2018屆高三數(shù)學一輪復習： 第9章 第4節(jié) 變量間的相關(guān)關(guān)系與統(tǒng)計案例

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1、 第四節(jié)　變量間的相關(guān)關(guān)系與統(tǒng)計案例 [考綱傳真]　1.會做兩個有關(guān)聯(lián)變量的數(shù)據(jù)的散點圖，并利用散點圖認識變量間的相關(guān)關(guān)系.2.了解最小二乘法的思想，能根據(jù)給出的線性回歸方程系數(shù)公式建立線性回歸方程(線性回歸系數(shù)公式不要求記憶).3.了解回歸分析的基本思想、方法及其簡單應用.4.了解獨立性檢驗(只要求2×2列聯(lián)表)的思想、方法及其初步應用． 1．回歸分析 回歸分析是對具有相關(guān)關(guān)系的兩個變量進行統(tǒng)計分析的一種常用方法；判斷相關(guān)性的常用統(tǒng)計圖是散點圖；統(tǒng)計量有相關(guān)系數(shù)與相關(guān)指數(shù)． (1)在散點圖中，點散布在從左下角到右上角的區(qū)域，對于兩個變量的這種相關(guān)關(guān)系，我們將它稱為正相關(guān)．

2、 (2)在散點圖中，點散布在從左上角到右下角的區(qū)域，兩個變量的這種相關(guān)關(guān)系稱為負相關(guān)． (3)如果散點圖中點的分布從整體上看大致在一條直線附近，稱兩個變量具有線性相關(guān)關(guān)系． 2．線性回歸方程 (1)最小二乘法：使得樣本數(shù)據(jù)的點到回歸直線的距離的平方和最小的方法叫做最小二乘法． (2)回歸方程：兩個具有線性相關(guān)關(guān)系的變量的一組數(shù)據(jù)：(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其回歸方程為＝x＋，則＝＝，＝－.其中，是回歸方程的斜率，是在y軸上的截距． 3．殘差分析 (1)殘差：對于樣本點(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，它們的隨機誤差為ei＝y(tǒng)i－bxi－

3、a，i＝1,2，…，n，其估計值為i＝y(tǒng)i－i＝y(tǒng)i－xi－，i＝1,2，…，n，i稱為相應于點(xi，yi)的殘差． (2)相關(guān)指數(shù)：R2＝1－. 4．獨立性檢驗 (1)利用隨機變量K2來判斷“兩個分類變量有關(guān)系”的方法稱為獨立性檢驗． (2)列聯(lián)表：列出的兩個分類變量的頻數(shù)表，稱為列聯(lián)表．假設(shè)有兩個分類變量X和Y，它們的可能取值分別為{x1，x2}和{y1，y2}，其樣本頻數(shù)列聯(lián)表(2×2列聯(lián)表)為 y1 y2 總計 x1 a b a＋b x2 c d c＋d 總計 a＋c b＋d a＋b＋c＋d 則隨機變量K2＝(其中n＝a＋b＋c＋d為樣本容

4、量)． 1．(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)“名師出高徒”可以解釋為教師的教學水平與學生的水平成正相關(guān)關(guān)系．(　　) (2)某同學研究賣出的熱飲杯數(shù)y與氣溫x(℃)之間的關(guān)系，得回歸方程＝－2.352x＋147.767，則氣溫為2℃時，一定可賣出143杯熱飲．(　　) (3)因為由任何一組觀測值都可以求得一個線性回歸方程，所以沒有必要進行相關(guān)性檢驗．(　　) (4)若事件X，Y關(guān)系越密切，則由觀測數(shù)據(jù)計算得到的K2的觀測值越小．(　　) [答案]　(1)√　(2)×　(3)×　(4)× 2．(教材改編)已知變量x與y正相關(guān)，且由觀測數(shù)

5、據(jù)算得樣本平均數(shù)＝3，＝3.5，則由該觀測數(shù)據(jù)算得的線性回歸方程可能是(　　) A.＝0.4x＋2.3　　　 B.＝2x－2.4 C.＝－2x＋9.5 D.＝－0.3x＋4.4 A　[因為變量x和y正相關(guān)，排除選項C，D.又樣本中心(3,3.5)在回歸直線上，排除B，選項A滿足．] 3．(2015·全國卷Ⅱ)根據(jù)下面給出的2004年至2013年我國二氧化硫年排放量(單位：萬噸)柱形圖，以下結(jié)論中不正確的是(　　) 圖9-4-1 A．逐年比較，2008年減少二氧化硫排放量的效果最顯著 B．2007年我國治理二氧化硫排放顯現(xiàn)成效 C．2006年以來我國二氧化硫年排放量呈減少趨

6、勢 D．2006年以來我國二氧化硫年排放量與年份正相關(guān) D　[對于A選項，由圖知從2007年到2008年二氧化硫排放量下降得最多，故A正確．對于B選項，由圖知，由2006年到2007年矩形高度明顯下降，因此B正確．對于C選項，由圖知從2006年以后除2011年稍有上升外，其余年份都是逐年下降的，所以C正確．由圖知2006年以來我國二氧化硫年排放量與年份負相關(guān)，故選D.] 4．為了評價某個電視欄目的改革效果，在改革前后分別從居民點抽取了100位居民進行調(diào)查，經(jīng)過計算K2≈0.99，根據(jù)這一數(shù)據(jù)分析，下列說法正確的是 (　　) A．有99%的人認為該電視欄目優(yōu)秀 B．有99%的人認為

7、該電視欄目是否優(yōu)秀與改革有關(guān)系 C．有99%的把握認為該電視欄目是否優(yōu)秀與改革有關(guān)系 D．沒有理由認為該電視欄目是否優(yōu)秀與改革有關(guān)系 D　[只有K2≥6.635才能有99%的把握認為“該電視欄目是否優(yōu)秀與改革有關(guān)系”，而即使K2≥6.635也只是對“該電視欄目是否優(yōu)秀與改革有關(guān)系”這個論斷成立的可能性大小的結(jié)論，與是否有99%的人等無關(guān)，故只有D正確．] 5．(2017·貴陽檢測)若8名學生的身高和體重數(shù)據(jù)如下表： 編號 1 2 3 4 5 6 7 8 身高/cm 165 165 157 170 175 165 155 170 體重/kg 48

8、 57 54 64 61 43 59 第3名學生的體重漏填，但線性回歸方程是＝0.849x－85.712，則第3名學生的體重估計為________kg. 50　[設(shè)第3名學生的體重為a，則 (48＋57＋a＋54＋64＋61＋43＋59)＝0.849×(165＋165＋157＋170＋175＋165＋155＋170)－85.712. 解得a≈50.] 相關(guān)關(guān)系的判斷 　(1)(2015·湖北高考)已知變量x和y滿足關(guān)系y＝－0.1x＋1，變量y與z正相關(guān)．下列結(jié)論中正確的是(　　) A．x與y正相關(guān)，x與z負相關(guān) B．x與y正相關(guān)，x與z正相關(guān) C．x與

9、y負相關(guān)，x與z負相關(guān) D．x與y負相關(guān)，x與z正相關(guān) (2)x和y的散點圖如圖9-4-2所示，則下列說法中所有正確命題的序號為________． 圖9-4-2 ①x，y是負相關(guān)關(guān)系； ②在該相關(guān)關(guān)系中，若用y＝c1ec2x擬合時的相關(guān)指數(shù)為R，用＝x＋擬合時的相關(guān)指數(shù)為R，則R＞R； ③x，y之間不能建立線性回歸方程． (1)C　(2)①②　[(1)因為y＝－0.1x＋1的斜率小于0，故x與y負相關(guān)．因為y與z正相關(guān)，可設(shè)z＝y(tǒng)＋，>0，則z＝y(tǒng)＋＝－0.1x＋＋，故x與z負相關(guān)． (2)在散點圖中，點散布在從左上角到右下角的區(qū)域，因此x，y是負相關(guān)關(guān)系，故①正確；由散點

10、圖知用y＝c1ec2x擬合比用＝x＋擬合效果要好，則R＞R，故②正確；x，y之間可以建立線性回歸方程，但擬合效果不好，故③錯誤．] [規(guī)律方法]　1.利用散點圖判斷兩個變量是否有相關(guān)關(guān)系是比較直觀簡便的方法．如果所有的樣本點都落在某一函數(shù)的曲線附近，變量之間就有相關(guān)關(guān)系．如果所有的樣本點都落在某一直線附近，變量之間就有線性相關(guān)關(guān)系．若點散布在從左下角到右上角的區(qū)域，則正相關(guān)，若點散布在左上角到右下角的區(qū)域，則負相關(guān)． 2．利用相關(guān)系數(shù)判定，當|r|越趨近于1，相關(guān)性越強． 當殘差平方和越小，相關(guān)指數(shù)R2越大，相關(guān)性越強． [變式訓練1]　甲、乙、丙、丁四位同學各自對A，B兩變量的線性相

11、關(guān)性做試驗，并用回歸分析方法分別求得相關(guān)系數(shù)r與殘差平方和m如下表： 甲 乙 丙 丁 r 0.82 0.78 0.69 0.85 m 106 115 124 103 則哪位同學的試驗結(jié)果體現(xiàn)A，B兩變量有更強的線性相關(guān)性(　　) A．甲　　　 B.乙　　 C.丙　　　 D.丁 D　[在驗證兩個變量之間的線性相關(guān)關(guān)系時，相關(guān)系數(shù)的絕對值越接近于1，相關(guān)性越強，在四個選項中只有丁的相關(guān)系數(shù)最大；殘差平方和越小，相關(guān)性越強，只有丁的殘差平方和最小，綜上可知丁的試驗結(jié)果體現(xiàn)了A，B兩變量有更強的線性相關(guān)性．] 線性回歸方程及應用 　(2016·全國卷

12、Ⅲ)如圖9-4-3是我國2008年至2014年生活垃圾無害化處理量(單位：億噸)的折線圖． 圖9-4-3 注：年份代碼1～7分別對應年份2008～2014. (1)由折線圖看出，可用線性回歸模型擬合y與t的關(guān)系，請用相關(guān)系數(shù)加以說明； (2)建立y關(guān)于t的回歸方程(系數(shù)精確到0.01)，預測2016年我國生活垃圾無害化處理量． 參考數(shù)據(jù)：yi＝9.32，tiyi＝40.17，＝0.55，≈2.646. 參考公式：相關(guān)系數(shù)r＝，回歸方程＝＋t中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為＝，＝－. [解]　(1)由折線圖中的數(shù)據(jù)和附注中的參考數(shù)據(jù)得 ＝4， (ti－)2＝28，＝0.5

13、5，2分 (ti－)(yi－)＝tiyi－yi＝40.17－4×9.32＝2.89， 所以r≈≈0.99. 因為y與t的相關(guān)系數(shù)近似為0.99，說明y與t的線性相關(guān)程度相當大，從而可以用線性回歸模型擬合y與t的關(guān)系.5分 (2)由＝≈1.331及(1)得 ＝＝≈0.103.8分 ＝－≈1.331－0.103×4≈0.92. 所以y關(guān)于t的回歸方程為＝0.92＋0.10t.10分 將2016年對應的t＝9代入回歸方程得＝0.92＋0.10×9＝1.82. 所以預測2016年我國生活垃圾無害化處理量約為1.82億噸.12分 [規(guī)律方法]　1.在分析實際中兩個變量的相關(guān)

14、關(guān)系時，可根據(jù)樣本數(shù)據(jù)作出散點圖來確定兩個變量之間是否具有相關(guān)關(guān)系，也可計算相關(guān)系數(shù)r進行判斷．若具有線性相關(guān)關(guān)系，則可通過線性回歸方程估計和預測變量的值． 2．(1)正確運用計算，的公式和準確的計算，是求線性回歸方程的關(guān)鍵．(2)回歸直線＝x＋必過樣本點的中心(，)． [變式訓練2]　(2014·全國卷Ⅱ)某地區(qū)2007年至2013年農(nóng)村居民家庭人均純收入y(單位：千元)的數(shù)據(jù)如下表： 年　份 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 年份代號t 1 2 3 4 5 6 7 人均純收入y 2.9 3.3 3.6 4.4

15、 4.8 5.2 5.9 (1)求y關(guān)于t的線性回歸方程； (2)利用(1)中的回歸方程，分析2007年至2013年該地區(qū)農(nóng)村居民家庭人均純收入的變化情況，并預測該地區(qū)2015年農(nóng)村居民家庭人均純收入． 附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為： ＝，＝－. [解]　(1)由所給數(shù)據(jù)計算得＝(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7)＝4， ＝(2.9＋3.3＋3.6＋4.4＋4.8＋5.2＋5.9)＝4.3， (ti－)2＝9＋4＋1＋0＋1＋4＋9＝28，3分 (ti－)(yi－)＝(－3)×(－1.4)＋(－2)×(－1)＋(－1)×(－0.7)＋0×0.1＋1×0.

16、5＋2×0.9＋3×1.6＝14， ＝＝＝0,5， ＝－＝4.3－0.5×4＝2.3， 所求回歸方程為＝0.5t＋2.3.6分 (2)由(1)知，＝0.5>0，故2007年至2013年該地區(qū)農(nóng)村居民家庭人均純收入逐年增加，平均每年增加0.5千元.9分 將2015年的年份代號t＝9代入(1)中的回歸方程，得 ＝0.5×9＋2.3＝6.8， 故預測該地區(qū)2015年農(nóng)村居民家庭人均純收入為6.8千元.12分 獨立性檢驗 　(2017·鄭州調(diào)研)某高校共有學生15 000人，其中男生10 500人，女生4 500人．為調(diào)查該校學生每周平均體育運動時間的情況，采用分層抽樣的方法，收

17、集300位學生每周平均體育運動時間的樣本數(shù)據(jù)(單位：小時)． (1)應收集多少位女生的樣本數(shù)據(jù)？ (2)根據(jù)這300個樣本數(shù)據(jù)，得到學生每周平均體育運動時間的頻率分布直方圖(如圖9-4-4所示)，其中樣本數(shù)據(jù)的分組區(qū)間為：[0,2]，(2,4]，(4,6]，(6,8]，(8,10]，(10,12]．估計該校學生每周平均體育運動時間超過4小時的概率； 【導學號：01772369】 圖9-4-4 (3)在樣本數(shù)據(jù)中，有60位女生的每周平均體育運動時間超過4小時，請完成每周平均體育運動時間與性別列聯(lián)表，并判斷是否有95%的把握認為“該校學生的每周平均體育運動時間與性別有關(guān)”. P(

18、K2≥k0) 0.10 0.05 0.010 0.005 k0 2.706 3.841 6.635 7.879 附：K2＝. [解]　(1)利用分層抽樣，300×＝90，所以應收集90位女生的樣本數(shù)據(jù).4分 (2)由頻率分布直方圖得1－2×(0.025＋0.100)＝0.75.所以該校學生每周平均體育運動時間超過4小時的概率的估計值為0.75.8分 (3)由(2)知，300位學生中有300×0.75＝225人的每周平均體育運動時間超過4小時，75人的每周平均體育運動時間不超過4小時.10分 又因為樣本數(shù)據(jù)中有210份是關(guān)于男生的，90份是關(guān)于女生的，所以每周平均體育

19、運動時間與性別列聯(lián)表如下： 每周平均體育運動時間與性別列聯(lián)表 男生 女生 總計 每周平均體育運動時間不超過4小時 45 30 75 每周平均體育運動時間超過4小時 165 60 225 總計 210 90 300 將2×2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)代入公式計算，得K2觀測值 k＝＝≈4.762＞3.841. 所以，有95%的把握認為“該校學生的每周平均體育運動時間與性別有關(guān)”.12分 [規(guī)律方法]　1.在2×2列聯(lián)表中，如果兩個變量沒有關(guān)系，則應滿足ad－bc≈0.|ad－bc|越小，說明兩個變量之間關(guān)系越弱；|ad－bc|越大，說明兩個變量之間關(guān)系越強． 2

20、．解決獨立性檢驗的應用問題，一定要按照獨立性檢驗的步驟得出結(jié)論．獨立性檢驗的一般步驟： (1)根據(jù)樣本數(shù)據(jù)制成2×2列聯(lián)表； (2)根據(jù)公式K2＝計算K2的觀測值k； (3)比較k與臨界值的大小關(guān)系，作統(tǒng)計推斷． [變式訓練3]　(2017·濟南聯(lián)考)某市地鐵即將于2017年6月開始運營，為此召開了一個價格聽證會，擬定價格后又進行了一次調(diào)查，隨機抽查了50人，他們的收入與態(tài)度如下； 月收入(單位：百元) [15,25) [25,35) [35,45) [45,55) [55,65) [65,75] 贊成定價者人數(shù) 1 2 3 5 3 4 認為價格偏高者人數(shù)

21、 4 8 12 5 2 1 (1)若以區(qū)間的中點值為該區(qū)間內(nèi)的人均月收入，求參與調(diào)查的人員中“贊成定價者”與“認為價格偏高者”的月平均收入的差距是多少(結(jié)果保留2位小數(shù))； (2)由以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)填下面2×2列聯(lián)表，分析是否有99%的把握認為“月收入以55百元為分界點對地鐵定價的態(tài)度有差異”. 月收入不低于55百元的人數(shù) 月收入低于55百元的人數(shù) 總計 認為價格偏高者 贊成定價者 總計 附：K2＝. P(K2≥k0) 0.05 0.01 k0 3.841 6.635 [解]　(1)“贊成定價者”的月平均收入為

22、x1＝ ≈50.56. “認為價格偏高者”的月平均收入為 x2＝ ＝38.75， ∴“贊成定價者”與“認為價格偏高者”的月平均收入的差距是x1－x2＝50.56－38.75＝11.81(百元).5分 (2)根據(jù)條件可得2×2列聯(lián)表如下： 月收入不低于 55百元的人數(shù) 月收入低于 55百元的人數(shù) 總計 認為價格偏高者 3 29 32 贊成定價者 7 11 18 總計 10 40 50 K2＝≈6.27＜6.635， ∴沒有99%的把握認為“月收入以55百元為分界點對地鐵定價的態(tài)度有差異”.12分 [思想與方法] 1．回歸分析是處理變量

23、相關(guān)關(guān)系的一種數(shù)學方法．主要解決：(1)確定特定量之間是否有相關(guān)關(guān)系，如果有就找出它們之間貼近的數(shù)學表達式；(2)根據(jù)一組觀察值，預測變量的取值及判斷變量取值的變化趨勢；(3)求出線性回歸方程． 2．根據(jù)K2的值可以判斷兩個分類變量有關(guān)的可信程度． [易錯與防范] 1．回歸分析是對具有相關(guān)關(guān)系的兩個變量進行統(tǒng)計分析的方法，只有在散點圖大致呈線性時，求出的線性回歸方程才有實際意義，否則，求出的線性回歸方程毫無意義．根據(jù)回歸方程進行預報，僅是一個預報值，而不是真實發(fā)生的值． 2．獨立性檢驗中統(tǒng)計量K2的觀測值k的計算公式很復雜，在解題中易混淆一些數(shù)據(jù)的意義，代入公式時出錯，而導致整個計算結(jié)果出錯．