數(shù)學(xué) 第二章 幾個(gè)重要的不等式 2.3 數(shù)學(xué)歸納法與貝努利不等式 2.3.2 數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用 北師大版選修4-5

《數(shù)學(xué) 第二章 幾個(gè)重要的不等式 2.3 數(shù)學(xué)歸納法與貝努利不等式 2.3.2 數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用 北師大版選修4-5》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《數(shù)學(xué) 第二章 幾個(gè)重要的不等式 2.3 數(shù)學(xué)歸納法與貝努利不等式 2.3.2 數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用 北師大版選修4-5（22頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、3 3.2 2數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用1.進(jìn)一步掌握利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的方法和技巧.2.了解貝努利不等式,并能利用它證明簡(jiǎn)單的不等式.1.用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的兩個(gè)步驟實(shí)際上是分別證明兩個(gè)不等式.尤其是第二步:一方面需要我們充分利用歸納假設(shè)提供的“便利”,另一方面還需要結(jié)合運(yùn)用比較法、綜合法、分析法、反證法和放縮法等其他不等式的證明方法.名師點(diǎn)撥從“n=k”到“n=k+1”的方法與技巧:在用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的問(wèn)題中,從“n=k”到“n=k+1”的過(guò)渡,利用歸納假設(shè)是比較困難的一步,它不像用數(shù)學(xué)歸納法證明恒等式問(wèn)題一樣,只需拼湊出所需要的結(jié)構(gòu)來(lái),而證明不等式的第二步中

2、,從“n=k”到“n=k+1”,只用拼湊的方法,有時(shí)也行不通,因?yàn)閷?duì)不等式來(lái)說(shuō),它還涉及“放縮”的問(wèn)題,它可能需要通過(guò)“放大”或“縮小”的過(guò)程,才能利用上歸納假設(shè),因此,我們可以利用“比較法”“綜合法”“分析法”等來(lái)分析從“n=k”到“n=k+1”的變化,從中找到“放縮尺度”,準(zhǔn)確地拼湊出所需要的結(jié)構(gòu).【做一做1-1】 設(shè)f(k)是定義在正整數(shù)集上的函數(shù),且f(k)滿(mǎn)足:“當(dāng)f(k)k2成立時(shí),總可推出f(k+1)(k+1)2成立.”那么下列命題總成立的是()A.若f(3)9成立,則當(dāng)k1時(shí),均有f(k)k2成立B.若f(5)25成立,則當(dāng)k5時(shí),均有f(k)k2成立C.若f(7)49成立,則

3、當(dāng)k8時(shí),均有f(k)42,對(duì)于任意的k4,總有f(k)k2成立.答案:D2.貝努利不等式對(duì)任何實(shí)數(shù)x-1和任何正整數(shù)n,有(1+x)n1+nx.【做一做2】 設(shè)nN+,求證:3n2n.分析:利用貝努利不等式來(lái)證明.證明:3n=(1+2)n,根據(jù)貝努利不等式,有(1+2)n1+n2=1+2n.上式右邊舍去1,得(1+2)n2n.3n2n成立.題型一題型二題型三題型一 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式 分析:利用數(shù)學(xué)歸納法證明. 題型一題型二題型三反思在利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式時(shí),要注意對(duì)式子的變形,通過(guò)放縮、比較、分析、綜合等證明不等式的方法,得出要證明的目標(biāo)不等式.題型一題型二題型三題型一題型二題型三

4、題型二 利用貝努利不等式證明不等式 分析:用求商比較法證明an+14ab2ab+6a2b2=14a2b2=224,g(24)=44-25=224,有f(4)g(24).由此猜想當(dāng)1n2(nN+)時(shí),f(n)=g(2n).當(dāng)n3(nN+)時(shí),f(n)g(2n).下面用數(shù)學(xué)歸納法證明.(1)當(dāng)n=3時(shí),由上述計(jì)算知猜想成立;題型一題型二題型三(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k3,kN+)時(shí),猜想成立,則f(k)g(2k),即(a+b)k-ak-bk4k-2k+1,則當(dāng)n=k+1時(shí),f(k+1)=(a+b)k+1-ak+1-bk+1=(a+b)(a+b)k-aak-bbk=(a+b)(a+b)k-ak-bk+akb+abk,反思利用數(shù)學(xué)歸納法解決探索型不等式問(wèn)題的思路是:先通過(guò)觀察、判斷、猜想得出結(jié)論,然后用數(shù)學(xué)歸納法證明結(jié)論.題型一題型二題型三題型一題型二題型三12345答案:C 12345答案:B 12345答案:A 12345123455已知acdb0,a+b=c+d,n為大于1的正整數(shù),求證:an+bncn+dn.