3高中數(shù)學(xué)三角函數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

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1、 高考三角函數(shù) 1.特殊角的三角函數(shù)值： sin= 0 cos= 1 tan= 0 sin3= cos3= tan3= sin= cos= tan=1 sin6= cos6= tan6= sin9=1 cos9=0 tan9無(wú)意義 2．角度制與弧度制的互化： 3 6 9 18 27 36 0 3.弧長(zhǎng)及扇形面積公式 弧長(zhǎng)公式： 扇形面積公式:S= ----是圓心角且為弧度制。 r-----是扇形半徑 4.任意角的三角函數(shù) 設(shè)是一個(gè)任意角，它的終邊上一點(diǎn)p〔x,y

2、〕, r= (1)正弦sin= 余弦cos= 正切tan= (2)各象限的符號(hào)： — + + — - x y ++ O — — + x y O — + — + y O sin cos tan 5.同角三角函數(shù)的根本關(guān)系： 〔1〕平方關(guān)系：sin2+ cos2=1?！?〕商數(shù)關(guān)系：=tan 〔〕 6. 誘導(dǎo)公式： ，，． ，，． ，，．

3、 ，，． 口訣：函數(shù)名稱(chēng)不變，符號(hào)看象限． ，． ，． 口訣：正弦與余弦互換，符號(hào)看象限． 7正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)的圖象與性質(zhì) 倍角公式 sin2=2sin·cos cos2=cos2-sin2 =2cos2-1 =1-2sin2 兩角和與差的三角函數(shù)關(guān)系 sin()=sin·coscos·sin cos()=cos·cossin·sin 8、三角函數(shù)公式： 降冪公式： 升冪公式 ： 1+cos=

4、 cos2 1-cos= sin2 9．正弦定理?： . 余弦定理： ; ; . 三角形面積定理.. 1．直角三角形中各元素間的關(guān)系： 如圖，在△ABC中，C＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a。 〔1〕三邊之間的關(guān)系：a2＋b2＝c2?！补垂啥ɡ怼? 〔2〕銳角之間的關(guān)系：A＋B＝90°； 〔3〕邊角之間的關(guān)系：〔銳角三角函數(shù)定義〕 sinA＝cosB＝，cosA＝sinB＝，tanA＝。 2．斜三角形中各元素間的關(guān)系： 在△ABC中，A、B、C為其內(nèi)角，a、b、c分別表示A、B、C的對(duì)邊。 〔1〕三角形

5、內(nèi)角和：A＋B＋C＝π。 〔2〕正弦定理：在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等 。 〔R為外接圓半徑〕 〔3〕余弦定理：三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍 a2＝b2＋c2－2bccosA；b2＝c2＋a2－2cacosB；c2＝a2＋b2－2abcosC。 3．三角形的面積公式： 〔1〕△＝aha＝bhb＝chc〔ha、hb、hc分別表示a、b、c上的高〕； 〔2〕△＝absinC＝bcsinA＝acsinB； 4．解三角形：由三角形的六個(gè)元素〔即三條邊和三個(gè)內(nèi)角〕中的三個(gè)元素〔其中至少有一個(gè)是邊〕求其他未知元素的問(wèn)題叫做解

6、三角形．廣義地，這里所說(shuō)的元素還可以包括三角形的高、中線、角平分線以及內(nèi)切圓半徑、外接圓半徑、面積等等．解三角形的問(wèn)題一般可分為下面兩種情形：假設(shè)給出的三角形是直角三角形，那么稱(chēng)為解直角三角形；假設(shè)給出的三角形是斜三角形，那么稱(chēng)為解斜三角形 解斜三角形的主要依據(jù)是： 設(shè)△ABC的三邊為a、b、c，對(duì)應(yīng)的三個(gè)角為A、B、C。 〔1〕角與角關(guān)系：A+B+C = π； 〔2〕邊與邊關(guān)系：a + b > c，b + c > a，c + a > b，a－b < c，b－c < a，c－a > b； 〔3〕邊與角關(guān)系： 正弦定理 〔R為外接圓半徑〕； 余弦定理 c2 = a2+b2－2b

7、ccosC，b2 = a2+c2－2accosB，a2 = b2+c2－2bccosA； 它們的變形形式有：a = 2R sinA，，。 5．三角形中的三角變換 三角形中的三角變換，除了應(yīng)用上述公式和上述變換方法外，還要注意三角形自身的特點(diǎn)。 〔1〕角的變換 因?yàn)樵凇鰽BC中，A+B+C=π，所以sin(A+B)=sinC；cos(A+B)=－cosC；tan(A+B)=－tanC。； 四．【典例解析】 題型1：正、余弦定理 〔2021岳陽(yáng)一中第四次月考〕.△中，，，，，，那么 〔 〕 A.． B ． C．

8、 D． 或 答案 C 例1．〔1〕在中，，，cm，解三角形； 〔2〕在中，cm，cm，，解三角形〔角度準(zhǔn)確到，邊長(zhǎng)準(zhǔn)確到1cm〕。 解析：〔1〕根據(jù)三角形內(nèi)角和定理， ； 根據(jù)正弦定理， ； 根據(jù)正弦定理， 〔2〕根據(jù)正弦定理， 因?yàn)椋迹?，所以，? ①當(dāng)時(shí)， ， ②當(dāng)時(shí)， ， 點(diǎn)評(píng)：應(yīng)用正弦定理時(shí)〔1〕應(yīng)注意兩邊和其中一邊的對(duì)角解三角形時(shí)，可能有兩解的情形；〔2〕對(duì)于解三角形中的復(fù)雜運(yùn)算可使用計(jì)算器 例2．〔1〕在ABC中，，，，求b及A； 〔2〕在ABC中，，，，解三角形 解析：〔1〕∵ =cos = = ∴ 求可以利用

9、余弦定理，也可以利用正弦定理： 解法一：∵cos ∴ 解法二：∵sin 又∵＞＜∴＜，即＜＜ ∴ 〔2〕由余弦定理的推論得： cos ； cos ； 點(diǎn)評(píng)：應(yīng)用余弦定理時(shí)解法二應(yīng)注意確定A的取值范圍。 題型2：三角形面積 例3．在中，，，，求的值和的面積。 解法一：先解三角方程，求出角A的值。 又, , 。 解法二：由計(jì)算它的對(duì)偶關(guān)系式的值。 ① , ② 　 ①　+?、凇〉谩　?。 　 ①?。、凇〉谩　?。 從而

10、　。 以下解法略去。 點(diǎn)評(píng)：本小題主要考察三角恒等變形、三角形面積公式等根本知識(shí)，著重?cái)?shù)學(xué)考察運(yùn)算能力，是一道三角的根底試題。兩種解法比擬起來(lái)，你認(rèn)為哪一種解法比擬簡(jiǎn)單呢？ 例4．〔2021湖南卷文〕在銳角中，那么的值等于 ， 的取值范圍為 . 答案? 2 解析 設(shè)由正弦定理得 由銳角得， 又，故， 例5．〔2021浙江理〕〔此題總分值14分〕在中，角所對(duì)的邊分別為，且滿(mǎn)足，． 〔I〕求的面積； 〔II〕假設(shè)，求的值． 解 〔1〕因?yàn)?，，又? 得， 〔2〕對(duì)于，又，或，由

11、余弦定理得 ， 例6．〔2021全國(guó)卷Ⅰ理〕在中，內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊長(zhǎng)分別為、、，，且 求b 分析：:此題事實(shí)上比擬簡(jiǎn)單,但考生反響不知從何入手.對(duì)條件(1)左側(cè)是二次的右側(cè)是一次的,學(xué)生總感覺(jué)用余弦定理不好處理,而對(duì)條件(2) 過(guò)多的關(guān)注兩角和與差的正弦公式,甚至有的學(xué)生還想用現(xiàn)在已經(jīng)不再考的積化和差,導(dǎo)致找不到突破口而失分. 解法一：在中那么由正弦定理及余弦定理有:化簡(jiǎn)并整理得：.又由.解得. 解法二:由余弦定理得: .又,. 所以 ① 又， ，即 由正弦定理得，故 ② 由①，②解得.

12、 評(píng)析:從08年高考考綱中就明確提出要加強(qiáng)對(duì)正余弦定理的考察.在備考中應(yīng)注意總結(jié)、提高自己對(duì)問(wèn)題的分析和解決能力及對(duì)知識(shí)的靈活運(yùn)用能力.另外提醒：兩綱中明確不再考的知識(shí)和方法了解就行，不必強(qiáng)化訓(xùn)練 題型4：三角形中求值問(wèn)題 例7．的三個(gè)內(nèi)角為，求當(dāng)A為何值時(shí)，取得最大值，并求出這個(gè)最大值。 解析：由A+B+C=π，得=－，所以有cos =sin。 cosA+2cos =cosA+2sin =1－2sin2 + 2sin=－2(sin － )2+ ； 當(dāng)sin = ，即A=時(shí), cosA+2cos取得最大值為。 點(diǎn)評(píng)：運(yùn)用三角恒等式簡(jiǎn)化三角因式最終轉(zhuǎn)化為關(guān)于一個(gè)角的三角函數(shù)的形式

13、，通過(guò)三角函數(shù)的性質(zhì)求得結(jié)果。 例8．〔2021浙江文〕〔此題總分值14分〕在中，角所對(duì)的邊分別為，且滿(mǎn)足，． 〔I〕求的面積； 〔II〕假設(shè)，求的值． 解〔Ⅰ〕 又，，而，所以，所以的面積為： 〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知，而，所以 所以 點(diǎn)評(píng)：本小題主要考察三角函數(shù)概念、同角三角函數(shù)的關(guān)系、兩角和與差的三角函數(shù)的公式以及倍角公式，考察應(yīng)用、分析和計(jì)算能力 題型5：三角形中的三角恒等變換問(wèn)題 例9．在△ABC中，a、b、c分別是∠A、∠B、∠C的對(duì)邊長(zhǎng)，a、b、c成等比數(shù)列，且a2－c2=ac－bc，求∠A的大小及的值。 分析：因給出的是a、b、c之間的等量

14、關(guān)系，要求∠A，需找∠A與三邊的關(guān)系，故可用余弦定理。由b2=ac可變形為=a，再用正弦定理可求的值。 解法一：∵a、b、c成等比數(shù)列，∴b2=ac。 又a2－c2=ac－bc，∴b2+c2－a2=bc。 在△ABC中，由余弦定理得：cosA===，∴∠A=60°。 在△ABC中，由正弦定理得sinB=，∵b2=ac，∠A=60°， ∴=sin60°=。 解法二：在△ABC中， 由面積公式得bcsinA=acsinB。 ∵b2=ac，∠A=60°，∴bcsinA=b2sinB。 ∴=sinA=。 評(píng)述：解三角形時(shí)，找三邊一角之間的關(guān)系常用余弦定理，找兩邊兩角之間的關(guān)系常用正

15、弦定理。 例10．在△ABC中，A、B、C成等差數(shù)列，求的值。 解析：因?yàn)锳、B、C成等差數(shù)列，又A＋B＋C＝180°，所以A＋C＝120°， 從而＝60°，故tan.由兩角和的正切公式， 得。 所以 。 點(diǎn)評(píng)：在三角函數(shù)求值問(wèn)題中的解題思路，一般是運(yùn)用根本公式，將未知角變換為角求解，同時(shí)結(jié)合三角變換公式的逆用。 題型6：正、余弦定理判斷三角形形狀 例11．在△ABC中，假設(shè)2cosBsinA＝sinC，那么△ABC的形狀一定是〔 〕 A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等邊三角形 答案：C 解析：2sinAcosB＝s

16、in〔A＋B〕＋sin〔A－B〕又∵2sinAcosB＝sinC， ∴sin〔A－B〕＝0，∴A＝B 點(diǎn)評(píng)：此題考察了三角形的根本性質(zhì)，要求通過(guò)觀察、分析、判斷明確解題思路和變形方向，通暢解題途徑 例12．〔2021四川卷文〕在中，為銳角，角所對(duì)的邊分別為，且 〔I〕求的值； 〔II〕假設(shè)，求的值。 解〔I〕∵為銳角， ∴ ∵ ∴ 〔II〕由〔I〕知，∴ 由得 ，即 又∵ ∴ ∴ ∴ 21.〔2021四川卷文〕在中，為銳角，角所對(duì)的邊分別為，且 〔I〕求的值； 〔II〕假設(shè)，

17、求的值。 解〔I〕∵為銳角， ∴ ∵ ∴ 〔II〕由〔I〕知，∴ 由得 ，即 又∵ ∴ ∴ ∴ 點(diǎn)評(píng)：三角函數(shù)有著廣泛的應(yīng)用，此題就是一個(gè)典型的范例。通過(guò)引入角度，將圖形的語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為三角的符號(hào)語(yǔ)言，再通過(guò)局部的換元，又將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為我們熟知的函數(shù)，這些解題思維的拐點(diǎn)，你能否很快的想到呢？ 五．【思維總結(jié)】 1．解斜三角形的常規(guī)思維方法是： 〔1〕兩角和一邊〔如A、B、C〕，由A+B+C = π求C，由正弦定理求a、b； 〔2〕兩邊和夾角〔如a、b、c〕，應(yīng)用余弦定理求c邊；再應(yīng)用正弦定理先求較短邊所對(duì)的角，然后利用A+B+C = π，求另一角； 〔3〕兩邊和其中一邊的對(duì)角〔如a、b、A〕，應(yīng)用正弦定理求B，由A+B+C = π求C，再由正弦定理或余弦定理求c邊，要注意解可能有多種情況； 〔4〕三邊a、b、c，應(yīng)余弦定理求A、B，再由A+B+C = π，求角C。 2．三角形內(nèi)切圓的半徑：，特別地，； 3．三角學(xué)中的射影定理：在△ABC 中，，… 4．兩內(nèi)角與其正弦值：在△ABC 中，，… 5．解三角形問(wèn)題可能出現(xiàn)一解、兩解或無(wú)解的情況，這時(shí)應(yīng)結(jié)合“三角形中大邊對(duì)大角定理及幾何作圖來(lái)幫助理解〞。