萊布尼茨與微積分.doc

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萊布尼茨與微積分 今天,微積分已成為基本的數(shù)學(xué)工具而被廣泛地應(yīng)用于自然科學(xué)的各個領(lǐng)域。恩格斯說過:“在一切理論成就中,未有像十七世紀(jì)下半葉微積分的發(fā)明那樣被看作人類精神的最高勝利了,如果在某個地方我們看到人類精神的純粹的和唯一的功績,那就正是在這里。”接下來我將從五個方面來介紹萊布尼茨的生平事跡。 一、人物簡介 戈特弗里德威廉萊布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz，1646年－1716年），德國哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家。涉及的領(lǐng)域及法學(xué)、力學(xué)、光學(xué)、語言學(xué)等40多個范疇，被譽為十七世紀(jì)的亞里士多德。和牛頓先后獨立發(fā)明了微積分。 二、人物生平 早期（致力于哲學(xué)）： 1. 生于公元1646年7月1日書香之家，父親道德哲學(xué)教授，母親出身于教授家庭。 2. 8歲時，萊布尼茨進入尼古拉學(xué)校，學(xué)習(xí)拉丁文、希臘文、修辭學(xué)、算術(shù)、邏輯、音樂以及《圣經(jīng)》、路德教義等。 3. 1661年，15歲的萊布尼茨進入萊比錫大學(xué)學(xué)習(xí)法律。 4. 1663年5月，他以《論個體原則方面的形而上學(xué)爭論》一文獲學(xué)士學(xué)位。 晚期（致力于自然科學(xué)）： 1. 1667年2月，萊布尼茨發(fā)表了他的第一篇數(shù)學(xué)論文《論組合的藝術(shù)》 2. 1672年，萊布尼茨作為一名外交官出使巴黎，深受惠更斯的啟發(fā)，決心鉆研高等數(shù)學(xué)，并研究了笛卡兒、費爾馬、帕斯卡等人的著作，開始微積分的創(chuàng)造性工作。 3. 1684年10月在《教師學(xué)報》上發(fā)表的論文《一種求極大極小和切線的新方法，它也適用于分式和無理量，以及這種新方法的奇妙類型的計算》，是最早的微積分文獻(xiàn)。 4. 1686年發(fā)表他的第一部積分學(xué)論文《深奧的幾何與不可分量及無限的分析》，提出擺線方程 ，這篇論文中 第一次出現(xiàn)在印刷板物上。 5. 1713年，萊布尼茨發(fā)表了《微積分的歷史和起源》一文，總結(jié)了自己創(chuàng)立微積分學(xué)的思路，說明了自己成就的獨立性。 6.公元1716年11月14日，由于膽結(jié)石引起的腹絞痛臥床一周后，萊布尼茨孤寂地離開了人世，終年70歲。 三、個人成就 （一）微積分的創(chuàng)立 1．創(chuàng)立了很多微積分符號 1675年到1677年他創(chuàng)造出了這些符號，用表示相鄰兩個的差； 表示相鄰兩個的差，也是函數(shù)的微分；用表示成切線的斜率；代替了以前的和號“ ”（是的第一個字母）；表示面積。 2. 給出了的演算法則 加法和減法：如果 ，則 乘 法： 除 法： ，等。 3.微積分基本定理 萊布尼茲在手稿中闡述：給定一條曲線，其縱坐標(biāo)為，求該曲線下的面積。 他假設(shè)可以求出一條曲線（他稱之為割圓曲線），它的縱坐標(biāo)為，使得： 即 。他發(fā)現(xiàn)曲線的面積 ，萊布尼茲通常假設(shè)曲線通過原點。這就將求面積的問題轉(zhuǎn)化成了反切線的問題，即要求曲線的面積只需要找到一條曲線，使它的切線的斜率為 ，如果實在區(qū)間上，則只需用在 的面積減去的面積便得到。 問題的關(guān)鍵： 沒有發(fā)現(xiàn)微分和積分是互逆的兩種運算，而這正是微積分建立的關(guān)鍵所在。只有確立了這一基本關(guān)系，才能在此基礎(chǔ)上構(gòu)建系統(tǒng)的微積分學(xué) 。 微積分創(chuàng)建工作的完成： 1、萊布尼茨1684年10月在《教師學(xué)報》上發(fā)表的論文《一種求極大極小的奇妙類型的計算》，是最早的微積分文獻(xiàn)。對微積分的創(chuàng)建有著劃時代的意義。 2、萊布尼茨從幾何問題出發(fā)，運用分析學(xué)方法引進微積分概念、得出微積分運算法則。 3、萊布尼茨創(chuàng)建巧妙簡潔的微積分符號 ，對微積分的發(fā)展有極大影響 。 4、1713年，萊布尼茨發(fā)表《微積分的歷史和起源》一文，總結(jié)了自己創(chuàng)建微積分的歷程。 牛頓、萊布尼茲創(chuàng)立微積分的比較： 牛頓堅持唯物論的經(jīng)驗論,特別重視實驗和歸納推理。他在研究經(jīng)典力學(xué)規(guī)律和萬有引力定律時,遇到了一些無法解決的數(shù)學(xué)問題,，因此牛頓著手研究新的以求曲率、面積、曲線的長度、重心、最大最小值等問題的方法———流數(shù)法。“牛頓的研究采用了最初比和最后比的方法。他認(rèn)為流數(shù)是初生量的最初比或消失量的最后比。初生量的最初比就是在初生的瞬間的比值,消失量的最后比就是量在消失的瞬間的比值。”這個解釋太模糊了,算不上精確的數(shù)學(xué)概念,只不過是一種直觀的描述。最初比和最后比的物理原型是初速度與末速度的數(shù)學(xué)抽象,在物體作位置移動的過程中的每一瞬間具有的速度是自明的,牛頓就是從這個客觀事實出發(fā)提出了最初比和最后比的直觀概念。這樣他就給出了極限的觀點。 萊布尼茲的微積分創(chuàng)造始于研究“切線問題”和“求積問題”,他從微分三角形認(rèn)識到:求曲線的切線依賴于縱坐標(biāo)之差與橫坐標(biāo)之差的比值;求曲邊圖形的面積則依賴于在橫坐標(biāo)的無限小區(qū)間上的縱坐標(biāo)之和或無限薄的矩形之和。萊布尼茲認(rèn)識到求和與求差運算是可逆的。萊布尼茲用無窮小的思想給出了微積分的基本定理,并發(fā)展成為高階微分。萊布尼茲在微積分的研究過程中,連續(xù)性原則成為其工作的基石,而連續(xù)性原則是扎根于他哲學(xué)中無限的本質(zhì)的思想。 一、牛頓和萊布尼茲創(chuàng)立微積分的相同點： 1、都使微積分不再是幾何學(xué)的延伸，建立在符號運算的基礎(chǔ)上，具有一般性，使之成具有廣泛應(yīng)用的學(xué)科； 2、把求積問題歸結(jié)為微分問題的逆問題，從而建立了微積分基本定理； 3、把微積分建立在實無窮小的基礎(chǔ)上，后來他們?yōu)榛乇軣o窮小運算上的矛盾，不自覺地使用了極限概念； 4、用代數(shù)的方法從過去的幾何形式中解脫出來;都研究了微分與反微分之間的互逆關(guān)系。 二、牛頓和萊布尼茲創(chuàng)立微積分的不同點： 1、他們建立微積分的出發(fā)點不同。牛頓是在力學(xué)研究的基礎(chǔ)上，運用幾何方法研究微積分的；萊布尼茲主要是在研究曲線的切線和面積的問題上，運用分析學(xué)方法引進微積分要領(lǐng)的。 2、微積分工作的側(cè)重點不同。牛頓關(guān)心微積分體系和基本方法的建立；而萊布尼茲運算公式的建立與推廣。在積分上，牛頓偏重于求積分的逆運算，即不定積分；而萊布尼茨側(cè)重于求微分的和，即定積分。牛頓在微積分的應(yīng)用上更多地結(jié)合了運動學(xué)，造詣精深；但萊布尼茲的表達(dá)形式簡潔準(zhǔn)確，勝過牛頓。 3、對微積分具體內(nèi)容的研究不同。牛頓先有導(dǎo)數(shù)概念，后有積分概念；萊布尼茲則先有積分概念，后有導(dǎo)數(shù)概念。 4、對無窮小認(rèn)識的程度不一樣。牛頓不分階，而萊氏分階，認(rèn)識比前者深刻。 雖然牛頓和萊布尼茲研究微積分的方法不同，但他們殊途同歸，各自獨立完成了創(chuàng)建微積分的盛業(yè)，正是因為有了牛頓與萊布尼茲的工作，才使微積分成為獨立的學(xué)科并給整個自然科學(xué)帶來革命性的影響。他們創(chuàng)立的微積分,對科學(xué)發(fā)展具有深遠(yuǎn)的影響 （二）數(shù)學(xué)上的貢獻(xiàn) 1、始創(chuàng)微積分。 2、對負(fù)數(shù)和復(fù)數(shù)的性質(zhì)的探討。 3、首次引入行列式的概念。 4、數(shù)理邏輯的首創(chuàng)者和真正奠基人。 （三）物理方面的貢獻(xiàn) 1、提出了能量守恒定律的雛形。 2、證明了永動機的荒謬性。 3、提出馬里奧特——萊布尼茨理論。 4、利用微積分求極值的方法推導(dǎo)出折射定律。 （四）哲學(xué) v 突出了著名的“單子論” v “沒有兩片完全相同的樹葉，世界上沒有性格完全相同的人?！? ——萊布尼茨 （五） “乘法機”的發(fā)明 v 受八卦啟發(fā)，率先為計算機設(shè)計系統(tǒng)提出二進制運算法則，為計算機的現(xiàn)代發(fā)展奠定了基礎(chǔ)。 v 能進行乘除運算的“乘法機”的發(fā)明。 四、著作目錄 v 1663年5月，以《論個體原則方面的形而上學(xué)爭論》一文獲學(xué)士學(xué)位 。 v 1664年1月，萊布尼茨完成了論文《論法學(xué)之艱難》，獲哲學(xué)碩士學(xué)位。 v 1667年2月 他以論文《論身份》獲法學(xué)博士學(xué)位 。 v 1667年發(fā)表了他的第一篇數(shù)學(xué)論文《論組合的藝術(shù)》。 v 1684年10月發(fā)表論文《一種求極大極小的奇妙類型的計算》，是最早的微積分文獻(xiàn)。 v 1677年，萊布尼茨發(fā)表《通向一種普通文字》，人們公認(rèn)他是世界語的先驅(qū)。 v 1677年，萊布尼茨發(fā)表《通向一種普通文字》，人們公認(rèn)他是世界語的先驅(qū)。 v 1693年，萊布尼茨發(fā)表《原始地球》一書一定程度上促進了19世紀(jì)地質(zhì)學(xué)理論的發(fā)展。 v 1703發(fā)表論文《二進位算術(shù)的闡述—關(guān)于只用0和1兼論其用處及伏羲氏所用數(shù)字的意義》，為二進制的創(chuàng)立奠定了基礎(chǔ)。 v 1713年，萊布尼茨發(fā)表《微積分的歷史和起源》一文，總結(jié)了其獨立創(chuàng)建微積分的總過程。 五、評價 “當(dāng)一個人考慮到自己并把自己的才能和萊布尼茨的才能來作比較時，就會弄到恨不得把書都丟了去找個世界上比較偏僻的角落藏起來以便安靜的死去。這個人是混亂的大敵：罪錯綜復(fù)雜的事物一進入他的心靈就弄得秩序井然。他把兩種幾乎不相容的品質(zhì)結(jié)合在一起了，這就是探索發(fā)現(xiàn)的精神和講求條理的精神；而他借以積累起最廣泛的各種不同種類知識最堅毅又最五花八門的研究既沒有剝?nèi)踹@一品質(zhì)，也沒有剝?nèi)趿硪环N品質(zhì)。就哲學(xué)家和數(shù)學(xué)家這兩個詞所能具有的最充分的意義來說，他是一位哲學(xué)家和一位數(shù)學(xué)家?！? ——狄德羅 六、總結(jié) 萊布尼茨是歷史上最偉大的符號學(xué)者之一，他所創(chuàng)設(shè)的微積分符號，遠(yuǎn)遠(yuǎn)優(yōu)于牛頓的符號，這對微積分的發(fā)展有極大的影響?，F(xiàn)在我們使用的微積分通用符號就是當(dāng)時萊布尼茨精心選用的。 微積分學(xué)的創(chuàng)立，極大地推動了數(shù)學(xué)的發(fā)展，過去很多初等數(shù)學(xué)束手無策的問題，運用微積分，往往迎刃而解，顯示出微積分學(xué)的非凡威力。 萊布尼茨科學(xué)天才遠(yuǎn)遠(yuǎn)不止我們這兒介紹的這么簡簡單單，他的研究成果還遍及力學(xué)、邏輯學(xué)、化學(xué)、地理學(xué)、解剖學(xué)、動物學(xué)、植物學(xué)、氣體學(xué)、航海學(xué)、地質(zhì)學(xué)、語言學(xué)、法學(xué)、哲學(xué)、歷史、外交等等。他是單子論奠基人，微積分的創(chuàng)立者，數(shù)理邏輯的先驅(qū)，中西文化交流之倡導(dǎo)者。