《高等數(shù)學(xué)：7-2 偏導(dǎo)數(shù)與全微分》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高等數(shù)學(xué)：7-2 偏導(dǎo)數(shù)與全微分（34頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、第二節(jié)第二節(jié) 偏導(dǎo)數(shù)與全微分偏導(dǎo)數(shù)與全微分 一、偏導(dǎo)數(shù)的定義及其計算方法一、偏導(dǎo)數(shù)的定義及其計算方法 1偏導(dǎo)數(shù)的定義偏導(dǎo)數(shù)的定義（1）f (x，y) 在點在點 P0(x0，y0) 處的偏導(dǎo)數(shù)處的偏導(dǎo)數(shù)例如，極限例如，極限 (1) 可以表示為可以表示為 x,yxfyxxfyxfxx )(),(lim),(0000000 0000000(,)()(,)limyyf xyyf x ,yfxyy 即即 （2）偏導(dǎo)函數(shù)）偏導(dǎo)函數(shù) 如果如果 f(x，y) 在區(qū)域在區(qū)域 D 內(nèi)偏導(dǎo)函數(shù)存在，內(nèi)偏導(dǎo)函數(shù)存在，P0(x0，y0)D，則則 f(x，y) 在在 (x0，y0) 處的偏導(dǎo)處的偏導(dǎo)數(shù)數(shù) fx (x0，y
2、0)、fy (x0，y0) 就是偏導(dǎo)函數(shù)就是偏導(dǎo)函數(shù) fx (x，y)、fy (x，y) 在在 P0(x0，y0) 點的函數(shù)值。點的函數(shù)值。 不至混淆時，也把偏導(dǎo)函數(shù)稱作偏導(dǎo)數(shù)。不至混淆時，也把偏導(dǎo)函數(shù)稱作偏導(dǎo)數(shù)。 （4）偏導(dǎo)數(shù)概念可推廣到二元以上的函數(shù)）偏導(dǎo)數(shù)概念可推廣到二元以上的函數(shù)（3）關(guān)系）關(guān)系:處處在在如如),(),(zyxzyxfu ,),(),(lim),(0 xzyxfzyxxfzyxfxx ,),(),(lim),(0yzyxfzyyxfzyxfyy .),(),(lim),(0zzyxfzzyxfzyxfzz 解解2偏導(dǎo)數(shù)的計算偏導(dǎo)數(shù)的計算 仍然是一元函數(shù)的求導(dǎo)公式和求導(dǎo)法
3、則，對某一個仍然是一元函數(shù)的求導(dǎo)公式和求導(dǎo)法則，對某一個自變量求偏導(dǎo)時，其余的自變量看作常量。自變量求偏導(dǎo)時，其余的自變量看作常量。 yxxz32 yxyz23 8231221 yxxz7221321 yxyz證證 xz,1 yyx yz,ln xxyyzxxzyx ln1xxxyxyxyylnln11 yyxx .2z 原結(jié)論成立原結(jié)論成立例例3.,zyxyzuxuuu 求求 解：解：1 zyzxxyu)(lnzyyyyxxuz )(ln xyzzezu ;1zyzxyx 1ln zyyzxxzzyzxyxyz lnxyyxzyzlnln 證證 VRTp;2VRTVp pRTV;pRTV R
4、pVT;RVpT pTTVVp2VRT pR RV . 1 pVRT 有關(guān)偏導(dǎo)數(shù)的幾點說明：有關(guān)偏導(dǎo)數(shù)的幾點說明： 1).2).2).求求 fx (x0，y0) 時，可先將時，可先將 y0 代入得代入得 ),(),(0 xyxf ，再求再求dxd ，即即dxyxdfdxd),(0 最后再將最后再將 x0 代入代入. . 25( , )(1)arcsin,( ,1),(2,1).xxxf x yxyfxfy例例求求 ,),(21xxf 解解;),(),(xdxxdfxfx211 ;),(412 xf.),()0 , 0(),(0)0 , 0(),(),(22的偏導(dǎo)數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)求求設(shè)設(shè)yxfyxyx
5、yxxyyxf 例例 6 6解解,)0 , 0(),(時時當(dāng)當(dāng) yx22222)(2)(),(yxxyxyxyyxfx ,)()(22222yxxyy 22222)(2)(),(yxxyyyxxyxfy ,)()(22222yxyxx 3)、 求分界點、不連續(xù)點處的偏導(dǎo)數(shù)要用定義求；求分界點、不連續(xù)點處的偏導(dǎo)數(shù)要用定義求；,)0 , 0(),(時時當(dāng)當(dāng) yx按定義可知：按定義可知：xfxffxx )0 , 0()0 ,(lim)0 , 0(0 , 00lim0 xx yfyffyy )0 , 0(), 0(lim)0 , 0(0 , 00lim0 yy ,)0 , 0(),(0)0 , 0()
6、,()()(),(22222 yxyxyxxyyyxfx.)0 , 0(),(0)0 , 0(),()()(),(22222 yxyxyxyxxyxfy、偏導(dǎo)數(shù)存在與連續(xù)的關(guān)系、偏導(dǎo)數(shù)存在與連續(xù)的關(guān)系但函數(shù)在該點處并不連續(xù)但函數(shù)在該點處并不連續(xù). 偏導(dǎo)數(shù)存在偏導(dǎo)數(shù)存在 連續(xù)連續(xù).一元函數(shù)在某點可導(dǎo)一元函數(shù)在某點可導(dǎo) 連續(xù)，連續(xù)，多元函數(shù)中在某點偏導(dǎo)數(shù)存在多元函數(shù)中在某點偏導(dǎo)數(shù)存在 連續(xù)，連續(xù)，二、偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義二、偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義,),(),(,(00000上一點上一點為曲面為曲面設(shè)設(shè)yxfzyxfyxM 如圖如圖幾何意義幾何意義: :),(22yxfxzxzxxx ),(22yxfyzyz
7、yyy ),(2yxfyxzxzyxy ),(2yxfxyzyzxyx 純偏導(dǎo)純偏導(dǎo)混合偏導(dǎo)混合偏導(dǎo)定義：二階及二階以上的偏導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階偏導(dǎo)數(shù)定義：二階及二階以上的偏導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階偏導(dǎo)數(shù). .三、高階偏導(dǎo)數(shù)三、高階偏導(dǎo)數(shù)解解xz ,33322yyyx yz ;9223xxyyx 22xz ,62xy 22yz ;1823xyx 33xz ,62y xyz 2. 19622 yyxyxz 2, 19622 yyx. 02222 yuxu具備怎樣的條件才能使混合偏導(dǎo)數(shù)相等？具備怎樣的條件才能使混合偏導(dǎo)數(shù)相等？解解),ln(21ln2222yxyx 問題：問題： 混合偏導(dǎo)數(shù)都相等嗎？混合偏導(dǎo)數(shù)都相
8、等嗎？,22yxxxu ,22yxyyu ,)()(2)(222222222222yxxyyxxxyxxu .)()(2)(222222222222yxyxyxyyyxyu 2222yuxu. 0 2222222222)()(yxyxyxxy 證畢證畢例例9. 證明函數(shù)證明函數(shù)ru1 0222222 zuyuxu其中其中 222zyxr 證明：證明： 函數(shù)關(guān)于自變量對稱函數(shù)關(guān)于自變量對稱.31 ,315232252322rzrzuryryu 因此因此0333352352223222222 rrrrzyxrzuyuxu)(滿足方程滿足方程2322223222221 )()(zyxxxzyxxux
9、zyxxzyxxu223252222322222 )()(252222232223 )()(zyxxzyx.31523rxr ,)(212222221 zyxzyxu四、全微分的概念四、全微分的概念 1偏增量、偏微分及全增量偏增量、偏微分及全增量 ),(),(yxfyxxf xyxfx ),( ),(),(yxfyyxf yyxfy ),( 由一元函數(shù)微分學(xué)中增量與微分的關(guān)系得由一元函數(shù)微分學(xué)中增量與微分的關(guān)系得叫做函數(shù)在點叫做函數(shù)在點 (x，y) 對應(yīng)于自變量增量對應(yīng)于自變量增量 x、y的全增量。的全增量。 z=f (x+x，y+y)f (x，y) (1)2全微分的定義全微分的定義事實上事實
10、上),( oyBxAz , 0lim0 z 3可微的必要條件可微的必要條件 證證)( oyBxAz 總成立總成立,),(),(yxfyxxf |),(|xoxA Axyxfyxxfx ),(),(lim0,xz 同理可得同理可得.yzB 4偏導(dǎo)存在不是函數(shù)可微的充分條件偏導(dǎo)存在不是函數(shù)可微的充分條件 這是與一元函數(shù)不同之處這是與一元函數(shù)不同之處 .一元函數(shù)一元函數(shù)可微等價于可導(dǎo)?？晌⒌葍r于可導(dǎo)。 f (x，y) 在原點處偏導(dǎo)存在，但在原點處偏導(dǎo)存在，但 f(x，y) 在原點處不在原點處不連續(xù)。所以連續(xù)。所以 f (x，y) 在原點處不可微。在原點處不可微。 而多元函數(shù)而多元函數(shù)偏導(dǎo)存在不能推出
11、可微。偏導(dǎo)存在不能推出可微。 0 , 0 , 0 ,),(222222yxyxyxxyyxf例例5. 函數(shù)可微的充分條件函數(shù)可微的充分條件 證證),(),(yxfyyxxfz ),(),(yyxfyyxxf ),(),(yxfyyxf ),(),(yyxfyyxxf xyyxxfx ),(1 )10(1 在第一個方括號內(nèi)，應(yīng)用拉格朗日中值定理在第一個方括號內(nèi)，應(yīng)用拉格朗日中值定理xxyxfx 1),( （依偏導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性）（依偏導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性）xxyxfx 1),( yyyxfy 2),( z 2121 yx, 00 同理同理),(),(yxfyyxf ,),(2yyyxfy 習(xí)慣上，記全微分為
12、習(xí)慣上，記全微分為.dyyzdxxzdz 全微分的定義可推廣到三元及三元以上函數(shù)全微分的定義可推廣到三元及三元以上函數(shù).dzzudyyudxxudu 方法：方法：6. 全微分的計算全微分的計算 （2）dz= fx(x，y)dx+fy(x，y)dy （iii）P0(x0，y0) 處且處且 dx，dy 給定時的微分。給定時的微分。 （1）先求）先求 fx(x，y)、fy(x，y)，判斷判斷 f (x，y) 的可微性。的可微性。 (利用充分條件）利用充分條件）幾類全微分：幾類全微分：(i) P(x，y) 處的微分；處的微分； （ii）P0(x0，y0) 處的微分；處的微分；例例1.（1）計算）計算
13、z = x2y+y3 的全微分；的全微分； （2）計算）計算 z = x2y+y3 在點在點 (2，1) 處的全微分；處的全微分； （3）計算計算 z = x2y+y3 在點在點 ( (2，1) ) 處相應(yīng)于處相應(yīng)于 x=0.1，y=0.1 時的全微分。時的全微分。 解解:（1）223,2yxyzxyxz dyyxxydxdz)3(222 （2）7 , 4)1 ,2()1 ,2( yzxzdydxdz74 （3）當(dāng)）當(dāng) x=0.1，y=0.1 時，時，0.40.70.3dz 有有 解解, 1 xu,2cos21yzzeyyu ,yzyezu 所求全微分所求全微分.)2cos21(dzyedyzeydxduyzyz 7 多元函數(shù)連續(xù)、可導(dǎo)、可微的關(guān)系多元函數(shù)連續(xù)、可導(dǎo)、可微的關(guān)系函數(shù)可微函數(shù)可微函數(shù)連續(xù)函數(shù)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)偏導(dǎo)存在偏導(dǎo)存在1 偏導(dǎo)數(shù)的定義偏導(dǎo)數(shù)的定義2 偏導(dǎo)數(shù)的計算、偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義偏導(dǎo)數(shù)的計算、偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義3 高階偏導(dǎo)數(shù)高階偏導(dǎo)數(shù) 純偏導(dǎo)純偏導(dǎo)混合偏導(dǎo)混合偏導(dǎo)（相等的條件）（相等的條件）五、小結(jié)五、小結(jié)4 多元函數(shù)全微分的概念；多元函數(shù)全微分的概念；5 多元函數(shù)全微分的求法；多元函數(shù)全微分的求法；6 多元函數(shù)連續(xù)、可導(dǎo)、可微的關(guān)系多元函數(shù)連續(xù)、可導(dǎo)、可微的關(guān)系（注意：與一元函數(shù)有很大區(qū)別）（注意：與一元函數(shù)有很大區(qū)別）
高等數(shù)學(xué)：7-2 偏導(dǎo)數(shù)與全微分
