高等數(shù)學(xué)備課教案：第三章 中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 第六節(jié)函數(shù)圖形的描繪

第六節(jié) 函數(shù)圖形的描繪分布圖示 引言 漸近線 例1 函數(shù)圖形描繪的步驟 例2 例3 例4 例5 內(nèi)容小結(jié) 課堂練習(xí) 習(xí)題3-6 返回內(nèi)容要點(diǎn) 一、漸近線的概念 水平漸近線 鉛直漸近線 斜漸近線； 二、函數(shù)圖形的描繪：對(duì)于一個(gè)函數(shù)，若能作出其圖形，就能從直觀上了解該函數(shù)的性態(tài)特征，并可從其圖形清楚地看出因變量與自變量之間的相互依賴關(guān)系. 在中學(xué)階段，我們利用描點(diǎn)法來(lái)作函數(shù)的圖形. 這種方法常會(huì)遺漏曲線的一些關(guān)鍵點(diǎn)，如極值點(diǎn)、拐點(diǎn)等. 使得曲線的單調(diào)性、凹凸性等一些函數(shù)的重要性態(tài)難以準(zhǔn)確顯示出來(lái). 本節(jié)我們要利用導(dǎo)數(shù)描繪函數(shù)的圖形，其一般步驟如下:第一步 確定函數(shù)的定義域, 研究函數(shù)特性如: 奇偶性、周期性、有界性等, 求出函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù);第二步 求出一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)在函數(shù)定義域內(nèi)的全部零點(diǎn)，并求出函數(shù)的間斷點(diǎn)和導(dǎo)數(shù)和不存在的點(diǎn), 用這些點(diǎn)把函數(shù)定義域劃分成若干個(gè)部分區(qū)間;第三步 確定在這些部分區(qū)間內(nèi)和的符號(hào), 并由此確定函數(shù)的增減性和凹凸性，極值點(diǎn)和拐點(diǎn);第四步 確定函數(shù)圖形的水平、鉛直漸近線以及其它變化趨勢(shì);第五步 算出和的零點(diǎn)以及不存在的點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，并在坐標(biāo)平面上定出圖形上相應(yīng)的點(diǎn)；有時(shí)還需適當(dāng)補(bǔ)充一些輔助作圖點(diǎn)(如與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)和曲線的端點(diǎn)等)； 然后根據(jù)第三、四步中得到的結(jié)果，用平滑曲線聯(lián)接而畫(huà)出函數(shù)的圖形.例題選講求曲線漸近線例1(E01) 求的漸近線.解 易見(jiàn)函數(shù)的定義域?yàn)槭乔€的鉛直漸近線.又是曲線的一條斜漸近線.例2(E02) 按照以下步驟作出函數(shù)的圖形.(1) 求和;(2) 分別求和的零點(diǎn);(3) 確定函數(shù)的增減性、凹凸性、極值點(diǎn)和拐點(diǎn);(4) 作出函數(shù)的圖形.解 (1) ，.(2) 由，得到和.由，得到和.(3) 列表確定函數(shù)升降區(qū)間、凹凸區(qū)間及極值和拐點(diǎn)：23 -0- 0-0+0-0+0+拐點(diǎn)拐點(diǎn)極值點(diǎn)(4) 算出，處的函數(shù)值，.根據(jù)以上結(jié)論，用平滑曲線連接這些點(diǎn)，就可以描繪函數(shù)的圖形.例3 作函數(shù)的圖形.解 定義域?yàn)闊o(wú)奇偶性及周期性.令得 令得列表綜合如下:+00+極大值拐點(diǎn)極小值0補(bǔ)充點(diǎn): 綜合作出圖形.函數(shù)作圖例4 (E03) 作函數(shù)的圖形.解 非奇非偶函數(shù)，且無(wú)對(duì)稱性.令得令得 得水平漸近線 得鉛直漸近線列表綜合如下:0+不存在0+拐點(diǎn)極值點(diǎn)-3間斷點(diǎn)補(bǔ)充點(diǎn): 作出圖形例5 (E04) 作函數(shù) 的圖形.解 函數(shù)定義域且偶函數(shù),圖形關(guān)于軸對(duì)稱.令得駐點(diǎn)令得特殊點(diǎn)得水平漸近線列表確定函數(shù)升降區(qū)間，凹凸區(qū)間及極值點(diǎn)與拐點(diǎn):+0+00+拐點(diǎn)極大值拐點(diǎn)綜合作出圖形課堂練習(xí)1.兩坐標(biāo)軸是否都是函數(shù)的漸近線?2.若函數(shù)有并且當(dāng)時(shí), , 否則 當(dāng)時(shí), , 否則則(1) 函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(注明增減)是(2) 函數(shù)曲線的凹向和拐點(diǎn)是(3) 當(dāng)時(shí), 函數(shù)取得極大值(4) 函數(shù)的漸近線有