（通用版）2018學(xué)高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 練酷專題 課時跟蹤檢測（八）三角恒等變換與解三角形 理.doc

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1、 課時跟蹤檢測（八） 三角恒等變換與解三角形 1．(2017·陜西模擬)設(shè)角θ的終邊過點(2,3)，則tan＝(　　) A.　　　　　　　　　　　 B．－ C．5 D．－5 解析：選A　由于角θ的終邊過點(2,3)，因此tan θ＝，故tan＝＝＝. 2．(2018屆高三·廣西三市聯(lián)考)已知x∈(0，π)，且cos＝sin2x，則tan＝(　　) A. B．－ C．3 D．－3 解析：選A　由cos＝sin2x得sin 2x＝sin2x，∵x∈(0，π)，∴tan x＝2， ∴tan＝＝. 3．(2017·寶雞模擬)在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別

2、為a，b，c.若sin(A＋B)＝，a＝3，c＝4，則sin A＝(　　) A. B. C. D. 解析：選B　∵＝，即＝，又sin C＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)＝，∴sin A＝. 4．(2017·惠州模擬)函數(shù)y＝cos 2x＋2sin x的最大值為(　　) A. B．1 C. D．2 解析：選C　y＝cos 2x＋2sin x＝－2sin2x＋2sin x＋1.設(shè)t＝sin x(－1≤t≤1)，則原函數(shù)可以化為y＝－2t2＋2t＋1＝－22＋，∴當(dāng)t＝時，函數(shù)取得最大值. 5．(2017·成都模擬)已知α為第二象限角，且sin 2α＝－，

3、則cos α－sin α的值為(　　) A. B．－ C. D．－ 解析：選B　因為α為第二象限角，所以cos α－sin α＜0，cos α－sin α＝－＝－＝－. 6．(2017·長沙模擬)△ABC中，C＝，AB＝3，則△ABC的周長為(　　) A．6sin＋3 B．6sin＋3 C．2sin＋3 D．2sin＋3 解析：選C　設(shè)△ABC的外接圓半徑為R，則2R＝＝2，于是BC＝2Rsin A＝2sin A，AC＝2Rsin B＝2sin，于是△ABC的周長為2＋3＝2sin＋3. 7．(2017·福州模擬)已知m＝，若sin [2(α＋γ)]＝3sin

4、2β，則m＝(　　) A. B. C. D．2 解析：選D　設(shè)A＝α＋β＋γ，B＝α－β＋γ， 則2(α＋γ)＝A＋B,2β＝A－B， 因為sin [2(α＋γ)]＝3sin 2β， 所以sin(A＋B)＝3sin(A－B)， 即sin Acos B＋cos Asin B＝3(sin Acos B－cos Asin B)， 即2cos Asin B＝sin Acos B， 所以tan A＝2tan B，所以m＝＝2. 8．(2017·云南模擬)在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.若B＝，a＝，sin2B＝2sin Asin C，則△ABC的面積S＝(

5、　　) A. B．3 C. D．6 解析：選B　由sin2B＝2sin Asin C及正弦定理， 得b2＝2ac. ① 又B＝，所以a2＋c2＝b2. ② 聯(lián)立①②解得a＝c＝， 所以S＝××＝3. 9．(2018屆高三·合肥摸底)已知函數(shù)f(x)＝sin4x＋cos4x，x∈.若f(x1)＜f(x2)，則一定有(　　) A．x1＜x2 B．x1＞x2 C．x＜x D．x＞x 解析：選D　f(x)＝sin4x＋cos4x＝(sin2x＋cos2x)2－2sin2xcos2x＝cos 4x＋. 因為4x∈[－π，π]， 所以函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，且在上單

6、調(diào)遞減， 由f(x1)＜f(x2)，可得f(|x1|)＜f(|x2|)， 所以|x1|＞|x2|，即x＞x. 10．(2018屆高三·昆明三中、玉溪一中聯(lián)考)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若△ABC的面積為S，且2S＝(a＋b)2－c2，則tan C等于(　　) A. B. C．－ D．－ 解析：選C　因為2S＝(a＋b)2－c2＝a2＋b2－c2＋2ab，由面積公式與余弦定理，得absin C＝2abcos C＋2ab，即sin C－2cos C＝2，所以(sin C－2cos C)2＝4， ＝4，所以＝4，解得tan C＝－或tan C＝0(舍去

7、)． 11．(2017·貴陽監(jiān)測)已知sin＋sin α＝，則sin的值是(　　) A．－ B. C. D．－ 解析：選D　∵sin＋sin α＝， ∴sin cos α＋cos sin α＋sin α＝， ∴sin α＋cos α＝， 即sin α＋cos α＝sin＝， 故sin＝－sin＝－. 12．在不等邊三角形ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，其中a為最大邊，如果sin2(B＋C)

8、a20. 則cos A＝>0， ∵0. 因此得角A的取值范圍是. 13．(2017·南京模擬)若sin＝，則cos＝________. 解析：因為＋＝，所以cos＝cos＝sin＝. 答案： 14．(2017·長沙模擬)化簡：＝________. 解析：＝ ＝＝4sin α. 答案：4sin α 15．(2018屆高三·湖北七校聯(lián)考)已知△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，C＝120°，a＝2b，則tan A＝________. 解析：c2＝a2＋b2－2abcos C＝4b2＋

9、b2－2×2b×b×＝7b2，∴c＝b，cos A＝＝＝，∴sin A＝＝＝，∴tan A ＝＝. 答案： 16.(2018屆高三·廣西五校聯(lián)考)如圖所示，在一個坡度一定的山坡AC的頂上有一高度為25 m的建筑物CD，為了測量該山坡相對于水平地面的坡角θ，在山坡的A處測得∠DAC＝15°，沿山坡前進50 m到達B處，又測得∠DBC＝45°，根據(jù)以上數(shù)據(jù)可得cos θ＝________. 解析：由∠DAC＝15°，∠DBC＝45°可得∠BDA＝30°. 在△ABD中，由正弦定理可得＝， 即DB＝100sin 15°＝100×sin(45°－30°) ＝25(－1)． 在△BCD中，

10、∠DCB＝90°＋θ， 所以＝， 即＝， 解得cos θ＝－1. 答案：－1 1．(2017·廣州模擬)已知tan θ＝2，且θ∈，則cos 2θ＝(　　) A. B. C．－ D．－ 解析：選C　法一：由tan θ＝2，且θ∈， 可得sin θ＝2cos θ，代入sin2θ＋cos2θ＝1，可得cos2θ＝，所以cos 2θ＝2cos2θ－1＝2×－1＝－. 法二：因為tan θ＝2，且θ∈，所以cos 2θ＝＝＝＝－. 2．在△ABC中，若＝，則△ABC的形狀是(　　) A．直角三角形 B．等腰或直角三角形 C．等腰三角形 D．不能確定 解析

11、：選B　由已知并結(jié)合正弦定理得，·＝，即＝，∴sin Acos A＝sin Bcos B，即sin 2A＝sin 2B，∴2A＝2B或2A＋2B＝π. 3．已知△ABC的三個內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，asin Asin B＋bcos2A＝2a，則角A的取值范圍是(　　) A. B. C. D. 解析：選C　在△ABC中，由正弦定理化簡已知的等式得sin Asin Asin B＋sin Bcos2A＝2sin A，即sin B(sin2A＋cos2A)＝2sin A，所以sin B＝2sin A，由正弦定理得b＝2a，所以cos A＝＝＝≥＝(當(dāng)且僅當(dāng)c2＝3a2，

12、即c＝a時取等號)，因為A為△ABC的內(nèi)角，且y＝cos x在(0，π)上是減函數(shù)，所以0＜A≤，故角A的取值范圍是. 4．(2017·云南統(tǒng)一檢測)已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.若a＝bcos C ＋csin B，且△ABC的面積為1＋，則b的最小值為(　　) A．2 B．3 C. D. 解析：選A　由a＝bcos C＋csin B及正弦定理，得sin A＝sin Bcos C＋sin Csin B，即sin(B＋C)＝sin Bcos C＋sin Csin B，得sin Ccos B＝sin Csin B，又sin C≠0，所以tan B＝1.因為B

13、∈(0，π)，所以B＝.由S△ABC＝acsin B＝1＋，得ac＝2＋4.又b2＝a2＋c2－2accos B≥2ac－ac＝(2－)(4＋2)＝4，當(dāng)且僅當(dāng)a＝c時等號成立，所以b≥2，b的最小值為2，故選A. 5．(2018屆高三·皖南八校聯(lián)考)若α∈，cos＝2cos 2α，則sin 2α＝________. 解析：由已知得(cos α＋sin α)＝2(cos α－sin α)·(cos α＋sin α)，所以cos α＋sin α＝0或cos α－sin α＝，由cos α＋sin α＝0得tan α＝－1，因為α∈，所以cos α＋sin α＝0不滿足條件； 由cos α－

14、sin α＝，兩邊平方得1－sin 2α＝， 所以sin 2α＝. 答案： 6．已知△ABC中，AB＋AC＝6，BC＝4，D為BC的中點，則當(dāng)AD最小時，△ABC的面積為________． 解析：AC2＝AD2＋CD2－2AD·CD·cos∠ADC， 且AB2＝AD2＋BD2－2AD·BD·cos∠ADB， 即AC2＝AD2＋22－4AD·cos∠ADC， 且(6－AC)2＝AD2＋22－4AD·cos∠ADB， ∵∠ADB＝π－∠ADC， ∴AC2＋(6－AC)2＝2AD2＋8， ∴AD2＝＝， 當(dāng)AC＝2時，AD取最小值， 此時cos∠ACB＝＝， ∴sin∠AC

15、B＝， ∴△ABC的面積S＝AC·BC·sin∠ACB＝. 答案： 1．在外接圓半徑為的△ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對邊，且2asin A＝(2b＋c)sin B＋(2c＋b)sin C，則b＋c的最大值是(　　) A．1 B. C．3 D. 解析：選A　根據(jù)正弦定理得2a2＝(2b＋c)b＋(2c＋b)c，即a2＝b2＋c2＋bc，又a2＝b2＋c2－2bccos A，所以cos A＝－，A＝120°.因為△ABC外接圓半徑為，所以由正弦定理得b＋c＝sin B·2R＋sin C·2R＝sin B＋sin(60°－B)＝sin B＋cos B＝sin(B

16、＋60°)，故當(dāng)B＝30°時，b＋c取得最大值1. 2．(2018屆高三·武漢調(diào)研)在銳角△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c.若a＝2bsin C，則tan A＋tan B＋tan C的最小值是(　　) A．4 B．3 C．8 D．6 解析：選C　由a＝2bsin C得sin A＝2sin Bsin C， ∴sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C＝2sin Bsin C， 即tan B＋tan C＝2tan Btan C. 又三角形中的三角恒等式tan A＋tan B＋tan C＝tan Atan Btan C， ∴tan Btan C

17、＝， ∴tan Atan Btan C＝tan A·， 令tan A－2＝t， 得tan Atan Btan C＝＝t＋＋4≥8， 當(dāng)且僅當(dāng)t＝，即t＝2，tan A＝4時，取等號． 3．(2017·成都模擬)已知△ABC中，AC＝，BC＝，△ABC的面積為.若線段BA的延長線上存在點D，使∠BDC＝，則CD＝________. 解析：因為S△ABC＝AC·BC·sin∠BCA， 即＝×××sin∠BCA， 所以sin∠BCA＝. 因為∠BAC＞∠BDC＝， 所以∠BCA＝，所以cos∠BCA＝. 在△ABC中， AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠BCA ＝2＋6－2×××＝2， 所以AB＝，所以∠ABC＝， 在△BCD中，＝， 即＝，解得CD＝. 答案： 9