高三數(shù)學(xué)北師大版文一輪教師用書：第3章 經(jīng)典微課堂 突破疑難系列1：函數(shù)與導(dǎo)數(shù) Word版含解析

《高三數(shù)學(xué)北師大版文一輪教師用書：第3章 經(jīng)典微課堂 突破疑難系列1：函數(shù)與導(dǎo)數(shù) Word版含解析》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高三數(shù)學(xué)北師大版文一輪教師用書：第3章 經(jīng)典微課堂 突破疑難系列1：函數(shù)與導(dǎo)數(shù) Word版含解析（12頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、 突破疑難點(diǎn)1　構(gòu)造函數(shù)證明不等式 (對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第54頁) 構(gòu)造法證明不等式是指在證明與函數(shù)有關(guān)的不等式時(shí)，根據(jù)所要證明的不等式，構(gòu)造與之相關(guān)的函數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性、極值、最值加以證明．常見的構(gòu)造方法有：(1)直接構(gòu)造法：證明不等式f(x)＞g(x)(f(x)＜g(x))轉(zhuǎn)化為證明f(x)－g(x)＞0(f(x)－g(x)＜0)，進(jìn)而構(gòu)造輔助函數(shù)h(x)＝f(x)－g(x)；(2)適當(dāng)放縮構(gòu)造法：一是根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮，二是利用常見的放縮結(jié)論，如ln x≤x－1，ex≥x＋1，ln x＜x＜ex(x＞0)，≤ln(x＋1)≤x(x＞－1)；(3)構(gòu)造“形似”函數(shù)：稍作變形再構(gòu)

2、造，對(duì)原不等式同解變形，如移項(xiàng)、通分、取對(duì)數(shù)，把不等式轉(zhuǎn)化為左、右兩邊是相同結(jié)構(gòu)的式子的形式，根據(jù)“相同結(jié)構(gòu)”構(gòu)造輔助函數(shù)；(4)構(gòu)造雙函數(shù)：若直接構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)難以判斷符號(hào)，導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)也不易求得，因此函數(shù)單調(diào)性與極值點(diǎn)都不易獲得，則可構(gòu)造函數(shù)f(x)和g(x)，利用其最值求解． 方法 高考示例 思維過程 直接構(gòu)造法 (2018·全國卷Ⅰ)已知函數(shù)f(x)＝－x＋aln x. (1)討論f(x)的單調(diào)性； (2)若f(x)存在兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2，證明：＜a－2. …… (2)證明：由(1)知，f(x)存在兩個(gè)極值點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)a＞2.由于f(x)的兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2滿足x2－a

3、x＋1＝0(函數(shù)在極值點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)為0)，所以x1x2＝1. 不妨設(shè)x1＜x2，則x2＞1(注意原函數(shù)的定義域). 由于＝－－1＋a＝－2＋a＝－2＋a，所以＜a－2等價(jià)于－x2＋2ln x2＜0.【關(guān)鍵1：將所證不等式進(jìn)行變形與化簡】 設(shè)函數(shù)g(x)＝－x＋2ln x，由(1)知，g(x)在(0，＋∞)單調(diào)遞減，【關(guān)鍵2：直接構(gòu)造函數(shù)，判斷函數(shù)單調(diào)性】 又g(1)＝0，從而當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，g(x)＜0，所以－x2＋2ln x2＜0，即＜a－2.【關(guān)鍵3：結(jié)合單調(diào)性得到函數(shù)最值，證明不等式】 適當(dāng)放縮構(gòu)造法 (2018·全國卷Ⅰ)已知函數(shù)f(x)＝aex－ln x－1. (1

4、)設(shè)x＝2是f(x)的極值點(diǎn)，求a，并求f(x)的單調(diào)區(qū)間； (2)證明：當(dāng)a≥時(shí)，f(x)≥0. …… (2)證明：當(dāng)a≥時(shí)，f(x)≥－ln x－1.【關(guān)鍵1：利用不等式性質(zhì)放縮，將a代換掉】 設(shè)g(x)＝－ln x－1，【關(guān)鍵2：利用不等式右邊構(gòu)造函數(shù)】 則g′(x)＝－.當(dāng)0＜x＜1時(shí)，g′(x)＜0；當(dāng)x＞1時(shí)，g′(x)＞0.所以x＝1是g(x)的最小值點(diǎn)．【關(guān)鍵3：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值】 故當(dāng)x＞0時(shí)，g(x)≥g(1)＝0.【關(guān)鍵4：利用函數(shù)最值使放縮后的不等式得到證明】 因此，當(dāng)a≥時(shí)，f(x)≥0. 構(gòu)造雙函數(shù)法 (2014·全國卷Ⅰ)設(shè)函數(shù)f(

5、x)＝aexln x＋，曲線y＝f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線方程為y＝e(x－1)＋2. (1)求a，b； (2)證明：f(x)＞1. …… (2)證明：由(1)知，f(x)＝exln x＋ex－1，從而f(x)＞1等價(jià)于xln x＞xe－x－.【關(guān)鍵1：將所證不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化，為構(gòu)造雙函數(shù)創(chuàng)造條件】 設(shè)函數(shù)g(x)＝xln x，則g′(x)＝1＋ln x，所以當(dāng)x∈0，時(shí)，g′(x)＜0；當(dāng)x∈，＋∞時(shí)，g′(x)＞0.故g(x)在0，上單調(diào)遞減，在，＋∞上單調(diào)遞增，從而g(x)在(0，＋∞)上的最小值為g＝－.【關(guān)鍵2：構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求最小值】 設(shè)函

6、數(shù)h(x)＝xe－x－，則h′(x)＝e－x(1－x)．所以當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，h′(x)＞0；當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，h′(x)＜0.故h(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1，＋∞)上單調(diào)遞減，從而h(x)在(0，＋∞)上的最大值為h(1)＝－.【關(guān)鍵3：構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求最大值】 因?yàn)間(x)min＝g＝h(1)＝h(x)max，所以當(dāng)x＞0時(shí)，g(x)＞h(x)，即f(x)＞1.【關(guān)鍵4：利用函數(shù)最值證明不等式】 突破疑難點(diǎn)2　利用分類討論法確定參數(shù)取值范圍 (對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第55頁) 一般地，若a＞f(x)對(duì)x∈D恒成立，則只需a＞f(x)max；若a＜f(x)

7、對(duì)x∈D恒成立，則只需a＜f(x)min.若存在x0∈D，使a＞f(x0)成立，則只需a＞f(x)min；若存在x0∈D，使a＜f(x0)成立，則只需a＜f(x0)max.由此構(gòu)造不等式，求解參數(shù)的取值范圍．常見有兩種情況，一種先利用綜合法，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)之間大小關(guān)系的決定條件，確定分類討論的標(biāo)準(zhǔn)，分類后，判斷不同區(qū)間函數(shù)的單調(diào)性，得到最值，構(gòu)造不等式求解；另外一種，直接通過導(dǎo)函數(shù)的式子，看出導(dǎo)函數(shù)值正負(fù)的分類標(biāo)準(zhǔn)，通常導(dǎo)函數(shù)為二次函數(shù)或者一次函數(shù)． 方法 高考示例 思維過程 結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)分類討論 (2017·全國卷Ⅲ)已知函數(shù)f(x)＝x－1－aln x. (1)若f(x)≥

8、0，求a的值； (2)設(shè)m為整數(shù)，且對(duì)于任意正整數(shù)n，…＜m，求m的最小值. (1)f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)(求函數(shù)定義域). ①若a≤0，因?yàn)閒＝－＋aln 2＜0，所以不滿足題意．【關(guān)鍵1：利用原函數(shù)解析式的特點(diǎn)確定分類標(biāo)準(zhǔn)】 ②若a＞0，由f′(x)＝1－＝知，當(dāng)x∈(0，a)時(shí)，f′(x)＜0；當(dāng)x∈(a，＋∞)時(shí)，f′(x)＞0.所以f(x)在(0，a)上單調(diào)遞減，在(a，＋∞)上單調(diào)遞增．【關(guān)鍵2：根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)分類討論】 故x＝a是f(x)在(0，＋∞)上的唯一最小值點(diǎn). 由于f(1)＝0，所以當(dāng)且僅當(dāng)a＝1時(shí)，f(x)≥0，故a＝1. (2015·全國卷Ⅱ

9、)設(shè)函數(shù)f(x)＝emx＋x2－mx. (1)證明：f(x)在(－∞，0)上單調(diào)遞減，在(0，＋∞)上單調(diào)遞增； (2)若對(duì)于任意x1，x2∈[－1,1]，都有|f(x1)－f(x2)|≤e－1，求m的取值范圍. …… (2)由(1)知，對(duì)任意的m，f(x)在[－1,0]上單調(diào)遞減，在[0,1]上單調(diào)遞增，故f(x)在x＝0處取得最小值．所以對(duì)于任意x1，x2∈[－1,1]，|f(x1)－f(x2)|≤e－1的充要條件是即①【關(guān)鍵1：利用充要條件把不等式恒成立等價(jià)轉(zhuǎn)化】 設(shè)函數(shù)g(t)＝et－t－e＋1，則g′(t)＝et－1.【關(guān)鍵2：直接構(gòu)造函數(shù)，并求導(dǎo)】 當(dāng)t＜0時(shí)，g′(t

10、)＜0；當(dāng)t＞0時(shí)，g′(t)＞0.故g(t)在(－∞，0)上單調(diào)遞減，在(0，＋∞)上單調(diào)遞增．又g(1)＝0，g(－1)＝e－1＋2－e＜0，故當(dāng)t∈[－1,1]時(shí)，g(t)≤0.【關(guān)鍵3：根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)分類討論】 故當(dāng)m∈[－1,1]時(shí)，g(m)≤0，g(－m)≤0，即①式成立； 當(dāng)m＞1時(shí)，由g(t)的單調(diào)性，知g(m)＞0，即em－m＞e－1； 當(dāng)m＜－1時(shí)，g(－m)＞0，即e－m＋m＞e－1.【關(guān)鍵4：通過分類討論得到參數(shù)的取值范圍】 綜上，m的取值范圍是[－1,1]. 由導(dǎo)函數(shù)的特點(diǎn)直接分類討論 (2014·全國卷)函數(shù)f(x)＝ax3＋3x2＋3x(a≠0).

11、 (1)討論f(x)的單調(diào)性； (2)若f(x)在區(qū)間(1,2)是增函數(shù)，求a的取值范圍. …… (2)當(dāng)a＞0，x＞0時(shí)，f′(x)＝3ax2＋6x＋3＞0.【關(guān)鍵1：函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的特點(diǎn)確定分類標(biāo)準(zhǔn)】 故當(dāng)a＞0時(shí)，f(x)在區(qū)間(1,2)是增函數(shù). 當(dāng)a＜0時(shí)，f(x)在區(qū)間(1,2)是增函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)f′(1)≥0且f′(2)≥0，解得－≤a＜0.【關(guān)鍵2：利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合需滿足的條件，求解關(guān)于參數(shù)的不等式，得到參數(shù)的取值范圍】 綜上，a的取值范圍是∪(0，＋∞). 突破疑難點(diǎn)3　兩法破解函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題 (對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第56頁) 兩類零點(diǎn)問題的不同

12、處理方法：利用零點(diǎn)存在性定理的條件為函數(shù)圖像在區(qū)間[a，b]上是連續(xù)不斷的曲線，且f(a)·f(b)＜0.①直接法：判斷一個(gè)零點(diǎn)時(shí)，若函數(shù)為單調(diào)函數(shù)，則只需取值證明f(a)·f(b)＜0；②分類討論法：判斷幾個(gè)零點(diǎn)時(shí)，需要先結(jié)合單調(diào)性，確定分類討論的標(biāo)準(zhǔn)，再利用零點(diǎn)存在性定理，在每個(gè)單調(diào)區(qū)間內(nèi)取值證明f(a)·f(b)＜0. 方法 高考示例 思維過程 直接法 (2017·全國卷Ⅱ)已知函數(shù)f(x)＝ax2－ax－xln x，且f(x)≥0. (1)求a； (2)證明：f(x)存在唯一的極大值點(diǎn)x0，且e－2＜f(x0)＜2－2. …… (2)證明：由(1)知f(x)＝x2－x

13、－xln x，f′(x)＝2x－2－ln x. 設(shè)h(x)＝2x－2－ln x， 則h′(x)＝2－.當(dāng)x∈時(shí)，h′(x)＜0；當(dāng)x∈時(shí)，h′(x)＞0.所以h(x)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．【關(guān)鍵1：構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性】 又h(e－2)＞0，h＜0，h(1)＝0，所以h(x)在上有唯一零點(diǎn)x0，在上有唯一零點(diǎn)1，【關(guān)鍵2：利用零點(diǎn)存在性定理判斷導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)的位置】 且當(dāng)x∈(0，x0)時(shí)，h(x)＞0；當(dāng)x∈(x0,1)時(shí)，h(x)＜0；當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，h(x)＞0. 因?yàn)閒′(x)＝h(x)，所以x＝x0是f(x)的唯一極大值點(diǎn)．由f′(x0)＝0得ln x

14、0＝2(x0－1)， 故f(x0)＝x0(1－x0)．由x0∈得f(x0)＜.【關(guān)鍵3：求二次函數(shù)值域得到f(x0)的范圍】 因?yàn)閤＝x0是f(x)在(0,1)上的最大值點(diǎn)，由e－1∈(0,1)，f′(e－1)≠0得f(x0)＞f(e－1)＝e－2，所以e－2＜f(x0)＜2－2.【關(guān)鍵4：利用函數(shù)最值證明不等式】 分類討論法 (2015·全國卷Ⅰ)已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax＋，g(x)＝－ln x. (1)當(dāng)a為何值時(shí)，x軸為曲線y＝f(x)的切線； (2)用min{m，n}表示m，n中的最小值，設(shè)函數(shù)h(x)＝min{f(x)，g(x)}(x＞0)，討論h(x)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).

15、 …… (2)當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，g(x)＝－ln x＜0，從而h(x)＝min{f(x)，g(x)}≤g(x)＜0，故h(x)在(1，＋∞)上無零點(diǎn)．【關(guān)鍵1：對(duì)x的取值分類討論，適當(dāng)放縮，判斷h(x)的符號(hào)，確定函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)】 當(dāng)x＝1時(shí)，若a≥－，則f(1)＝a＋≥0，h(1)＝min{f(1)，g(1)}＝g(1)＝0，故x＝1是h(x)的零點(diǎn)；若a＜－，則f(1)＜0，h(1)＝min{f(1)，g(1)}＝f(1)＜0，故x＝1不是h(x)的零點(diǎn)．【關(guān)鍵2：當(dāng)x的取值固定時(shí)，對(duì)參數(shù)a的取值分類討論，確定函數(shù)值的符號(hào)得到零點(diǎn)個(gè)數(shù)】 當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，g(x)＝－ln x＞0

16、，所以只需考慮f(x)在(0,1)上的零點(diǎn)個(gè)數(shù). (ⅰ)若a≤－3或a≥0，則f′(x)＝3x2＋a在(0,1)上無零點(diǎn)，故f(x)在(0,1)上單調(diào)．而f(0)＝，f(1)＝a＋，所以當(dāng)a≤－3時(shí)，f(x)在(0,1)上有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)a≥0時(shí)， f(x)在(0,1)上沒有零點(diǎn). (ⅱ)若－3＜a＜0，則f(x)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故在(0,1)上，當(dāng)x＝時(shí)，f(x)取得最小值，最小值為f＝＋. ①若f＞0，即－＜a＜0，則f(x)在(0,1)上無零點(diǎn)； ②若f＝0，即a＝－，則f(x)在(0,1)上有唯一零點(diǎn)； ③若f＜0，即－3＜a＜－，由于f(0)＝，f(1)＝a＋，所

17、以當(dāng)－＜a＜－時(shí)，f(x)在(0,1)上有兩個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)－3＜a≤－時(shí)，f(x)在(0,1)上有一個(gè)零點(diǎn)．【關(guān)鍵3：當(dāng)x的取值固定在一個(gè)范圍內(nèi)時(shí)，對(duì)參數(shù)a的取值分類討論，利用函數(shù)單調(diào)性、最值、零點(diǎn)存在性定理得到零點(diǎn)個(gè)數(shù)】 綜上，當(dāng)a＞－或a＜－時(shí)，h(x)有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)a＝－或a＝－時(shí)，h(x)有兩個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)－＜a＜－時(shí)，h(x)有三個(gè)零點(diǎn). 突破疑難點(diǎn)4　兩法破解由零點(diǎn)個(gè)數(shù)確定參數(shù)問題 (對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第57頁) 已知函數(shù)有零點(diǎn)求參數(shù)范圍常用的方法：(1)分離參數(shù)法：一般命題情境為給出區(qū)間，求滿足函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的參數(shù)范圍，通常解法為從f(x)中分離出參數(shù)，然后利用求導(dǎo)的方法求出由參數(shù)構(gòu)造的

18、新函數(shù)的最值，根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；(2)分類討論法：一般命題情境為沒有固定區(qū)間，求滿足函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的參數(shù)范圍，通常解法為結(jié)合單調(diào)性，先確定參數(shù)分類的標(biāo)準(zhǔn)，在每個(gè)小范圍內(nèi)研究零點(diǎn)的個(gè)數(shù)是否符合題意，將滿足題意的參數(shù)的各小范圍并在一起，即為所求參數(shù)范圍． 方法 高考示例 思維過程 由導(dǎo)數(shù)特點(diǎn)分類討論 (2018·全國卷Ⅱ)已知函數(shù)f(x)＝ex－ax2. (1)若a＝1，證明：當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)≥1； (2)若f(x)在(0，＋∞)只有一個(gè)零點(diǎn)，求a. …… (2)設(shè)函數(shù)h(x)＝1－ax2e－x.f(x)在(0，＋∞)只有一個(gè)零點(diǎn)當(dāng)且

19、僅當(dāng)h(x)在(0，＋∞)只有一個(gè)零點(diǎn)．【關(guān)鍵1：構(gòu)造函數(shù)h(x)，將f(x)的零點(diǎn)情況轉(zhuǎn)化為h(x)的零點(diǎn)情況】 (ⅰ)當(dāng)a≤0時(shí)，h(x)＞0，h(x)沒有零點(diǎn). (ⅱ)當(dāng)a＞0時(shí)，h′(x)＝ax(x－2)e－x.【關(guān)鍵2：對(duì)參數(shù)a分類討論，結(jié)合函數(shù)值判斷函數(shù)零點(diǎn)情況】當(dāng)x∈(0,2)時(shí)，h′(x)＜0；當(dāng)x∈(2，＋∞)時(shí)，h′(x)＞0.所以h(x)在(0,2)上單調(diào)遞減，在(2，＋∞)上單調(diào)遞增．故h(2)＝1－是h(x)在(0，＋∞)的最小值．【關(guān)鍵3：分類討論，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，求函數(shù)最值】 ①若h(2)＞0，即a＜，h(x)在(0，＋∞)沒有零點(diǎn)； ②若h(2)

20、＝0，即a＝，h(x)在(0，＋∞)只有一個(gè)零點(diǎn)； ③若h(2)＜0，即a＞，由于h(0)＝1，所以h(x)在(0,2)有一個(gè)零點(diǎn). 由(1)知，當(dāng)x＞0時(shí)，ex＞x2，所以h(4a)＝1－＝1－＞1－＝1－＞0. 故h(x)在(2,4a)有一個(gè)零點(diǎn)．因此h(x)在(0，＋∞)有兩個(gè)零點(diǎn)．【關(guān)鍵4：對(duì)函數(shù)最小值的符號(hào)分類討論，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性判斷零點(diǎn)情況，求出參數(shù)值】 綜上，f(x)在(0，＋∞)只有一個(gè)零點(diǎn)時(shí)，a＝. 直接分類討論 (2017·全國卷Ⅰ)已知函數(shù)f(x)＝ae2x＋(a－2)ex－x. (1)討論f(x)的單調(diào)性； (2)若f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍.

21、 …… (2)(ⅰ)若a≤0，由(1)知，f(x)至多有一個(gè)零點(diǎn)．【關(guān)鍵1：針對(duì)f(x)解析式的特點(diǎn)，可對(duì)參數(shù)a直接分類討論】 (ⅱ)若a＞0，由(1)知，當(dāng)x＝－ln a時(shí)，f(x)取得最小值，最小值為f(－ln a)＝1－＋ln a．【關(guān)鍵2：結(jié)合函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)最小值，進(jìn)而根據(jù)最小值直接判斷零點(diǎn)的情況】 ①當(dāng)a＝1時(shí)，由于f(－ln a)＝0，故f(x)只有一個(gè)零點(diǎn)； ②當(dāng)a∈(1，＋∞)時(shí)，由于1－＋ln a＞0，即f(－ln a)＞0，故f(x)沒有零點(diǎn)； ③當(dāng)a∈(0,1)時(shí)，1－＋ln a＜0，即f(－ln a)＜0. 又f(－2)＝ae－4＋(a－2)e－2＋2＞－2e－2＋2＞0，故f(x)在(－∞，－ln a)上有一個(gè)零點(diǎn). 設(shè)正整數(shù)n0滿足n0＞ln，則f(n0)＝en0(aen0＋a－2)－n0＞en0－n0＞2n0－n0＞0. 由于ln＞－ln a，因此f(x)在(－ln a，＋∞)上有一個(gè)零點(diǎn)．【關(guān)鍵3：對(duì)參數(shù)a分類討論，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性與最小值判斷函數(shù)零點(diǎn)情況，求參數(shù)取值范圍】 綜上，a的取值范圍為(0,1).