2013-2017高考數(shù)學(xué)分類匯編-第4章三角函數(shù)-4解三角形（理科）

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1、 第四節(jié) 解三角形 題型55 正弦定理的應(yīng)用 1. (2013天津理6）在中， 則（ ）. A． B． C． D． 2. (2013湖南理3）在銳角中，角所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為.若（ ）. A． B． C． D． 3.(2013安徽12)設(shè)的內(nèi)角所對(duì)邊的長(zhǎng)分別為.若，則角 . 4.（2013浙江理16）中，，是的中點(diǎn)，若，則 ________. 5.（2014 北京理 15）如圖所示，在中，，，點(diǎn)在邊上，且. （1）求； （2）

2、求的長(zhǎng). 6.（2015廣東）設(shè)的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，．若，，，則 ． 6.解析 解法一：因?yàn)榍遥曰颍? 又，所以，所以，且． 又，由余弦定理得， 所以．又，解得，所以． 解法二：因?yàn)榍?，所以或．又，所以? ．又，由正弦定理得．故應(yīng)填1. 7.（2015湖南）設(shè)的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，，且為鈍角. （1）證明：； （2）求的取值范圍. 7.解析（1）由及正弦定理，得,所以， 即，又為鈍角，因此，故，即. （2）由（1）知，，所以， 于是 ，因?yàn)?所以, 因此，由此可知的取值范圍是 . 8.（2016全國(guó)甲理13）的內(nèi)角，，的對(duì)邊分

3、別為，，，若，，，則 ． 8. 解析 解法一：由題可知，.由正弦定理可得.由射影定理可得. 解法二：同解法一，可得.又 .由余弦定理可得. 解法三：因?yàn)?，，，? .由正弦定理得，解得． 9.（2016江蘇15）在中，，，． （1）求的長(zhǎng)； （2）求的值． 9. 解析 （1）因?yàn)?，而，所? 由正弦定理，故． （2）因?yàn)?，所? 又，所以， 故． 10.（2016浙江理16）在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，，.已知. （1）求證：； （2）若的面積，求出角的大小. 10.解析 （1）由正弦定理得， 故， 于是又，，故，所以 或，因此（舍去）或，所

4、以 （2）由，得.由正弦定理得， 因?yàn)?，得．又，，所以? 當(dāng)時(shí)，由，，得； 當(dāng)時(shí)，由，，得． 綜上所述，或． 11.（2017天津理15）在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為.已知，，. （1）求和的值； （2）求的值. 11.解析 （1）在中，因?yàn)?，故由，可?由已知及余弦定理，得，所以. 由正弦定理，得. （2）由（Ⅰ）及，得，所以， ，故. 12.（2017山東理9）在中，角，，的對(duì)邊分別為，，．若為銳角三角形，且滿足，則下列等式成立的是（ ）. A. B. C. D. 12.解析 因?yàn)椋?，又，得，?

5、故選A. 題型56 余弦定理的應(yīng)用 1. (2013重慶理20）在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別是，且. （1）求； （2）設(shè)，求的值. 2.（2013山東理17）設(shè)的內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，且，，. （1）求，的值； （2）求的值. 3.（2014 江蘇理 14）若的內(nèi)角滿足，則的最小值是 ． 4.（2014 天津理 12）在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別是.已知，，則的值為_______. 5.（2014 湖南理 18）如圖所示，在平面四邊形中，，，. （1）求的值； （2）若，，求的長(zhǎng). 6.（2015安徽）在中，,點(diǎn)在邊上，，求的

6、長(zhǎng)． 6.解析 解法一：設(shè)的內(nèi)角，，所對(duì)邊的長(zhǎng)分別是，，，由余弦定理得 ，所以，所以由正弦定理得，由題設(shè)知，所以． 在中，由正弦定理得． 解法二：如圖所示，設(shè)．由余弦定理得 ， 所以． 在中，設(shè)，則， 故，即 ① ， 即 ② 由式①，式②得，即． 7.（2015福建）若銳角 的面積為 ，且 ，則 ． 7.解析 由已知得的面積為， 所以．又因?yàn)?，所以? 由余弦定理得，所以． 8.（2015江蘇）在中，已知，，． （1）求的長(zhǎng)； （2）求

7、的值． 8.解析 （1）由余弦定理， 解得． （2）. 因?yàn)?，故? 故． 評(píng)注 在運(yùn)算的過程中類似，可不化簡(jiǎn)，有時(shí)候會(huì)利于下面的運(yùn)算． 9.（2015陜西）的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，，．向量與平行． （1）求； （2）若，，求的面積． 9.解析 （1）由可知， ， 由正弦定理，得. (2)由余弦定理，得. 所以. 10.（2016天津理3）在中，若，， ，則（ ）. A.1 B.2 C.3 D.4 10.A解析 由余弦定理得，解得.故選A. 11.（2016全國(guó)丙理8）在中，，邊上的高等于，則（ ）. A. B

8、. C. D. 11. C 解析 如圖所示.依題意，，. 在中，由余弦定理得故選C. 12.（2016北京理15）在中，. （1）求的大??；（2）求的最大值. 12. 解析 （1）由題設(shè)可得. 由余弦定理，可得.又，所以. （2）由（1）可得，，. 再由，得， 所以 .由，得，所以當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)， 取到最大值，且最大值是1. 題型57 判斷三角形的形狀 1. (2013陜西理7） 設(shè)的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，若，則 的形狀為（ ）. A. 銳角三角形 B. 直角三角形 C. 鈍角三角形 D.

9、不確定 題型58 解三角形的綜合應(yīng)用 1. (2013陜西理9） 在如圖所示的銳角三角形空地中，欲建一個(gè)面積不小于的內(nèi)接矩形花園（陰影部分），則其邊長(zhǎng)（單位）的取值范圍是（ ）. A. B. C. D. 2.（2014 江西理4）在中，內(nèi)角所對(duì)應(yīng)的邊分別為.若，，則的面積是（ ）. A. B. C. D. 3.（2014 新課標(biāo)2理4）鈍角三角形的面積是，， ，則 （ ）. A. B. C. D. 4.（2014 重

10、慶理 10）已知的內(nèi)角滿足 ，面積滿足，記分別為所對(duì)的邊，則下列不等式成立的是（ ）. A. B. C. D. 5.（2014 福建理 12）在中，，，，則的面積等于 . 6.（2014 廣東理 12）在中，角所對(duì)應(yīng)的邊分別為.已知，則 . 7.（2014 山東理 12）在中，已知，當(dāng)時(shí)，的面積為. 8.（2014 四川理 13）如圖，從氣球上測(cè)得正前方的河流的兩岸的俯角分別為，，此時(shí)氣球的高是，則河流的寬度約等于 .（用四舍五入法將結(jié)果精確到個(gè)位.參考數(shù)據(jù)：，，，，） 9.（2014

11、新課標(biāo)1理16）已知分別為的三個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊，，且，則面積的最大值為 . 10.（2014 浙江理 17）如圖，某人在垂直于水平地面的墻面前的點(diǎn)處進(jìn)行射擊訓(xùn)練. 已知點(diǎn)到墻面的距離為，某目標(biāo)點(diǎn)沿墻面的射擊線移動(dòng)，此人為了準(zhǔn)確瞄準(zhǔn)目標(biāo)點(diǎn)，需計(jì)算由點(diǎn)觀察點(diǎn)的仰角的大小.若，則的最大值 . 11.（2014 大綱理 17） 的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已.求. 12.（2014 江蘇理 18）170 m 60 m 東 北 O A B M C 如圖，為了保護(hù)河上古橋，規(guī)劃建一座新橋，同時(shí)設(shè)立一個(gè)圓形保護(hù)區(qū)．規(guī)劃要求：新橋與河岸垂直；保護(hù)區(qū)的邊界為圓

12、心在線段上并與相切的圓．且古橋兩端和到該圓上任意一點(diǎn)的距離均不少于．經(jīng)測(cè)量，點(diǎn)位于點(diǎn)正北方向處，點(diǎn)位于點(diǎn)正東方向處（為河岸），． （1）求新橋的長(zhǎng)； （2）當(dāng)多長(zhǎng)時(shí)，圓形保護(hù)區(qū)的面積最大？ 13.（2014 山東理 16）已知向量，函數(shù)，且的圖像過點(diǎn)和點(diǎn). （1）求的值； （2）將的圖像向左平移個(gè)單位后得到函數(shù)的圖像，若圖像上各最高點(diǎn)到點(diǎn)的距離的最小值為，求的單調(diào)遞增區(qū)間. 14.（2014 浙江理 18）（本題滿分14分）在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，已知，， （1）求角的大??； （2）若求的面積. 15. (2013福建理13）如圖，在中，已知點(diǎn)在邊上，，

13、 ，，, 則的長(zhǎng)為 . 16．（2013湖北理17）在中，對(duì)應(yīng)的邊分別是 ．已知． (1) 求角的大小 (2) 若的面積，，求的值． 17．（2013江西理16） 在中，角所對(duì)的邊分別為，已知()． (1) 求角的大??；(2) 若，求的取值范圍． 18．（2013四川理17） 在中，角的對(duì)邊分別為，且． （1）求的值； （2）若，，求向量在方向上的投影． 19. （2013江蘇18）C B A 如圖，游客從某旅游景區(qū)的景點(diǎn)處下山至處有兩種路徑.一種是從沿直線步行到，另一種是先從沿索道乘纜車到，然后從沿直線步行到.現(xiàn)有甲.乙兩位游客從處

14、下山，甲沿勻速步行，速度為.在甲出發(fā)后，乙從乘纜車到，在處停留后，再?gòu)膭蛩俨叫械?假設(shè)纜車勻速直線運(yùn)動(dòng)的速度為，山路長(zhǎng)為，經(jīng)測(cè)量，，. （1）求索道的長(zhǎng)； （2）問乙出發(fā)多少分鐘后，乙在纜車上與甲的距離最短？ （3）為使兩位游客在處互相等待的時(shí)間不超過分鐘，乙步行的速度應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)？ 20. (2013全國(guó)新課標(biāo)卷理17）在內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知. （1）求； （2）若，求面積的最大值. 21.（2015北京）在中，，，，則 . 21.解析 在中，，由正弦定理得， 由余弦定理得，因此. 22.（2015湖北）如圖，一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛，

15、到處時(shí)測(cè)得公路北側(cè)一山頂D在西偏北的方向上，行駛600m后到達(dá)處，測(cè)得此山頂在西偏北的方向上，仰角為，則此山的高度 m. 22.解析 在中，，，所以， 因?yàn)椋烧叶ɡ砜傻?，即? 在中，因?yàn)?，? 所以，所以. 23.（2015全國(guó)1）在平面四邊形中，，，則的取值范圍是 . 23.解析 解法一：如圖所示，，延長(zhǎng)，交于點(diǎn)， 則可知，且在中，，，． 在中，由正弦定理可得， 所以由題意可得． 在中，由正弦定理可得 ， 所以．又因?yàn)椋? 所以的取值范圍是． （解法一圖）

16、 （解法二圖） 解法二（構(gòu)造法）：如圖所示，構(gòu)造，使得， 則，取邊上一點(diǎn)，邊上一點(diǎn)，使得． 若平移使點(diǎn)與點(diǎn)重合，此時(shí)四邊形退化為，且可在中利用正弦定理求得； 若平移使點(diǎn)與點(diǎn)重合，此時(shí)四邊形退化為， 且可在中利用正弦定理求得． 又因?yàn)槭瞧矫嫠倪呅?，所以點(diǎn)應(yīng)在點(diǎn)與點(diǎn)之間，且不與點(diǎn)與點(diǎn)重合，所以的取值范圍是． 24.（2015天津）在中，內(nèi)角，， 所對(duì)的邊分別為，， ，已知的面積為 ，，，則的值為 . 24.解析 因?yàn)?，所以? 又，所以， 解方程組得， 由余弦定理得，所以. 25.（2015全國(guó)2）在中，是上的點(diǎn)，平分，是面積的2倍． (1)求

17、； (2)若 ，求和的長(zhǎng). 25.分析 (1)用正弦定理求面積的方法寫出面積，然后根據(jù)已知條件中面積為2倍關(guān)系、角相等進(jìn)行代換；(2)由(1)的結(jié)論得高相同，面積比等于邊長(zhǎng)比，再由余弦定理建立等式來求解. 解析 (1)根據(jù)題意可得右圖，由正弦定理得， ， ， 又因?yàn)椋? 所以得. 由正弦定理得. (1) 由題意知，，所以. 又因?yàn)?，所以? 在和中，由余弦定理得，， ． 故．由(1)知，所以． 即所求為，. 26.（2015山東）設(shè). (1)求的單調(diào)區(qū)間； (2)在銳角△中，角的對(duì)邊分別為. 若，，求△面積的最大值. 26.解析（1）由題意知． 由，，可得

18、，； 由，，可得，． 所以的單調(diào)遞增區(qū)間是； 單調(diào)遞減區(qū)間是． （2）由，得，由題意知為銳角，所以． 由余弦定理，可得，即， 且當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，因此．所以面積的最大值為． 27.（2015四川）如圖所示，為平面四邊形的四個(gè)內(nèi)角. (1)求證：； （2）若，，，，， 求的值. 27.分析（1）首先切化弦得，為了將半角變?yōu)閱谓?，可在分子分母同時(shí)乘，然后逆用正弦與余弦的二倍角公式即可；（2）由題設(shè)知，該四邊形的兩對(duì)角互補(bǔ). 再結(jié)合（1）的結(jié)果，有，所以只需求出即可. 由于已知四邊，且，，故考慮用余弦定理列方程組求，從而求出. 解析 （1）. （2）由，得，. 由（1），有

19、 . 連接，在中，有， 在中，有 所以， 則， 所以. 連接，同理可得， 所以. 所以. 28.（2015浙江）在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為．已知， =. (1)求的值； (2)若的面積為，求的值． 28.（1）解析 解法一：由余弦定理， 又，所以消去得， 所以，所以. 解法二: 由及正弦定理得， 所以 ，，所以． （2）由得.又，所以． 由正弦定理得，，（或由（1）知） 所以，所以，所以． 29.（2015重慶）在中，，，的角平分線，則 _______. 29.解析 如圖所示，由正弦定理易得,即， 故,即，在，知， 即．由于是的角平分線，故．

20、 在中，，易得． 在中，由正弦定理得，即， 所以． 30.（2016上海理9）已知的三邊長(zhǎng)分別為3，5，7，則該三角形的外接圓半徑等于 ． 30．解析 不妨設(shè)，，，則， 故，因此． 31.（2016全國(guó)乙理17）的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，已知 （1）求；（2）若，的面積為，求的周長(zhǎng)． 31.解析 （1）由已知及正弦定理得，， 即，故，可得，所以. （2）由已知得，.又，所以. 由已知及余弦定理得，，故， 從而.所以的周長(zhǎng)為. 32.（2016山東理16）在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，已知. （1）求證：；（2）求的最小值. 32.解析

21、（1）由題意知，， 化簡(jiǎn)得，即. 因?yàn)?，所? 從而.由正弦定理得. （2）由（1）知，所以 ，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.故的最小值為. 33.（2016四川理17）在中，角，， 所對(duì)的邊分別是， ， ，且. （1）求證：； （2）若，求. 33.解析（1）根據(jù)正弦定理，可設(shè)， 則，，.代入中，有，可變形得 在中，由，有，所以 （2）由已知，，根據(jù)余弦定理，有.所以. 由（1）得，，所以，故 34.（2016全國(guó)丙理21）設(shè)函數(shù)，其中，記 的最大值為. （1）求； （2）求； （3）證明 34.解析 （1）. （2）當(dāng)時(shí)，.因此. 當(dāng)時(shí)，將變形為. 令，

22、則是在上的最大值，， ，且當(dāng)時(shí)，取得極小值， 極小值為.令，解得且，所以. （i）當(dāng)時(shí)，在內(nèi)無極值點(diǎn)， ，，，所以. （ii）當(dāng)時(shí)，在同一坐標(biāo)中畫出函數(shù)，，在上的圖像.由如圖所示的圖形可知，我們得到如下結(jié)論當(dāng)時(shí)，. 綜上可知，. （3）由（1）得. 當(dāng)時(shí)，； 當(dāng)時(shí)，，所以； 當(dāng)時(shí)，.所以； 綜上所述有. 35.（2017江蘇18）如圖所示，水平放置的正四棱柱形玻璃容器和正四棱臺(tái)形玻璃容器的高均為，容器的底面對(duì)角線的長(zhǎng)為，容器的兩底面對(duì)角線，的長(zhǎng)分別為和． 分別在容器和容器中注入水，水深均為． 現(xiàn)有一根玻璃棒，其長(zhǎng)度為（容器厚度、玻璃棒粗細(xì)均忽略不計(jì)）. （1）將放在容

23、器中，的一端置于點(diǎn)處，另一端置于側(cè)棱上，求沒入水中部分的長(zhǎng)度； （2）將放在容器中，的一端置于點(diǎn)處，另一端置于側(cè)棱上，求沒入水中部分的長(zhǎng)度． 35.解析 （1）由正棱柱的定義，平面，所以平面平面，． 記玻璃棒的另一端落在上點(diǎn)處，如圖所示為截面的平面圖形．因?yàn)?，，所以，從?記與水面的交點(diǎn)為， 過點(diǎn)作，為垂足，則平面，故，從而． 答：玻璃棒沒入水中部分的長(zhǎng)度為． （2）如圖所示為截面的平面圖形，，是正棱臺(tái)兩底面的中心． 由正棱臺(tái)的定義，平面， 所以平面平面，． 同理，平面平面，． 記玻璃棒的另一端落在上點(diǎn)處． 過作，為垂足，則． 因?yàn)椋?，所以? 從而．

24、設(shè)，，則． 因?yàn)?，所以? 在中，由正弦定理可得，解得． 因?yàn)椋裕? 于是 ． 記與水面的交點(diǎn)為，過作，為垂足，則平面，故，從而． 答：玻璃棒沒入水中部分的長(zhǎng)度為． 評(píng)注 此題本質(zhì)上考查解三角形的知識(shí)，但在這樣的大背景下構(gòu)造的應(yīng)用題讓學(xué)生有畏懼之感，且該應(yīng)用題的實(shí)際應(yīng)用性也不強(qiáng)． 也有學(xué)生第（1）問采用相似法解決，解法如下： ，，所以，， 所以由，，即，解得． 答：玻璃棒沒入水中部分的長(zhǎng)度為． 36.(2017北京理15)在中，，. （1）求的值； （2）若，求的面積. 36.解析 （1）在中，因?yàn)?，，所以由正弦定理? （2）因?yàn)?，所?由余弦定理

25、，得，解得或（舍）.所以的面積. 37.（2017全國(guó)1理17）的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，已知的面積為. （1）求的值； （2）若，，求的周長(zhǎng). 37.分析 本題主要考查三角函數(shù)及其變換，正弦定理，余弦定理等基礎(chǔ)知識(shí)的綜合應(yīng)用. 解析 （1）因?yàn)榈拿娣e且，所以， 即. 由正弦定理得，由，得. （2）由（1）得，又，因?yàn)椋? 所以. 又因?yàn)?，所以，? 由余弦定理得 ① 由正弦定理得，，所以 ② 由①，②，得，所以，即周長(zhǎng)為. 38.（2017全國(guó)2理17）的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，

26、已知． (1)求; (2)若，的面積為2，求 38.解析 （1）依題得． 因?yàn)?，所以，所以，得（舍去）? （2）由⑴可知，因?yàn)椋裕?，?因?yàn)?，所以，即，從而，即，解得? 39.（2017全國(guó)3理17）的內(nèi)角的對(duì)邊分別為 ，已知，，． （1）求； （2）設(shè)為邊上一點(diǎn)，且，求的面積． 39.解析 （1）由，得，即， 又，所以，得.由余弦定理得. 又因?yàn)榇氩⒄淼?，解? （2）因?yàn)?，由余弦定理? 因?yàn)?，即為直角三角形，則，得. 從而點(diǎn)為的中點(diǎn)，. 40.(2017浙江理14)已知，，.?點(diǎn)為延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，，聯(lián)結(jié)，則的面積是___________，__________. 40.解析 如圖所示，取的中點(diǎn)為，在等腰中，，所以，， 所以的面積為．因?yàn)?，所以是等腰三角形，所以，，解得?