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第九節(jié) 函數(shù)模型及其應(yīng)用
高頻考點
考點一 一次函數(shù)、二次函數(shù)模型
1．以二次函數(shù)為模型的應(yīng)用題常出現(xiàn)在高考試題中，既有選擇題、填空題，也有解答題，難度適中，屬中檔題．
2．高考對一次函數(shù)、二次函數(shù)模型的考查主要有以下兩個命題角度：
(1)單一考查一次函數(shù)或二次函數(shù)模型的建立及最值問題；
(2)以分段函數(shù)的形式考查一次函數(shù)和二次函數(shù)．
[例1] (1)(2013·陜西高考)在如圖所示的銳角三角形空地中， 欲建一個面積最大的內(nèi)接矩形花園(陰影部分), 則其邊長x為________m.
(2)(2011·湖北
2、高考)提高過江大橋的車輛通行能力可改善整個城市的交通狀況．在一般情況下，大橋上的車流速度v(單位：千米/時)是車流密度x(單位：輛/千米)的函數(shù)．當橋上的車流密度達到200輛/千米時，造成堵塞，此時車流速度為0；當車流密度不超過20輛/千米時，車流速度為60千米/時．研究表明：當20≤x≤200時，車流速度v是車流密度x的一次函數(shù)．
①當0≤x≤200時，求函數(shù)v(x)的表達式；[來源:]
②當車流密度x為多大時，車流量(單位時間內(nèi)通過橋上某觀測點的車輛數(shù)，單位：輛/時)f(x)＝x·v(x)可以達到最大，并求出最大值．(精確到1輛/時)
[自主解答] (1)設(shè)內(nèi)接矩形另一邊長為y，則由
3、相似三角形性質(zhì)可得＝，解得y＝40－x，所以面積S＝x(40－x)＝－x2＋40x＝－(x－20)2＋400(0
4、x)在區(qū)間[20,200]上取得最大值.
綜上，當x＝100時，f(x)在區(qū)間[0,200]上取得最大值≈3 333，[來源:]
即當車流密度為100輛/千米時，車流量可以達到最大，最大值約為3 333輛/時．
[答案] (1)20
一次函數(shù)、二次函數(shù)模型問題的常見類型及解題策略
(1)直接考查一次函數(shù)、二次函數(shù)模型．解決此類問題應(yīng)注意三點：①二次函數(shù)的最值一般利用配方法與函數(shù)的單調(diào)性解決，但一定要密切注意函數(shù)的定義域，否則極易出錯；②確定一次函數(shù)模型時，一般是借助兩個點來確定，常用待定系數(shù)法；③解決函數(shù)應(yīng)用問題時，最后要還原到實際問題．
(2)以分段函數(shù)的形式考查．解決此類問
5、題應(yīng)關(guān)注以下三點：①實際問題中有些變量間的關(guān)系不能用同一個關(guān)系式給出，而是由幾個不同的關(guān)系式構(gòu)成，如出租車票價與路程之間的關(guān)系，應(yīng)構(gòu)建分段函數(shù)模型求解；②構(gòu)造分段函數(shù)時，要力求準確、簡潔，做到分段合理、不重不漏；③分段函數(shù)的最值是各段的最大(或最小)者的最大者(最小者)．
1．(2013·上海高考)甲廠以x千克/小時的速度勻速生產(chǎn)某種產(chǎn)品(生產(chǎn)條件要求1≤x≤10)，每一小時可獲得的利潤是100元．
(1)求證：生產(chǎn)a千克該產(chǎn)品所獲得的利潤為100a·元；
(2)要使生產(chǎn)900千克該產(chǎn)品獲得的利潤最大，問：甲廠應(yīng)該選取何種生產(chǎn)速度？并求此最大利潤．
解：(1)生產(chǎn)a千克該產(chǎn)品所用的
6、時間是 小時，
∵每一小時可獲得的利潤是100 元，[來源:]
∴獲得的利潤為100× 元．
因此生產(chǎn)a千克該產(chǎn)品所獲得的利潤為100 a元．
(2)生產(chǎn)900千克該產(chǎn)品獲得的利潤為90 000元，1≤x≤10.
設(shè)f(x)＝－＋＋5,1≤x≤10.
則f(x)＝－32＋＋5，當且僅當x＝6取得最大值．
故獲得最大利潤為90 000×＝457 500元．[來源:]
因此甲廠應(yīng)以6千克/小時的速度生產(chǎn)，可獲得最大利潤457 500元．
2．據(jù)氣象中心觀察和預測：發(fā)生于M地的沙塵暴一直向正南方向移動，其移動速度v(km/h)與時間t(h)的函數(shù)圖象如圖所示，過線段OC上一點T
7、(t,0)作橫軸的垂線l，梯形OABC在直線l左側(cè)部分的面積即為t(h)內(nèi)沙塵暴所經(jīng)過的路程s(km)．
(1)當t＝4時，求s的值；
(2)將s隨t變化的規(guī)律用數(shù)學關(guān)系式表示出來；
(3)若N城位于M地正南方向，且距M地650 km，試判斷
這場沙塵暴是否會侵襲到N城，如果會，在沙塵暴發(fā)生后多長時間它將侵襲到N城？如果不會，請說明理由．
解：(1)由圖象可知：
當t＝4時，v＝3×4＝12，
∴s＝×4×12＝24.
(2)當0≤t≤10時，s＝·t·3t＝t2；
當10
8、0＋10×30＋(t－20)×30－×(t－20)×2(t－20)＝－t2＋70t－550.
綜上，可知s＝
(3)沙塵暴會侵襲到N城．
∵t∈[0,10]時，smax＝×102＝150<650，
t∈(10,20]時，smax＝30×20－150＝450<650，
∴當t∈(20,35]時，令－t2＋70t－550＝650.
解得t1＝30，t2＝40.
∵20
9、用20年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建造成本為6萬元．該建筑物每年的能源消耗費用C(單位：萬元)與隔熱層厚度x(單位：cm)滿足關(guān)系C(x)＝(0≤x≤10)，若不建隔熱層，每年能源消耗費用為8萬元，設(shè)f(x)為隔熱層建造費用與20年的能源消耗費用之和．
(1)求k的值及f(x)的表達式；
(2)隔熱層修建多厚時，總費用f(x)達到最小，并求最小值．
[自主解答] (1)由已知條件得C(0)＝8，則k＝40，
因此f(x)＝6x＋20C(x)＝6x＋(0≤x≤10)．
(2)f(x)＝6x＋10＋－10
≥2 －10
＝70(萬元)，
當且僅當6x＋10＝，
即x＝5時
10、等號成立．
所以當隔熱層厚度為5 cm時，總費用f(x)達到最小值，最小值為70萬元．
【方法規(guī)律】
把實際問題數(shù)學化、建立數(shù)學模型一定要過好的三關(guān)
(1)事理關(guān)：通過閱讀、理解，明確問題講的是什么，熟悉實際背景，為解題找出突破口；
(2)文理關(guān)：將實際問題的文字語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學符號語言，用數(shù)學式子表達數(shù)學關(guān)系；
(3)數(shù)理關(guān)：在構(gòu)建數(shù)學模型的過程中，對已知數(shù)學知識進行檢索，從而認定或構(gòu)建相應(yīng)的數(shù)學模型．
(2014·杭州模擬)某村計劃建造一個室內(nèi)面積為800 m2的矩形蔬菜溫室，在溫室內(nèi)，沿左、右兩側(cè)與后側(cè)內(nèi)墻各保留1 m寬的通道，沿前側(cè)內(nèi)墻保留3 m寬的空地，當矩形溫室
11、的邊長各為多少時，蔬菜的種植面積最大？最大面積是多少？[來源:]
解：設(shè)溫室的左側(cè)邊長為x m，
則后側(cè)邊長為 m.
∴蔬菜種植面積
y＝(x－4)＝808－2(40)．
(1)
12、如果m＝2，求經(jīng)過多長時間，物體的溫度為5攝氏度；
(2)若物體的溫度總不低于2攝氏度，求m的取值范圍．
[自主解答] (1)若m＝2，
則θ＝2·2t＋21－t＝2，
當θ＝5時，2t＋＝，
令2t＝x(x≥1)，則x＋＝，
即2x2－5x＋2＝0，
解得x＝2或x＝(舍去)，此時t＝1.
所以經(jīng)過1分鐘，物體的溫度為5攝氏度．
(2)物體的溫度總不低于2攝氏度，
即θ≥2恒成立，
亦m·2t＋≥2恒成立．
亦即m≥2恒成立．
令＝y(tǒng)，則0
13、
【方法規(guī)律】
應(yīng)用指數(shù)函數(shù)模型應(yīng)注意的問題
(1)指數(shù)函數(shù)模型，常與增長率相結(jié)合進行考查，在實際問題中有人口增長、銀行利率、細胞分裂等增長問題可以利用指數(shù)函數(shù)模型來解決；
(2)應(yīng)用指數(shù)函數(shù)模型時，關(guān)鍵是對模型的判斷，先設(shè)定模型，再將已知有關(guān)數(shù)據(jù)代入驗證，確定參數(shù)，從而確定函數(shù)模型；
(3)y＝a(1＋x)n通常利用指數(shù)運算與對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求解．
一個人喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3 mg/mL，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小時25%的速度減少，為了保障交通安全，某地根據(jù)《道路交通安全法》規(guī)定：駕駛員血液中的酒精含量不得超過0.09 mg/mL，那么
14、，此人至少經(jīng)過________小時才能開車．(精確到1小時)
解析：設(shè)經(jīng)過x小時才能開車．
由題意得0.3(1－25%)x≤0.09，
∴0.75x≤0.3，x≥log0.750.3≈5.
答案：5
—————————————[課堂歸納——通法領(lǐng)悟]————————————————
1個防范——實際問題的定義域
要特別關(guān)注實際問題的自變量的取值范圍，合理確定函數(shù)的定義域．
1個步驟——解決實際應(yīng)用問題的一般步驟
(1)審題：弄清題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系，初步選擇數(shù)學模型；
(2)建模：將自然語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學語言，將文字語言轉(zhuǎn)化為符號語言，利用數(shù)學知識，建立相應(yīng)的數(shù)學模型；
(3)求模：求解數(shù)學模型，得出數(shù)學結(jié)論；
(4)還原：將數(shù)學問題還原為實際問題的意義．
以上過程用框圖表示如下：
答
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高考數(shù)學復習：第二章 ：第九節(jié) 函數(shù)模型及其應(yīng)用突破熱點題型
