高考數(shù)學 17-18版 附加題部分 第1章 第62課 課時分層訓練6

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1、 課時分層訓練(六) A組　基礎達標 (建議用時：30分鐘) 1．某班從4名男生、2名女生中選出3人參加志愿者服務，若選出的男生人數(shù)為ξ，求ξ的方差． [解]　依題意，隨機變量ξ服從超幾何分布，ξ可能的取值為1,2,3. P(ξ＝k)＝，k＝1,2,3. ξ的概率分布為 ξ 1 2 3 P E(ξ)＝1×＋2×＋3×＝2. V(ξ)＝×(1－2)2＋×(2－2)2＋×(3－2)2＝0.4. 2．現(xiàn)有一游戲裝置如圖62-2，小球從最上方入口處投入，每次遇到黑色障礙物等可能地向左、右兩邊落下．游戲規(guī)則為：若小球最終落入A槽，得10張獎票，若落入B槽，得5張

2、獎票；若落入C槽，得重投一次的機會，但投球的總次數(shù)不超過3次． 圖62-2 (1)求投球一次，小球落入B槽的概率； (2)設玩一次游戲能獲得的獎票數(shù)為隨機變量X，求X的概率分布及均值. 【導學號：62172336】 [解]　(1)由題意可知投一次小球，落入B槽的概率為2＋2＝. (2)落入A槽的概率為2＝， 落入B槽的概率為， 落入C槽的概率為2＝. X的所有可能取值為0,5,10， P(X＝0)＝3＝， P(X＝5)＝＋×＋2×＝. P(X＝10)＝＋×＋2×＝. 所以X的概率分布為 X 0 5 10 P E(X)＝0×＋5×＋10×＝

3、. 3．(2017·南通二調)一個摸球游戲，規(guī)則如下：在一不透明的紙盒中，裝有6個大小相同、顏色各異的玻璃球．參加者交費1元可玩1次游戲，從中有放回地摸球3次．參加者預先指定盒中的某一種顏色的玻璃球，然后摸球．當所指定的玻璃球不出現(xiàn)時，游戲費被沒收；當所指定的玻璃球出現(xiàn)1次，2次，3次時，參加者可相應獲得游戲費的0倍，1倍，k倍的獎勵(k∈N＋)，且游戲費仍退還給參加者．記參加者玩1次游戲的收益為X元． (1)求概率P(X＝0)的值； (2)為使收益X的數(shù)學期望不小于0元，求k的最小值． (注：概率學源于賭博，請自覺遠離不正當?shù)挠螒颍? 【導學號：62172337】 [解]　(1)事

4、件“X＝0”表示“有放回的摸球3回，所指定的玻璃球只出現(xiàn)1次”， 則P(X＝0)＝3××2＝. (2)依題意，X的可能值為k，－1,1,0， 且P(X＝k)＝3＝，P(X＝－1)＝3＝，P(X＝1)＝3×2×＝，P(X＝0)＝， 結合(1)知，參加游戲者的收益X的數(shù)學期望為 E(X)＝k×＋(－1)×＋1×＝(元)． 為使收益X的數(shù)學期望不小于0元，所以k≥110，即kmin＝110. 4．(2016·山東高考)甲、乙兩人組成“星隊”參加猜成語活動，每輪活動由甲、乙各猜一個成語．在一輪活動中，如果兩人都猜對，則“星隊”得3分；如果只有一人猜對，則“星隊”得1分；如果兩人都沒猜對，

5、則“星隊”得0分．已知甲每輪猜對的概率是，乙每輪猜對的概率是；每輪活動中甲、乙猜對與否互不影響，各輪結果亦互不影響．假設“星隊”參加兩輪活動，求： (1)“星隊”至少猜對3個成語的概率； (2)“星隊”兩輪得分之和X的概率分布和數(shù)學期望E(X)． [解]　(1)記事件A：“甲第一輪猜對”， 記事件B：“乙第一輪猜對”， 記事件C：“甲第二輪猜對”， 記事件D：“乙第二輪猜對”， 記事件E：“‘星隊’至少猜對3個成語”． 由題意，E＝ABCD＋BCD＋ACD＋ABD＋ABC， 由事件的獨立性與互斥性， P(E)＝P(ABCD)＋P(BCD)＋P(ACD)＋P(ABD)＋P(A

6、BC)＝P(A)P(B)P(C)P(D)＋P()P(B)P(C)P(D)＋P(A)P()P(C)P(D)＋P(A)P(B)P()P(D)＋P(A)P(B)P(C)P()＝×××＋2×＝， 所以“星隊”至少猜對3個成語的概率為. (2)由題意，隨機變量X可能的取值為0,1,2,3,4,6. 由事件的獨立性與互斥性，得 P(X＝0)＝×××＝， P(X＝1)＝2× ＝＝， P(X＝2)＝×××＋×××＋×××＋×××＝， P(X＝3)＝×××＋×××＝＝， P(X＝4)＝2× ＝＝， P(X＝6)＝×××＝＝. 可得隨機變量X的概率分布為 X 0 1 2 3 4

7、 6 P 所以數(shù)學期望E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＋6×＝. B組　能力提升 (建議用時：15分鐘) 1．(2016·南京鹽城二模)甲、乙兩人投籃命中的概率分別為與，各自相互獨立．現(xiàn)兩人做投籃游戲，共比賽3局，每局每人各投一球． (1)求比賽結束后甲的進球數(shù)比乙的進球數(shù)多1個的概率； (2)設ξ表示比賽結束后甲、乙兩人進球數(shù)的差的絕對值，求ξ的概率分布和數(shù)學期望E(ξ)． [解]　(1)比賽結束后甲的進球數(shù)比乙的進球數(shù)多1個有以下幾種情況： 甲進1球，乙進0球；甲進2球，乙進1球；甲進3球，乙進2球． 所以比賽結束后甲的進球數(shù)比乙的進球數(shù)

8、多1個的概率 P＝C23＋C2C3＋C3C3＝. (2)ξ的取值為0,1,2,3，所以ξ的概率分布列為 ξ 0 1 2 3 P 所以數(shù)學期望E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝1. 2．計劃在某水庫建一座至多安裝3臺發(fā)電機的水電站．過去50年的水文資料顯示，水庫年入流量X(年入流量：一年內上游來水與庫區(qū)降水之和，單位：億立方米)都在40以上．其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超過120的年份有35年，超過120的年份有5年．將年入流量在以上三段的頻率作為相應段的概率，并假設各年的年入流量相互獨立． (1)求未來4年中，至多有1年的年入流量超過120

9、的概率； (2)水電站希望安裝的發(fā)電機盡可能運行，但每年發(fā)電機最多可運行臺數(shù)受年入流量X限制，并有如下關系： 年入流量X 40＜X＜80 80≤X≤120 X＞120 發(fā)電機最多 可運行臺數(shù) 1 2 3 若某臺發(fā)電機運行，則該臺年利潤為5 000萬元；若某臺發(fā)電機未運行，則該臺年虧損800萬元．欲使水電站年總利潤的均值達到最大，應安裝發(fā)電機多少臺？ [解]　(1)依題意，p1＝P(40＜X＜80)＝＝0.2，p2＝P(80≤X≤120)＝＝0.7， p3＝P(X＞120)＝＝0.1. 由二項分布知，在未來4年中至多有1年的年入流量超過120的概率為 p

10、＝C(1－p3)4＋C(1－p3)3p3＝4＋4×3×＝0.947 7. (2)記水電站年總利潤為Y(單位：萬元)． ①安裝1臺發(fā)電機的情形． 由于水庫年入流量總大于40，故一臺發(fā)電機運行的概率為1，對應的年利潤Y＝5 000，E(Y)＝5 000×1＝5 000. ②安裝2臺發(fā)電機的情形． 依題意知，當40＜X＜80時，一臺發(fā)電機運行，此時Y＝5 000－800＝4 200，因此P(Y＝4 200)＝P(40＜X＜80)＝p1＝0.2；當X≥80時，兩臺發(fā)電機運行，此時Y＝5 000×2＝10 000，因此P(Y＝10 000)＝P(X≥80)＝p2＋p3＝0.8.由此得Y的分布列

11、如下： Y 4 200 10 000 P 0.2 0.8 所以，E(Y)＝4 200×0.2＋10 000×0.8＝8 840. ③安裝3臺發(fā)電機的情形． 依題意，當40＜X＜80時，一臺發(fā)電機運行，此時Y＝5 000－1 600＝3 400，因此P(Y＝3 400)＝P(40＜X＜80)＝p1＝0.2；當80≤X≤120時，兩臺發(fā)電機運行，此時Y＝5 000×2－800＝9 200，因此P(Y＝9 200)＝P(80≤X≤120)＝p2＝0.7；當X＞120時，三臺發(fā)電機運行，此時Y＝5 000×3＝15 000，因此P(Y＝15 000)＝P(X＞120)＝p3＝0.1，

12、由此得Y的分布列如下： Y 3 400 9 200 15 000 P 0.2 0.7 0.1 所以，E(Y)＝3 400×0.2＋9 200×0.7＋15 000×0.1＝8 620. 綜上，欲使水電站年總利潤的均值達到最大，應安裝發(fā)電機2臺． 3．(2017·南通模擬)一位網民在網上光顧某網店，經過一番瀏覽后，對該店鋪中的A，B，C三種商品有購買意向．已知該網民購買A種商品的概率為，購買B種商品的概率為，購買C種商品的概率為.假設該網民是否購買這三種商品相互獨立． (1)求該網民至少購買2種商品的概率； (2)用隨機變量h表示該網民購買商品的種數(shù)，求h的概率分布和數(shù)

13、學期望． [解]　(1)記“該網民購買i種商品”為事件Ai，i＝2,3，則：P(A3)＝××＝， P(A2)＝××＋××＋××＝， 所以該網民至少購買2種商品的概率為P(A3)＋P(A2)＝＋＝. 該網民至少購買2種商品的概率為. (2)隨機變量h的可能取值為0,1,2,3， P(h＝0)＝××＝， 又P(h＝2)＝P(A2)＝，P(h＝3)＝P(A3)＝，所以P(h＝1)＝1－－－＝. 所以隨機變量h的概率分布為： h 0 1 2 3 P 故數(shù)學期望E(h)＝0×＋1×＋2×＋3×＝. 4．(2017·蘇州市期中)某公司對新招聘的員工張某進行綜

14、合能力測式，共設置了A，B，C三個測試項目．假定張某通過項目A的概率為，通過項目B，C的概率均為a(0