
當n＝2時，由圖(1)知兩個半圓交于一點，則分成4段圓弧，故f(2)＝4＝22；
當n＝3時，由圖(2)知三個半圓交于三點，則分成9段圓弧，故f(3)＝9＝32；
當n＝4時，由圖(3)知四個半圓交于六點，則分成16段圓弧，故f(4)＝16＝42；
由此猜想，滿足條件的n個半圓互相分成圓弧段有f(n)＝n2.
用數(shù)學歸納法證明如下：
①當n＝2時，上面已證；
②假設當n＝k時，f(k)＝k2，那么當n＝k＋1時，第k＋1個半圓與原k個半圓均相交，為獲得最多圓弧，任意三個半圓不能交于一點，所以第k＋1個半圓把原k個半圓中的每一個半圓中的一段弧分成兩段弧，這樣就多出k條圓弧；另外原k個半圓把第k＋1個半圓分成k＋1段，這樣又多出了k＋1段圓?。?
所以f(k＋1)＝k2＋k＋(k＋1)＝k2＋2k＋1＝(k＋1)2，
即滿足條件的k＋1個半圓被所有的交點最多分成(k＋1)2段圓?。?
由①②可知，滿足條件的n個半圓被所有的交點最多分成n2段圓?。?
15．(2018紹興模擬)已知函數(shù)f(x)＝ax－x2的最大值不大于，又當x∈時，f(x)≥.
(1)求a的值；
(2)設0
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第七章
數(shù)列與數(shù)學歸納法
7.5
數(shù)學歸納法講義含解析
浙江
專用
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高考
數(shù)學
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第七
數(shù)列
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