新編高考數(shù)學(xué)理一輪資源庫(kù) 第4章學(xué)案16

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1、新編高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料 第4章　三角函數(shù)與三角恒等變換 學(xué)案16　任意角、弧度及任意角的三角函數(shù) 導(dǎo)學(xué)目標(biāo)： 1.了解任意角的概念.2.了解弧度制的概念，能進(jìn)行弧度與角度的互化.3.理解任意角的三角函數(shù)(正弦、余弦、正切)的定義． 自主梳理 1．任意角的概念 角可以看成平面內(nèi)一條射線OA繞著端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置OB所成的圖形．旋轉(zhuǎn)開(kāi)始時(shí)的射線OA叫做角的________，射線的端點(diǎn)O叫做角的________，旋轉(zhuǎn)終止位置的射線OB叫做角的________，按____時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)所形成的角叫做正角，按____時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)所形成的角叫做負(fù)角．若一條射線沒(méi)有作任何旋轉(zhuǎn)，稱它形

2、成了一個(gè)____角． (1)象限角 使角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，角的終邊落在第幾象限，就說(shuō)這個(gè)角是________________角． (2)象限界角(即終邊在坐標(biāo)軸上的角) 終邊在x軸上的角表示為_(kāi)_________________； 終邊在y軸上的角表示為_(kāi)_______________________； 終邊落在坐標(biāo)軸上的角可表示為_(kāi)___________________________． (3)終邊相同的角 所有與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)，可構(gòu)成一個(gè)集合______________________或_____________________

3、，前者α用角度制表示，后者α用弧度制表示． (4)弧度制 把長(zhǎng)度等于________長(zhǎng)的弧所對(duì)的__________叫1弧度的角．以弧度作為單位來(lái)度量角的單位制，叫做__________，它的單位符號(hào)是________，讀作________，通常略去不寫． (5)度與弧度的換算關(guān)系 360°＝______ rad；180°＝______ rad；1°＝________ rad； 1 rad＝____________≈57.30°. (6)弧長(zhǎng)公式與扇形面積公式 l＝__________，即弧長(zhǎng)等于____________________． S扇＝________＝_______

4、_. 2．三角函數(shù)的定義 設(shè)α是一個(gè)任意角，它的終邊上任意一點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)，|OP|＝r，我們規(guī)定： ①比值叫做α的正弦，記作sin α，即sin α＝； ②比值叫做α的余弦，記作cos α，即cos α＝； ③比值________(x≠0)叫做α的正切，記作tan α，即tan α＝. (1)三角函數(shù)值的符號(hào) 各象限的三角函數(shù)值的符號(hào)如下圖所示，三角函數(shù)正值歌：一全正，二正弦，三正切，四余弦． (2)三角函數(shù)線 下圖中有向線段MP，OM，AT分別表示____________，__________和__________． 自我檢測(cè) 1．“α＝”是“co

5、s 2α＝”的________條件． 2．與2010°終邊相同的最小正角為_(kāi)_______，最大負(fù)角為_(kāi)_______． 3．(2010·山東青島高三教學(xué)質(zhì)量檢測(cè))已知sin α<0且tan α>0，則角α是第________象限角． 4．若α＝n·360°＋θ，β＝m·360°－θ(m，n∈Z)，則α，β終邊關(guān)于直線________對(duì)稱． 5．已知角α的終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)為，則角α的最小正值為_(kāi)_______． 探究點(diǎn)一　角的概念 例1　(1)如果角α是第三象限角，那么－α，π－α，π＋α角的終邊落在第幾象限； (2)寫出終邊落在直線y＝x上的角的集合； (3)若θ＝168

6、°＋k·360° (k∈Z)，求在[0°，360°)內(nèi)終邊與角的終邊相同的角． 變式遷移1　若α是第二象限的角，試分別確定2α，的終邊所在位置． 探究點(diǎn)二　弧長(zhǎng)與扇形面積 例2　已知一個(gè)扇形的圓心角是α，0<α<2π，其所在圓的半徑是R. (1)若α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧長(zhǎng)及該弧所在弓形的面積； (2)若扇形的周長(zhǎng)是一定值C(C>0)，當(dāng)α為多少弧度時(shí)，該扇形有最大面積？ 變式遷移2　(1)已知扇形的周長(zhǎng)為10，面積為4，求扇形中心角的弧度數(shù)； (2)已知扇形的周長(zhǎng)為40，當(dāng)它的半徑和中心角取何值時(shí)，才能使扇形的面積最大？

7、最大面積是多少？ 探究點(diǎn)三　三角函數(shù)的定義 例3　已知角α的終邊在直線3x＋4y＝0上，求sin α，cos α，tan α的值． 變式遷移3　已知角α的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(－4a,3a) (a≠0)，求sin α，cos α，tan α的值． 1．角的度量由原來(lái)的角度制改換為弧度制，要養(yǎng)成用弧度表示角的習(xí)慣，象限角的判斷，終邊相同的角的表示，弧度、弧長(zhǎng)公式和扇形面積公式的運(yùn)用是學(xué)習(xí)三角函數(shù)的基礎(chǔ)． 2．三角函數(shù)都是以角為自變量(用弧度表示)，以比值為函數(shù)值的函數(shù)，是從實(shí)數(shù)集到實(shí)數(shù)集的映射，注意兩種定義法，即坐標(biāo)法和單位圓法． (滿

8、分：90分) 一、填空題(每小題6分，共48分) 1．點(diǎn)P從(1,0)出發(fā)，沿單位圓x2＋y2＝1逆時(shí)針?lè)较蜻\(yùn)動(dòng)弧長(zhǎng)到達(dá)Q，則Q的坐標(biāo)為_(kāi)_______． 2．(2011·汕頭模擬)若角α和角β的終邊關(guān)于x軸對(duì)稱，則角α可以用β表示為_(kāi)_______． 3．已知點(diǎn)P落在角θ的終邊上，且θ∈[0,2π)，則θ的值為_(kāi)_______． 4．已知α為第三象限的角，則在第________象限． 5．(2011·南京模擬)已知點(diǎn)P(sin α－cos α，tan α)在第一象限，且α∈[0,2π]，則α的取值范圍是________________． 6．若1弧度的圓心角所對(duì)弦長(zhǎng)等于2，則這

9、個(gè)圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)等于________． 7．(2011·淮安模擬)已知角α的終邊落在直線y＝－3x上，則－＝________. 8．閱讀下列命題： ①若點(diǎn)P(a,2a) (a≠0)為角α終邊上一點(diǎn)，則sin α＝； ②同時(shí)滿足sin α＝，cos α＝的角有且只有一個(gè)； ③設(shè)tan α＝且π<α<，則sin α＝－； ④設(shè)cos(sin θ)·tan(cos θ)>0 (θ為象限角)，則θ在第一象限．其中正確命題為_(kāi)_______．(將正確命題的序號(hào)填在橫線上) 二、解答題(共42分) 9．(14分)已知扇形OAB的圓心角α為120°，半徑長(zhǎng)為6， (1)求的弧長(zhǎng)； (2

10、)求弓形OAB的面積． 10．(14分)在單位圓中畫出適合下列條件的角α的終邊的范圍，并由此寫出角α的集合： (1)sin α≥； (2)cos α≤－. 11．(14分)已知角α終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(x，－) (x≠0)，且cos α＝x.求sin α＋的值． 答案 自主梳理 1．始邊　頂點(diǎn)　終邊　逆　順　零　(1)第幾象限 (2){α|α＝kπ，k∈Z}　 　(3){β|β＝α＋k·360°，k∈Z}　{β|β＝α＋2kπ，k∈Z}　(4)半徑　圓心角　弧度制　rad　弧度　(5)2π　π　　°　(6)|α|·r　弧所對(duì)的圓心角(弧

11、度數(shù))的絕對(duì)值與半徑的積　lr　|α|r2　2.③ (2)α的正弦線　α的余弦線　α的正切線 自我檢測(cè) 1．充分而不必要　2.210°?。?50°　3.三　4.x軸　5. 課堂活動(dòng)區(qū) 例1　解題導(dǎo)引　(1)一般地，角α與－α終邊關(guān)于x軸對(duì)稱；角α與π－α終邊關(guān)于y軸對(duì)稱；角α與π＋α終邊關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱． (2)利用終邊相同的角的集合S＝{β|β＝2kπ＋α，k∈Z}判斷一個(gè)角β所在的象限時(shí)，只需把這個(gè)角寫成[0,2π)范圍內(nèi)的一角α與2π的整數(shù)倍，然后判斷角α的象限． (3)利用終邊相同的角的集合可以求適合某些條件的角，方法為先寫出與這個(gè)角的終邊相同的所有角的集合，然后通過(guò)對(duì)集合參

12、數(shù)k賦值來(lái)求得所需角． 解　(1)π＋2kπ<α<＋2kπ (k∈Z)， ∴－－2kπ<－α<－π－2kπ(k∈Z)， 即＋2kπ<－α<π＋2kπ (k∈Z)．① ∴－α角終邊在第二象限． 又由①各邊都加上π，得 ＋2kπ<π－α<2π＋2kπ (k∈Z)． ∴π－α是第四象限角． 同理可知，π＋α是第一象限角． (2)在(0，π)內(nèi)終邊在直線y＝x上的角是， ∴終邊在直線y＝x上的角的集合為 . (3)∵θ＝168°＋k·360° (k∈Z)， ∴＝56°＋k·120° (k∈Z)． ∵0°≤56°＋k·120°<360°，∴k＝0,1,2時(shí)，∈[0°，360°

13、)． 故在[0°，360°)內(nèi)終邊與角的終邊相同的角是56°，176°，296°. 變式遷移1　解　∵α是第二象限的角， ∴k·360°＋90°<α

14、角． ∴的終邊在第一或第三象限． 例2　解題導(dǎo)引　本題主要考查弧長(zhǎng)公式和扇形的面積公式，并與最值問(wèn)題聯(lián)系在一起．確定一個(gè)扇形需要兩個(gè)基本條件，因此在解題中應(yīng)依據(jù)題目條件確定出圓心角、半徑、弧長(zhǎng)三個(gè)基本量中的兩個(gè)，然后再進(jìn)行求解． 解　(1)設(shè)扇形的弧長(zhǎng)為l，該弧所在弓形的面積為S，如圖所示， 當(dāng)α＝60°＝， R＝10 cm時(shí)， 可知l＝αR＝ cm. 而S＝S扇－S△OAB＝lR－R2sin ＝××10－×100× ＝ cm2. (2)已知2R＋l＝C，即2R＋αR＝C， S扇＝αR2＝·αR·R＝·αR·2R ≤·2＝·2＝. 當(dāng)且僅當(dāng)αR＝2R，即α＝2時(shí)

15、，等號(hào)成立，即當(dāng)α為2弧度時(shí)，該扇形有最大面積C2. 變式遷移2　解　設(shè)扇形半徑為R，圓心角為θ，所對(duì)的弧長(zhǎng)為l. (1)依題意，得∴2θ2－17θ＋8＝0.∴θ＝8或. ∵8>2π，舍去，∴θ＝. (2)扇形的周長(zhǎng)為40，即θR＋2R＝40， S＝lR＝θR2＝θR·2R≤2＝100. 當(dāng)且僅當(dāng)θR＝2R，即R＝10，θ＝2時(shí)扇形面積取得最大值，最大值為100. 例3　解題導(dǎo)引　某角的三角函數(shù)值只與該角終邊所在位置有關(guān)，當(dāng)終邊確定時(shí)三角函數(shù)值就相應(yīng)確定了．但若終邊落在某條直線上時(shí)，這時(shí)終邊實(shí)際上有兩個(gè)，因此對(duì)應(yīng)的函數(shù)值有兩組，要分別求解． 解　∵角α的終邊在直線3x＋4y＝0

16、上， ∴在角α的終邊上任取一點(diǎn)P(4t，－3t) (t≠0)， 則x＝4t，y＝－3t， r＝＝＝5|t|， 當(dāng)t>0時(shí)，r＝5t，sin α＝＝＝－， cos α＝＝＝，tan α＝＝＝－； 當(dāng)t<0時(shí)，r＝－5t，sin α＝＝＝， cos α＝＝＝－，tan α＝＝＝－. 綜上可知，t>0時(shí)，sin α＝－，cos α＝，tan α＝－； t<0時(shí)，sin α＝，cos α＝－，tan α＝－. 變式遷移3　解　r＝＝5|a|. 若a>0，則r＝5a，α角在第二象限， sin α＝＝＝，cos α＝＝＝－， tan α＝＝＝－. 若a<0，則r＝－5a，α角在

17、第四象限， sin α＝＝＝－，cos α＝＝＝， tan α＝＝＝－. 課后練習(xí)區(qū) 1．(－，) 解析　依題意得Q(cos，sin)，即Q(－，)． 2．α＝2kπ－β(k∈Z) 3.π 解析　由三角函數(shù)的定義， tan θ＝＝＝－1. 又∵sin >0，cos <0， ∴P在第四象限，∴θ＝. 4．二或四 解析　∵α是第三象限角， ∴180°＋k·360°<α<270°＋k·360°(k∈Z)． ∴90°＋k·180°<<135°＋k·180°(k∈Z)． ①當(dāng)k＝2m (m∈Z)時(shí)可得90°＋m·360°<<135°＋m·360°， 故的終邊在第二象限．

18、 ②當(dāng)k＝2m＋1 (m∈Z)時(shí)可得270°＋m·360°<<315°＋m·360°， 故的終邊在第四象限． 綜上，可知是第二或第四象限的角． 5.∪ 解析　由已知得 ∴＋2kπ<α<＋2kπ或π＋2kπ<α<＋2kπ，k∈Z. ∵0≤α≤2π， ∴當(dāng)k＝0時(shí)，<α<或π<α<. 6. 解析　設(shè)圓的半徑為r，∴r·sin ＝1. ∴r＝.∴弧長(zhǎng)l＝α·r＝. 7．2或－2 解析　∵角α終邊落在直線y＝－3x上， ∴α為第二或第四象限角． 當(dāng)α為第二象限時(shí)， －＝－＝2. 若α為第四象限時(shí)，－＝－＝－2. 8．③ 解析?、僦校?dāng)α在第三象限時(shí)， sin α

19、＝－，故①錯(cuò)． ②中，同時(shí)滿足sin α＝，cos α＝的角為α＝2kπ＋ (k∈Z)，不只有一個(gè)，故②錯(cuò)．③正確．④θ可能在第一象限或第四象限，故④錯(cuò)．綜上選③. 9．解　(1)∵α＝120°＝，r＝6， ∴的弧長(zhǎng)為l＝αr＝×6＝4π.……………………………………………………(4分) (2)∵S扇形OAB＝lr＝×4π×6＝12π，……………………………………………………(8分) S△ABO＝r2·sin ＝×62×＝9，…………………………………………………(12分) ∴S弓形OAB＝S扇形OAB－S△ABO＝12π－9.………………………………………………(14分) 10

20、．解　(1)作直線y＝交單位圓于A、B兩點(diǎn)，連結(jié)OA、OB，則OA與OB圍成的區(qū)域即為角α的集合為.………………………………………(7分) (2)作直線x＝－交單位圓于C、D兩點(diǎn)，連結(jié)OC、OD，則OC與OD圍成的區(qū)域(圖中陰影部分)即為角α終邊的范圍．故滿足條件的角α的集合為 .…………………………………………………………(14分) 11．解　∵P(x，－) (x≠0)， ∴點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離r＝.…………………………………………………………(2分) 又cos α＝x， ∴cos α＝＝x. ∵x≠0，∴x＝±， ∴r＝2.…………………………………………………………………………………(6分) 當(dāng)x＝時(shí)，P點(diǎn)坐標(biāo)為(，－)， 由三角函數(shù)的定義， 有sin α＝－，＝－， ∴sin α＋＝－－＝－；……………………………………………(10分) 當(dāng)x＝－時(shí)， 同樣可求得sin α＋＝.……………………………………………………(14分)