【人教A版】新編高中數(shù)學(xué) 2.5.2等差、等比數(shù)列的綜合應(yīng)用練習(xí) 新人教A版必修5

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1、 新編人教版精品教學(xué)資料 高中數(shù)學(xué) 2.5.2等差、等比數(shù)列的綜合應(yīng)用練習(xí) 新人教A版必修5 ?基礎(chǔ)梳理 1．(1)重要公式： 1＋2＋3＋…＋n＝____________； 12＋22＋32＋…＋n2＝____________． (2)數(shù)列an＝n2＋n的前n項(xiàng)和為：________________________________________________________________________. 2．(1)裂項(xiàng)法求和：這是分解與組合思想在數(shù)列求和中的具體應(yīng)用．裂項(xiàng)法的實(shí)質(zhì)是將數(shù)列中的每項(xiàng)(通項(xiàng))分解，然后重新組合，使之能消去一些項(xiàng)，最終達(dá)到求和的目的． ＝_

2、_________________． (2)＋＋＋＋＝______． 3．累加法求數(shù)列通項(xiàng)公式：數(shù)列的基本形式為an＋1－an＝f(n)(n∈N*)的解析式，而f(1)＋f(2)＋…＋f(n)的和可求出． 已知數(shù)列{an}滿足an＋1－an＝n(n∈N*)且a1＝1，則其通項(xiàng)公式為_(kāi)_______________． 4．累乘法求數(shù)列通項(xiàng)公式：數(shù)列的基本形式為＝f(n)(n∈N*)的解析式，而f(1)·f(2)·…·f(n)的積可求出． 已知數(shù)列{an}滿足＝(n∈N*)，a1＝2，則其通項(xiàng)公式為_(kāi)_________(n∈N*)． 5．待定系數(shù)法：數(shù)列有形如an＋1＝kan＋b(k≠

3、1)的關(guān)系，可用待定系數(shù)法求得{an＋t}為等比數(shù)列，再求得an. 已知數(shù)列{an}滿足an＋1＝2an＋1(n∈N*)，a1＝1，則{an＋1}是________．?dāng)?shù)列{an}通項(xiàng)公式為_(kāi)_______________________________________________________________________． 6．分組求和法：有一類數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，但如果將這類數(shù)列適當(dāng)拆開(kāi)，可分為幾個(gè)等差、等比或常見(jiàn)的數(shù)列，那么就可以分別求和，再將其合并即可． 數(shù)列1，2，3，…， 的前n項(xiàng)和Sn＝________________． 7．倒序相加法：這是在推

4、導(dǎo)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法，就是將一個(gè)數(shù)列倒過(guò)來(lái)排列(反序)，再把它與原數(shù)列相加，就可以得到n個(gè)a1＋an. sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin288°＋sin289°＝____________． 8．錯(cuò)位相減法：這是在推導(dǎo)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法，這種方法主要用于求數(shù)列{an·bn}的前n項(xiàng)和，其中{an}、{bn}分別是等差和等比數(shù)列． 基礎(chǔ)梳理 1．(1)　 (2)Sn＝ 2．(1)－　(2) 3．a(chǎn)n＝ 4．a(chǎn)n＝2n 5．等比數(shù)列　an＝2n－1 6.n(n＋1)＋ 7. ?自測(cè)自評(píng) 1．已知{an}是等差數(shù)列，a10＝

5、10，其前10項(xiàng)和S10＝70，則其公差d為(　　) A．－　　　B．－　　　C.　　　D. 2．?dāng)?shù)列{(－1)nn}的前n項(xiàng)和為Sn，則S2 014等于(　　) A．1 007 B．－1 007 C．2 014 D．－2 014 3．(2014·安徽卷)數(shù)列{an}是等差數(shù)列，若a1＋1，a3＋3，a5＋5構(gòu)成公比為q的等比數(shù)列，則q＝________． 自測(cè)自評(píng) 1．解析：由S10＝70，可以得到a1＋a10＝14，即 a1＝4.所以d＝＝. 答案：D 2．解析：S2 014＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋(－2 013＋2 014)＝1 007. 答案：A 3

6、．解析：設(shè)出等差數(shù)列的公差，根據(jù)等比中項(xiàng)性質(zhì)列方程求解． 設(shè)等差數(shù)列的公差為d，則a3＝a1＋2d，a5＝a1＋4d， ∴(a1＋2d＋3)2＝(a1＋1)(a1＋4d＋5)，解得d＝－1， ∴q＝＝＝1. 答案：1 ?基礎(chǔ)達(dá)標(biāo) 1．?dāng)?shù)列an＝，其前n項(xiàng)之和為，則項(xiàng)數(shù)n為(　　) A．12　　　　B．11　　　　C．10　　　　D．9 1．D 2. 已知等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)為1，公比為q，前n項(xiàng)和為Sn，則數(shù)列的前n項(xiàng)和為(　　) A. B．Snqn－1 C．Snq1－n D. 2．解析：數(shù)列的首項(xiàng)為1，公比為，它的前n項(xiàng)和為Tn＝＝，又Sn＝， ∴Tn＝

7、·Sn＝q1－n·Sn.故選C. 答案：C 3．?dāng)?shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝，則該數(shù)列的前____項(xiàng)之和等于9.(　　) A．99　　　　B．98　　　　C．97　　　　D．96 3．解析：an＝ ＝＝－， ∴Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an ＝(－)＋(－)＋…＋(－) ＝－1. 令－1＝9?n＋1＝100，∴n＝99.故選A. 答案：A 4．等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知S1，2S2，3S3成等差數(shù)列，則數(shù)列{an}的公比q為_(kāi)_______． 4．解析：設(shè){an}的公比為q，由題意知4S2＝S1＋3S3，若q＝1，則8a1＝a1＋9a1，∴a1＝0，不合題

8、意； 若q≠1，則4(1－q2)＝(1－q)＋3(1－q3)， 即(q－1)(3q－1)＝0，∴q＝. 答案： 5. 求和：1＋3＋5＋…＋＝____________________． 5．解析：Sn＋1＝＋(＋＋…＋)＝n2＋2n＋2－. 答案：n2＋2n＋2－ ?鞏固提高 6．(2014·天津卷)設(shè){an}是首項(xiàng)為a1，公差為－1的等差數(shù)列，Sn為其n項(xiàng)和．若S1，S2，S4成等比數(shù)列，則a1的值為_(kāi)_______． 6．解析：依題意得S＝S1S4，所以(2a1－1)2＝a1(4a1－6)，解得a1＝－. 答案：－ 7．(2014·大綱全國(guó)卷)等比數(shù)列{an}中，

9、a4＝2，a5＝5，則數(shù)列{lg an}的前8項(xiàng)和等于(　　) A．6 B．5 C．4 D．3 7．解析：利用等比數(shù)列的性質(zhì)及對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則求解． 數(shù)列{lg an}的前8項(xiàng)和S8＝lg a1＋lg a2＋…＋lg a8＝lg(a1·a2·…·a8)＝lg(a1·a8)4＝lg(a4·a5)4＝lg(2×5)4＝4. 答案：C 8．已知數(shù)列{an}中，a1＝－1，an＋1·an＝an＋1－an，則數(shù)列通項(xiàng)an＝________． 8．解析：由an＋1·an＝an＋1－an?1＝－ ?－＝－1. ∴數(shù)列是首項(xiàng)為－1，公差為－1的等差數(shù)列， ＝－1＋(n－1)(－1)＝－n

10、， ∴an＝－(n∈N*)． 答案：－(n∈N*) 9．(2014·江西卷)已知首項(xiàng)都是1的兩個(gè)數(shù)列{an}，{bn}(bn≠0，n∈N*)，滿足anbn＋1－an＋1bn＋2bn＋1bn＝0. (1)令cn＝，求數(shù)列{cn}的通項(xiàng)公式； (2)若bn＝3n－1，求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn. 9．解析：(1)因?yàn)閍nbn＋1－an＋1bn＋2bn＋1bn＝0，bn≠0，n∈N*， 所以－＝2，cn＋1－cn＝2， 所以數(shù)列{cn}是以首項(xiàng)c1＝1，公差d＝2的等差數(shù)列，故cn＝2n－1(n∈N*)． (2)由bn＝3n－1知an＝cnbn＝(2n－1)3n－1， 于是數(shù)列

11、{an}前n項(xiàng)和 Sn＝1·30＋3·31＋…＋(2n－1)·3n－1， 3Sn＝1·31＋3·32＋…＋(2n－1)·3n， 相減得－2Sn＝1＋2·(31＋32＋…＋3n－1)－(2n－1)·3n＝－2－(2n－2)·3n， 所以Sn＝(n－1)·3n＋1. 10. 已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝求Sn. 10．解析：①當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)， Sn＝[1＋13＋…＋(6n－5)]＋(42＋44＋…＋4n－1) ＝·＋ ＝＋ ＝＋. ②當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)， Sn＝[1＋13＋…＋(6n－11)]＋(42＋44＋…＋4n－1＋4n)＝＋. 1．?dāng)?shù)列是特殊的函數(shù)，有些題目可結(jié)合函數(shù)知識(shí)去解決，體現(xiàn)了函數(shù)思想、數(shù)形結(jié)合的思想． 2．等差、等比數(shù)列中，a1、an、n、d(q)、Sn“知三求二”，體現(xiàn)了方程(組)的思想、整體思想，有時(shí)用到換元法． 3．求等比數(shù)列的前n項(xiàng)和時(shí)要考慮公比是否等于1，公比是字母時(shí)要進(jìn)行討論，體現(xiàn)了分類討論的思想． 4．?dāng)?shù)列求和的基本方法有：公式法、倒序相加法、錯(cuò)位相減法、拆項(xiàng)法、裂項(xiàng)法、累加法、等價(jià)轉(zhuǎn)化等．