高等數(shù)學(xué)期末復(fù)習(xí)：4-3n 分部積分法

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1、問題問題 ?dxxex解決思路解決思路利用兩個(gè)函數(shù)乘積的求導(dǎo)法則利用兩個(gè)函數(shù)乘積的求導(dǎo)法則.設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù))(xuu 和和)(xvv 具具有有連連續(xù)續(xù)導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù), ,vuvuuv , vuuvvu ,dxvuuvdxvu .duvuvudv 分部積分公式分部積分公式4.3 分部積分法分部積分法例例1 1 求積分求積分.ln xdx解解 xdxln.lnCxxx xxdxxlnln例例2 2 求積分求積分.arctan xdx解解 xdxarctan)(arctanarctanxdxxx dxxxxx21arctan .)1ln(21arctan2Cxxx 例例3 3 求積分求積分.ln3 xdxx

2、解解 xdxx ln3 dxxxx3441ln41.161ln4144Cxxx 4ln4xxd例例4 4 求積分求積分.arctan xdxx解解 xdxxarctan)(arctan2arctan222xdxxx dxxxxx222112arctan2 dxxxx)111(21arctan222 .)arctan(21arctan22Cxxxx 2arctan2xxd例例5 5 求積分求積分.2 dxexx解解 dxexx2 dxxeexxx22.)(22Cexeexxxx （再次使用分部積分法）（再次使用分部積分法） )(2xedx xxxdeex22例例6 6 求積分求積分.cos xd

3、xx解（一）解（一） xdxxcos xdxxxxsin2cos222顯然，顯然， 選擇不當(dāng)選擇不當(dāng)，積分更難進(jìn)行，積分更難進(jìn)行.vu ,解（二）解（二） xdxxcos xxdsin xdxxxsinsin.cossinCxxx )2(cos2xxd例例7 7 求積分求積分.sin xdxex解解 xdxexsin xxdesin )(sinsinxdexexx xdxexexxcossin xxxdexecossin )coscos(sinxdexexexxx xdxexxexxsin)cos(sin xdxexsin.)cos(sin2Cxxex 注意循環(huán)形式注意循環(huán)形式例例8 8 證明

4、證明.)()1()()(0)( Cxpedxxpenxpnkkkxx次多項(xiàng)式，則次多項(xiàng)式，則是是設(shè)設(shè)證明：證明： dxxpenx)(1時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)dxexpxpexx )()( xdexp)(Cexpxpexx )()(.)()1()()(0)( Cxpedxxpenxpnkkkxx次多項(xiàng)式，有次多項(xiàng)式，有是是設(shè)設(shè).)()()(1)( dxexpxpedxxpenxpxxx次多項(xiàng)式時(shí)，次多項(xiàng)式時(shí)，是是當(dāng)當(dāng).)()()(1)( dxexpxpedxxpenxpxxx次多項(xiàng)式時(shí)，次多項(xiàng)式時(shí)，是是當(dāng)當(dāng)Cxpexpenkkkxx 0)()()1()(Cxpexpenkkkxx 0)1(1)()1()(

5、.)()1(10)(Cxpenkkkx 例例9 9 求積分求積分 .1arctan2dxxxx解解 ,1122xxx dxxxx21arctan 21arctanxxd)(arctan1arctan122xdxxx dxxxxx222111arctan1 dxxxx 2211arctan1令令txtan dxx 211 tdtt22sectan11 tdtsecCtt )tanln(secCxx )1ln(2 dxxxx21arctanxx arctan12 .)1ln(2Cxx 例例1010 求積分求積分 .sec3xdx例例1111 求積分求積分 .dxex例例1212 求積分求積分 .d

6、xxInn)1(12解解 dxxfx)( )(xxdf,)()( dxxfxxf,)(2 Cedxxfx兩邊同時(shí)對兩邊同時(shí)對 求導(dǎo)求導(dǎo), 得得x,2)(2xxexf dxxfx)( dxxfxxf)()(222xex .2Cex 作業(yè)作業(yè)習(xí)題習(xí)題4.3 1(2,4,6,8, 9,10,13).一、填空題：一、填空題：1 1、 xdxxsin_；2 2、 xdxarcsin_；3 3、計(jì)算、計(jì)算 xdxx ln2， u可設(shè)可設(shè)_ _ , , dv_；4 4、計(jì)算、計(jì)算 xdxexcos， u可設(shè)可設(shè)_ _ _ , , dv_；5 5、計(jì)算、計(jì)算 xdxx arctan2， u可設(shè)可設(shè)_ _ ,

7、, dv_； 6 6、 計(jì)計(jì)算算 dxxex， u可可設(shè)設(shè)_ _ _ _ _ _ _, , dv_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . .二、二、 求下列不定積分：求下列不定積分：1 1、 dxxx2cos22； 2 2、 dxxx23)(ln；練練 習(xí)習(xí) 題題3、 nxdxeaxcos； 4、 dxex3；5、 dxx)cos(ln； 6、 dxxxex232arctan)1( .三三、 已已知知xxsin是是)(xf的的原原函函數(shù)數(shù)，求求 dxxxf)(. .四四、 設(shè)設(shè) CxFdxxf)()(，)(xf可可微微，且且)(xf的的反反函函數(shù)數(shù))(1xf 存存在在，則則 CxfFxx

8、fdxxf )()()(111. .一、一、1 1、Cxxx sincos； 2 2、Cxxx 21arcsin； 3 3、dxxx2,ln； 4 4、,xe xdxcos； 5 5、dxxx2,arctan； 6 6、dxexx ,. .二、二、1、Cxxxxxx sincossin21623； 2、Cxxxx 6ln6)(ln3)(ln123； 3、Cnxnnxanaeax )sincos(22 4、Cxxex )22(33323；練習(xí)題答案練習(xí)題答案 5 5、Cxxx )sin(ln)cos(ln2； 6 6、Cexxx arctan2121； 7 7、Cexexexxxx 22. .三、三、Cxxx sin2cos. .