高等數(shù)學(xué)備課教案：第十二章 無窮級(jí)數(shù) 第三節(jié) 一般常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)

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1、第三節(jié) 一般常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) 上節(jié)我們討論了關(guān)于正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性的判別法，本節(jié)我們要進(jìn)一步討論關(guān)于一般常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性的判別法，這里所謂“一般常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)”是指級(jí)數(shù)的各項(xiàng)可以是正數(shù)、負(fù)數(shù)或零. 先來討論一種特殊的級(jí)數(shù)——交錯(cuò)級(jí)數(shù)，然后再討論一般常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù). 分布圖示 ★ 交錯(cuò)級(jí)數(shù) ★ 例1 ★ 例2 ★ 絕對(duì)收斂與條件收斂 ★ 例3 ★ 例4 ★ 例5 ★ 例6 ★ 例7 ★ 絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)的性質(zhì)（1） ★ 絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)的性質(zhì)（2） ★ 例8 ★ 內(nèi)容小結(jié) ★ 課堂練習(xí) ★ 習(xí)題12-3 ★ 返回 內(nèi)容要點(diǎn) 一、交錯(cuò)

2、級(jí)數(shù)收斂性的判別法； 二、絕對(duì)收斂：如果收斂，則稱為絕對(duì)收斂；根據(jù)這個(gè)結(jié)果，我們可以將許多一般常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂性判別問題轉(zhuǎn)化為正項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂性判別問題； 條件收斂：如果發(fā)散，但收斂，則稱條件收斂. 三、了解絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)的性質(zhì)：絕對(duì)收斂的級(jí)數(shù)重排后得到的新級(jí)數(shù)也絕對(duì)收斂，且其和相等； 四、級(jí)數(shù)的乘法運(yùn)算：按“對(duì)角線法”排列所組成的級(jí)數(shù) 稱為級(jí)數(shù)與的柯西乘積. 例題選講 交錯(cuò)級(jí)數(shù)判別法的應(yīng)用 例1（E01）判斷級(jí)數(shù)的收斂性. 解 易見題設(shè)級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)滿足: 所以級(jí)數(shù)收斂,其和用近似產(chǎn)生的誤差 注：判別交錯(cuò)級(jí)數(shù)

3、（其中）的收斂性時(shí)，如果數(shù)列單調(diào)減少不容易判斷，可通過驗(yàn)證當(dāng)充分大時(shí)，來判斷當(dāng)充分大時(shí)數(shù)列的單調(diào)減少；如果直接求極限有困難，亦可通過求（假定它存在）來求. 例2（E02）判斷的收斂性. 解 由于所以是交錯(cuò)級(jí)數(shù).令有 即時(shí)，是遞減數(shù)列,又利用洛必達(dá)法 則有 則由萊布尼茨定理知該級(jí)數(shù)收斂. 絕對(duì)收斂與條件收斂 例3（E03）判別級(jí)數(shù)的收斂性. 解 由易見當(dāng)時(shí)，題設(shè)級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂; 當(dāng)時(shí)，由萊布尼茨定理知收斂，但發(fā)散，故題設(shè)級(jí)數(shù)條件收斂. 例4（E04）判別級(jí)數(shù)的收斂性. 解 而收斂,收斂,故由定理知原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂. 例5 判定級(jí)數(shù)的收斂性. 解

4、 由有 而 可知因此所給級(jí)數(shù)發(fā)散. 例6（E05）判別級(jí)數(shù)的收斂性. 解 這是一個(gè)交錯(cuò)級(jí)數(shù),令考察級(jí)數(shù)是否絕對(duì)收斂, 采用比值審斂法: 所以原級(jí)數(shù)非絕對(duì)收斂. 由可知當(dāng)充分大時(shí),有故所以原級(jí)數(shù)發(fā)散. 例7 判別級(jí)數(shù)的收斂性. 解 因?yàn)? 即且 由交錯(cuò)級(jí)數(shù)審斂法，原級(jí)數(shù)收斂.另一方面,而發(fā)散, 故發(fā)散.于是級(jí)數(shù)是條件收斂的. 柯西乘積的應(yīng)用 例8（E06）證明 證 由知級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，故可寫成 其中 由定理 6,得 課堂練習(xí) 1. 判別級(jí)數(shù)的收斂性. 2. 設(shè)正項(xiàng)數(shù)列單調(diào)減少, 且級(jí)數(shù)發(fā)散, 試問級(jí)數(shù)是否收斂并說明理由?