第講 概率、隨機(jī)變量及其分布列

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1、第2講　概率、隨機(jī)變量及其分布列 【自主學(xué)習(xí)】 第2講　概率、隨機(jī)變量及其分布列 (本講對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)第72~74頁(yè)) 自主學(xué)習(xí)　回歸教材 1. (選修2-3 P45例1改編)設(shè)隨機(jī)變量X等可能地取1，2，3，…，n，若P(X<4)=0.3，則n的值為　　　　. 【答案】10 【解析】“X<4”的含義為X=1，2，3，所以P(X<4)==0.3，所以n=10. 2. (選修2-3 P67例2改編)現(xiàn)有一大批產(chǎn)品，其中不合格品占10%.若從這批產(chǎn)品中任取5件產(chǎn)品，記X為這5件產(chǎn)品中的不合格品件數(shù)，則X的概率分布列是　　　　　　　　　　.(只需寫(xiě)出關(guān)系式) 【答案】P(

2、X=k)=0.1k(1-0.1)5-k，k=0，1，2，3，4，5 【解析】由題知，隨機(jī)變量X~B(5，0.1)，則有P(X=k)=0.1k(1-0.1)5-k，k=0，1，2，3，4，5. 3. (選修2-3 P67習(xí)題4改編)某單位有一臺(tái)電話交換機(jī)，其中有8個(gè)分機(jī).設(shè)每個(gè)分機(jī)在1 h內(nèi)平均占線10 min，并且各個(gè)分機(jī)是否占線是相互獨(dú)立的，則任一時(shí)刻占線的分機(jī)數(shù)目X的數(shù)學(xué)期望為　　　　. 【答案】 【解析】由題意知，隨機(jī)變量X~B，所以E(X)=np=8×=. 4. (選修2-3 P71習(xí)題3改編)某人每次射擊命中目標(biāo)的概率為0.9，現(xiàn)連續(xù)射擊4次，則擊中目標(biāo)的次數(shù)的方差

3、為　　　　. 【答案】0.36 【解析】由題意知，隨機(jī)變量X~B(4，0.9)，所以擊中目標(biāo)的次數(shù)的方差為V(X)=np(1-p)=4×0.9×(1-0.9)=0.36. 5. (選修2-3 P51練習(xí)2改編)已知在50件商品中有15件一等品，其余為二等品.現(xiàn)從中隨機(jī)選購(gòu)2件，若X為所購(gòu)2件中的一等品的件數(shù)，則P(X≤1)=　　　 　. 【答案】 【解析】由題知，隨機(jī)變量X~H(2，15，50)，則P(X=r)=H(r；2，15，50)=，r=0，1，2， 所以P(X≤1)=P(X=0)+P(X=1)=+=+=. 【要點(diǎn)導(dǎo)學(xué)】 要點(diǎn)導(dǎo)學(xué)　各個(gè)擊破 離散型隨機(jī)變

4、量及超幾何分布 例1　(2014·蘇北四市期末)某品牌汽車4S店經(jīng)銷A，B，C三種排量的汽車，其中A，B，C三種排量的汽車依次有5，4，3款不同車型.某單位計(jì)劃購(gòu)買(mǎi)該品牌3輛不同車型的汽車，且購(gòu)買(mǎi)每款車型等可能. (1) 求該單位購(gòu)買(mǎi)的3輛汽車均為B種排量汽車的概率； (2) 記該單位購(gòu)買(mǎi)的3輛汽車的排量種數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望. 【分析】(1) 古典概型，利用組合數(shù)公式即可.(2) 中先確定隨機(jī)變量X的所有可能取值，然后求出各取值的概率，列出分布列. 【解答】(1) 設(shè)“該單位購(gòu)買(mǎi)的3輛汽車均為B種排量的汽車”為事件M，則P(M)==， 所以該單位購(gòu)買(mǎi)的3輛汽車均為B種排

5、量的汽車的概率為. (2) 隨機(jī)變量X的所有可能取值為1，2，3. 則P(X=1)==， P(X=3)==， P(X=2)=1-P(X=1)-P(X=3)=. 所以X的概率分布列為： X 1 2 3 P 數(shù)學(xué)期望E(X)=1×+2×+3×=. 【點(diǎn)評(píng)】求離散型隨機(jī)變量分布列的步驟：(1) 找出隨機(jī)變量X的所有可能取值xi(i=1，2，3，…，n)；(2) 求出各取值的概率P(X=xi)=pi；(3) 列成表格并用分布列的性質(zhì)檢驗(yàn)所求的分布列或某事件的概率是否正確. 變式　(2015·南京調(diào)研)某商店為了吸引顧客，設(shè)計(jì)了一個(gè)摸球小游戲，顧客從裝有1個(gè)紅球

6、、1個(gè)白球、3個(gè)黑球的袋中一次隨機(jī)地摸2個(gè)球，設(shè)計(jì)獎(jiǎng)勵(lì)方式如下表： 結(jié)果 獎(jiǎng)勵(lì) 1紅1白 10元 1紅1黑 5元 2黑 2元 1白1黑 不獲獎(jiǎng) 　　 (1) 某顧客在一次摸球中獲得獎(jiǎng)勵(lì)X元，求X的概率分布列與數(shù)學(xué)期望； (2) 某顧客參與兩次摸球，求他能中獎(jiǎng)的概率. 【解答】(1) 因?yàn)镻(X=10)==，P(X=5)==，P(X=2)==，P(X=0)==， 所以X的概率分布列為： X 10 5 2 0 P 　　所以E(X)=10×+5×+2×+0×=3.1(元). (2) 記“該顧客一次摸球中獎(jiǎng)”為事件A，由(1)知，P(A)=

7、，從而他兩次摸球中至少有一次中獎(jiǎng)的概率P=1-[1-P(A)]2=. 答：他兩次摸球中至少有一次中獎(jiǎng)的概率為. 離散型隨機(jī)變量及二項(xiàng)分布 例2　(2015·泰州二模)某班組織的數(shù)學(xué)文化節(jié)活動(dòng)中，通過(guò)抽獎(jiǎng)產(chǎn)生了5名幸運(yùn)之星.這5名幸運(yùn)之星可獲得A，B兩種獎(jiǎng)品中的一種，并規(guī)定：每個(gè)人通過(guò)拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子決定自己最終獲得哪一種獎(jiǎng)品(骰子的六個(gè)面上的點(diǎn)數(shù)分別為1點(diǎn)、2點(diǎn)、3點(diǎn)、4點(diǎn)、5點(diǎn)、6點(diǎn))，拋擲點(diǎn)數(shù)小于3的獲得A獎(jiǎng)品，拋擲點(diǎn)數(shù)不小于3的獲得B獎(jiǎng)品. (1) 求這5名幸運(yùn)之星中獲得A獎(jiǎng)品的人數(shù)大于獲得B獎(jiǎng)品的人數(shù)的概率； (2) 設(shè)X，Y分別為獲得A，B兩種獎(jiǎng)品的人數(shù)，并記

8、ξ=|X-Y|，求隨機(jī)變量ξ的概率分布列及數(shù)學(xué)期望. 【分析】對(duì)于(1)，先考慮獲得A獎(jiǎng)品與獲得B獎(jiǎng)品的概率，再求得獲得A獎(jiǎng)品的人數(shù)大于獲得B獎(jiǎng)品的人數(shù)的概率.(2)中找到ξ的值，然后再求分布列. 【解答】這5名幸運(yùn)之星中，每人獲得A獎(jiǎng)品的概率為=，獲得B獎(jiǎng)品的概率為=. (1) 要獲得A獎(jiǎng)品的人數(shù)大于獲得B獎(jiǎng)品的人數(shù)，則獲得A獎(jiǎng)品的人數(shù)可能為3，4，5，則所求概率為P=++=. (2) 由題知ξ的所有可能取值為1，3，5， 且P(ξ=1)=+·=， P(ξ=3)=+·=， P(ξ=5)=+=， 所以ξ的概率分布列為： ξ 1 3 5 P 故隨機(jī)變量ξ的

9、數(shù)學(xué)期望E(ξ)=1×+3×+5×=. 【點(diǎn)評(píng)】在處理n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)問(wèn)題時(shí)要從三個(gè)方面考慮：一是每次試驗(yàn)在相同條件下進(jìn)行；二是各次試驗(yàn)下的條件是相互獨(dú)立的；三是每次試驗(yàn)都只有兩種結(jié)果，即事件要么發(fā)生，要么不發(fā)生.事件A恰好發(fā)生k次的概率為P(X=k)=pk(1-p)n-k，k=0，1，2，…，n，其中p是一次試驗(yàn)中該事件發(fā)生的概率. 變式　(2015·蘇錫常鎮(zhèn)二調(diào))已知某人投籃投中的概率為，該人進(jìn)行四次投籃實(shí)驗(yàn)，且每次投籃相互獨(dú)立，設(shè)ξ表示四次實(shí)驗(yàn)結(jié)束時(shí)投中次數(shù)與沒(méi)有投中次數(shù)之差的絕對(duì)值. (1) 求隨機(jī)變量ξ的數(shù)學(xué)期望E(ξ)； (2) 設(shè)“函數(shù)f(x)=x2-ξx-1在區(qū)間(

10、2，3)上有且只有一個(gè)零點(diǎn)”為事件A，求事件A發(fā)生的概率P(A). 【解答】(1) 由題意知ξ的可能取值為0，2，4. 因?yàn)椤唉?0”指的是實(shí)驗(yàn)成功2次、失敗2次， 所以P(ξ=0)==6××=. 因?yàn)椤唉?2”指的是實(shí)驗(yàn)成功3次、失敗1次或?qū)嶒?yàn)成功1次、失敗3次， 所以P(ξ=2)=+=4××+4××=. 因?yàn)椤唉?4”指的是實(shí)驗(yàn)成功4次、失敗0次或?qū)嶒?yàn)成功0次、失敗4次， 所以P(ξ=4)=+4=+=.則E(ξ)=0×+2×+4×=. 答：隨機(jī)變量ξ的數(shù)學(xué)期望為. (2) 由題意知f(2)f(3)=(3-2ξ)(8-3ξ)<0，故<ξ<，所以P(A)=P=P(ξ=2)=，

11、故事件A發(fā)生的概率P(A)=. 離散型隨機(jī)變量的均值與方差 例3　甲、乙兩名射手各射擊了10發(fā)子彈，其中甲擊中的環(huán)數(shù)與次數(shù)如下表： 環(huán)數(shù) 5 6 7 8 9 10 次數(shù) 1 1 1 1 2 4 　 乙射擊的概率分布列如下表： 環(huán)數(shù) 7 8 9 10 次數(shù) 0.2 0.3 P 0.1 　　 (1) 若甲、乙各打一槍，求擊中8環(huán)的概率及P的值； (2) 分析甲、乙射擊環(huán)數(shù)的數(shù)學(xué)期望與方差，比較甲、乙射擊水平的優(yōu)劣. 【分析】利用古典概型求出概率，并利用數(shù)學(xué)期望和方差比較優(yōu)劣. 【解答】(1) 甲射擊一槍，擊中8環(huán)的概率為0.

12、1，乙射擊一槍，擊中8環(huán)的概率為0.3， 所以P的值為1-0.2-0.3-0.1=0.4. (2) 甲射擊環(huán)數(shù)的數(shù)學(xué)期望為： E(X)=5×0.1+6×0.1+7×0.1+8×0.1+9×0.2+10×0.4=8.4. 乙射擊環(huán)數(shù)的數(shù)學(xué)期望為E(Y)=7×0.2+8×0.3+9×0.4+10×0.1=8.4. 由于E(X)=E(Y)，故還得考慮它們的方差. 甲射擊環(huán)數(shù)的方差為： V(X)=(5-8.4)2×0.1+(6-8.4)2×0.1+(7-8.4)2×0.1+(8-8.4)2×0.1+(9-8.4)2×0.2+(10-8.4)2×0.4=3.04. 乙射擊環(huán)數(shù)的方差為：

13、 V(X)=(7-8.4)2×0.2+(8-8.4)2×0.3+(9-8.4)2×0.4+(10-8.4)2×0.1=0.84. 所以甲、乙兩人射擊的平均水平相當(dāng)，但乙比較穩(wěn)定，故乙射擊水平優(yōu)于甲. 【點(diǎn)評(píng)】要能正確地運(yùn)用數(shù)學(xué)期望與方差的計(jì)算公式，同時(shí)理解離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望與方差是對(duì)隨機(jī)變量的簡(jiǎn)明描寫(xiě). 變式　如圖，莖葉圖記錄了甲、乙兩組各四名同學(xué)的植樹(shù)棵數(shù)，乙組記錄中有一個(gè)數(shù)據(jù)模糊，無(wú)法確認(rèn)，在圖中以X表示. (變式) (1) 若X=8，求乙組同學(xué)植樹(shù)棵數(shù)的平均數(shù)和方差； (2) 若X=9，分別從甲、乙兩組中隨機(jī)選取一名同學(xué)，求這兩名同學(xué)的植樹(shù)總棵數(shù)Y的概率分布和數(shù)

14、學(xué)期望. 【解答】(1) 當(dāng)X=8時(shí)，由莖葉圖可知，乙組同學(xué)的植樹(shù)棵數(shù)是：8，8，9，10，所以平均數(shù)為==， 方差為s2=×2+2+2+=. (2) 當(dāng)X=9時(shí)，由莖葉圖可知，甲組同學(xué)的植樹(shù)棵數(shù)是：9，9，11，11；乙組同學(xué)的植樹(shù)棵數(shù)是：9，8，9，10.分別從甲、乙兩組中隨機(jī)選取一名同學(xué)，共有4×4=16種可能的結(jié)果，這兩名同學(xué)植樹(shù)總棵數(shù)Y的可能取值為17，18，19，20，21.事件“Y=17”等價(jià)于“甲組選出的同學(xué)植樹(shù)9棵，乙組選出的同學(xué)植樹(shù)8棵”，所以該事件有2種可能的結(jié)果，因此，P(Y=17)==. 同理可得P(Y=18)=，P(Y=19)=， P(Y=20)=，P(Y

15、=21)=. 所以隨機(jī)變量Y的分布列為： Y 17 18 19 20 21 P 　　E(Y)=17×+18×+19×+20×+21×=19. 1. 某處有供水龍頭5個(gè)，調(diào)查表明每個(gè)龍頭被打開(kāi)的可能為0.1，隨機(jī)變量X表示同時(shí)被打開(kāi)的水龍頭的個(gè)數(shù)，則P(X=3)=　　　　. 【答案】0.008 1 【解析】P(X=3)=×0.13×0.92=0.008 1. 2. 盒子中有4個(gè)白球、5個(gè)紅球，從中任取3個(gè)球，則抽出1個(gè)白球和2個(gè)紅球的概率是　　　　. 【答案】 【解析】P==. 3. (2014·蘇州模擬)已知隨機(jī)變量X的分

16、布列為P(X=i)=(i=1，2，3)，則P(X=2)=　　　　. 【答案】 【解析】由分布列的性質(zhì)知++=1，所以a=3，所以P(X=2)==. 4. (2014·蘇錫常鎮(zhèn)連徐調(diào)研)甲、乙兩個(gè)同學(xué)進(jìn)行定點(diǎn)投籃游戲，已知他們每一次投籃投中的概率均為，且各次投籃的結(jié)果互不影響.甲同學(xué)決定投5次，乙同學(xué)決定投中1次就停止，否則就繼續(xù)投下去，但投籃次數(shù)不超過(guò)5. (1) 求甲同學(xué)至少有4次投中的概率； (2) 求乙同學(xué)投籃次數(shù)ξ的概率分布和數(shù)學(xué)期望. 【解答】(1) 設(shè)甲同學(xué)在5次投籃中，“至少有4次投中”的概率為P，則P=P(x=4)+P(x=5)=·+0=. (2) 由題意知，

17、ξ=1，2，3，4，5. P(ξ=1)=， P(ξ=2)=×=， P(ξ=3)=××=， P(ξ=4)=×=， P(ξ=5)==. 所以ξ的概率分布列為： ξ 1 2 3 4 5 P 數(shù)學(xué)期望E(ξ)=1×+2×+3×+4×+5×=. 5. (2014·南京學(xué)情調(diào)研)將編號(hào)為1，2，3，4的四個(gè)小球分別放入編號(hào)為1，2，3，4的四個(gè)盒子中，每個(gè)盒子中有且僅有一個(gè)小球.若小球的編號(hào)與盒子的編號(hào)相同，得1分，否則得0分.記ξ為四個(gè)小球得分總和. (1) 求ξ=2時(shí)的概率； (2) 求ξ的概率分布及數(shù)學(xué)期望. 【解答】(1) 當(dāng)ξ=2時(shí)，則

18、編號(hào)為1，2，3，4的四個(gè)小球中有且僅有兩個(gè)小球的編號(hào)與盒子的編號(hào)相同，故P(ξ=2)==，即ξ=2時(shí)的概率為. (2) 由題知ξ的可能取值有0，1，2，4， 則P(ξ=1)==， P(ξ=2)==， P(ξ=4)==， P(ξ=0)=1---=. 故ξ的概率分布列為： ξ 0 1 2 4 P 所以E(ξ)=0×+1×+2×+4×=1. 溫馨提示：趁熱打鐵，事半功倍.請(qǐng)老師布置同學(xué)們完成《配套檢測(cè)與評(píng)估》中的練習(xí)第45-46頁(yè). 【課后檢測(cè)】 第2講　概率、隨機(jī)變量及其分布列 1. 一個(gè)袋中有6個(gè)同樣大小的黑球，編號(hào)為1，2

19、，3，4，5，6，現(xiàn)從中隨機(jī)取出3個(gè)球，以X表示取出球的最大號(hào)碼，求X的概率分布列. 2. 甲、乙兩人各射擊一次，擊中目標(biāo)的概率分別是和.假設(shè)兩人是否擊中目標(biāo)相互之間沒(méi)有影響，每次射擊是否擊中目標(biāo)相互之間沒(méi)有影響. (1) 求兩人各射擊4次，甲恰好擊中目標(biāo)2次且乙恰好擊中目標(biāo)3次的概率. (2) 假設(shè)某人連續(xù)2次未擊中目標(biāo)，則停止射擊.問(wèn)：乙恰好射擊5次后，被中止射擊的概率是多少? 3. 甲、乙兩支排球隊(duì)進(jìn)行比賽，約定先勝3局者獲得比賽的勝利，比賽隨即結(jié)束. 除第五局甲隊(duì)獲勝的概率是外，其余每局比賽甲隊(duì)獲勝的概率都是. 假設(shè)各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立. (1) 分別求甲隊(duì)以3∶0，

20、3∶1，3∶2獲勝的概率. (2) 若比賽結(jié)果為3∶0或3∶1，則勝利方得3分、對(duì)方得0分；若比賽結(jié)果為3∶2，則勝利方得2分、對(duì)方得1分. 求甲隊(duì)得分X的分布列及數(shù)學(xué)期望. 4. (2014·蘇州期末)設(shè)ξ為隨機(jī)變量，從棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A1B1C1D1的八個(gè)頂點(diǎn)中任取四個(gè)點(diǎn)，當(dāng)四點(diǎn)共面時(shí)，ξ=0；當(dāng)四點(diǎn)不共面時(shí)，ξ的值為四點(diǎn)組成的四面體的體積. (1) 求概率P(ξ=0)； (2) 求ξ的分布列，并求其數(shù)學(xué)期望E(ξ). 5. 袋中共有8個(gè)球，其中有3個(gè)白球，5個(gè)黑球，這些球除顏色外完全相同.從袋中隨機(jī)取出一球，若取出白球，則把它放回袋中；若取出黑球，則該黑球不再

21、放回，并且另補(bǔ)一個(gè)相同的白球放入袋中，重復(fù)上述過(guò)程n次后，袋中白球的個(gè)數(shù)記為Xn. (1) 求隨機(jī)變量X2的概率分布及數(shù)學(xué)期望E(X2)； (2) 求隨機(jī)變量Xn的數(shù)學(xué)期望E(Xn)關(guān)于n的表達(dá)式. 6. 為了配合市中學(xué)生運(yùn)動(dòng)會(huì)的開(kāi)幕，當(dāng)?shù)啬硨W(xué)校招募了8名男志愿者和12名女志愿者.將這20名志愿者的身高制成如下的莖葉圖(單位：cm)： (第6題) 若身高在180cm以上(包括180cm)定義為“高個(gè)子”，身高在180cm以下(不包括180cm)定義為“非高個(gè)子”，且只有“女高個(gè)子”才能擔(dān)任“禮儀小姐”. (1) 如果用分層抽樣的方法從“高個(gè)子”和“非高個(gè)子”中抽取5人，再?gòu)?/p>

22、這5人中選2人，那么至少有一人是“高個(gè)子”的概率是多少? (2) 若從所有“高個(gè)子”中選3名志愿者，用X表示所選志愿者中能擔(dān)任“禮儀小姐”的人數(shù)，試寫(xiě)出X的分布列，并求X的數(shù)學(xué)期望. 7. (2015·揚(yáng)州期末)射擊測(cè)試有兩種方案.方案1：先在甲靶射擊一次，以后都在乙靶射擊；方案2：始終在乙靶射擊.某射手命中甲靶的概率為，命中一次得3分；命中乙靶的概率為，命中一次得2分，若沒(méi)有命中則得0分.用隨機(jī)變量ξ表示該射手一次測(cè)試?yán)塾?jì)得分，如果ξ的值不低于3分就認(rèn)為通過(guò)測(cè)試，立即停止射擊；否則繼續(xù)射擊，但一次測(cè)試最多打靶3次，每次射擊的結(jié)果相互獨(dú)立. (1) 如果該射手選擇方案1，求其測(cè)試結(jié)束

23、后所得總分ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望E(ξ)； (2) 該射手選擇哪種方案通過(guò)測(cè)試的可能性大?請(qǐng)說(shuō)明理由. 8. (2015·蘇州期末)某公司有10萬(wàn)元資金用于投資，如果投資甲項(xiàng)目，根據(jù)市場(chǎng)分析知道：一年后可能獲利10%，可能損失10%，可能不賠不賺，這三種情況發(fā)生的概率分別為；如果投資乙項(xiàng)目，一年后可能獲利20%，可能損失20%，這兩種情況發(fā)生的概率分別為α和β(α+β=1). (1) 如果把10萬(wàn)元投資甲項(xiàng)目，用X表示投資收益(收益=回收資金-投資資金)，求X的概率分布列及數(shù)學(xué)期望E(X)； (2) 若10萬(wàn)元資金投資乙項(xiàng)目的平均收益不低于投資甲項(xiàng)目的平均收益，求實(shí)數(shù)α的取值范圍.

24、 【課后檢測(cè)答案】 第2講　概率、隨機(jī)變量及其分布列 1. X的可能取值為3，4，5，6. P(X=3)==，P(X=4)==，P(X=5)==，P(X=6)==， 所以X的概率分布列為： X 3 4 5 6 P 2. (1) 設(shè)“甲恰好擊中目標(biāo)2次且乙恰好擊中目標(biāo)3次”為事件B，則 P(B)=×××××=. (2) 設(shè)“乙恰好射擊5次后，被中止射擊”為事件C，由于乙恰好射擊5次后被中止射擊，故必然是最后兩次未擊中目標(biāo)，第三次擊中目標(biāo)，第一次及第二次至多有一次未擊中目標(biāo).故P(C)=××=. 3. (1) 記甲隊(duì)以3∶0，3∶1，3∶2獲

25、勝分別為事件A，B，C. 由題意得P(A)==， P(B)=××=， P(C)=×××=. (2) X的可能取值為0，1，2，3. P(X=3)=P(A)+P(B)=； P(X=2)=P(C)=， P(X=1)=××=， P(X=0)=1-P(1≤X≤3)=. 所以X的分布列為： X 0 1 2 3 P 從而E(X)=0×+1×+2×+3×=. 答：甲隊(duì)以3∶0，3∶1，3∶2獲勝的概率分別為；甲隊(duì)得分X的數(shù)學(xué)期望為. 4. (1) 從正方體的八個(gè)頂點(diǎn)中任取四個(gè)點(diǎn)，共有=70種不同取法. 其中共面的情況共有12種(6個(gè)側(cè)面，6個(gè)對(duì)角面

26、). 則P(ξ=0)==. (2) 任取四個(gè)點(diǎn)，當(dāng)四點(diǎn)不共面時(shí)，四面體的體積只有以下兩種情況： ①四點(diǎn)在相對(duì)面且異面的對(duì)角線上，體積為1-4×=.這樣的取法共有2種. ②四點(diǎn)中有三個(gè)點(diǎn)在一個(gè)側(cè)面上，另一個(gè)點(diǎn)在相對(duì)側(cè)面上，體積為.這樣的取法共有70-12-2=56種. 所以ξ的分布列為： ξ 0 P 所以E(ξ)=×+×=. 5. (1) 由題意可知X2=3，4，5. 當(dāng)X2=3時(shí)，即兩次摸球均摸到白球，其概率是P(X2=3)=×=； 當(dāng)X2=4時(shí)，即兩次摸球恰好摸到一個(gè)白球，一個(gè)黑球，其概率是P(X2=4)=+=； 當(dāng)X2=5時(shí)，即兩次摸球均摸

27、到黑球，其概率是P(X2=5)==. 所以隨機(jī)變量X2的概率分布列為： X2 3 4 5 P 數(shù)學(xué)期望E(X2)=3×+4×+5×=. (2) 設(shè)P(Xn=3+k)=pk，k=0，1，2，3，4，5. 則p0+p1+p2+p3+p4+p5=1， E(Xn)=3p0+4p1+5p2+6p3+7p4+8p5. P(Xn+1=3)=p0， P(Xn+1=4)=p0+p1， P(Xn+1=5)=p1+p2， P(Xn+1=6)=p2+p3， P(Xn+1=7)=p3+p4， P(Xn+1=8)=p4+p5， 所以E(Xn+1)=3×p0+4×+5×（p1+

28、p2）+6×+7×（p3+p4）+8×（p4+p5） =p0+p1+p2+p3+p4+p5 =(3p0+4p1+5p2+6p3+7p4+8p5)+p0+p1+p2+p3+p4+p5 =E(Xn)+1. 由此可知E(Xn+1)-8=[E(Xn)-8]. 又E(X1)-8=，所以E(Xn)=8-·. 6. (1) 根據(jù)莖葉圖，有“高個(gè)子”8人，“非高個(gè)子”12人，用分層抽樣的方法，每個(gè)人被抽中的概率是=，所以抽取的5人中“高個(gè)子”有8×=2(人)，“非高個(gè)子”有12×=3(人). 用事件A表示“至少有一名‘高個(gè)子’被選中”，則它的對(duì)立事件表示“沒(méi)有一名”‘高個(gè)子’被選中”，則

29、P(A)=1-=1-=. 因此，至少有一人是“高個(gè)子”的概率是. (2) 依題意知所選志愿者中能擔(dān)任“禮儀小姐”的人數(shù)X的取值分別為0，1，2，3. P(X=0)==， P(X=1)==， P(X=2)==， P(X=3)==. 因此，X的分布列為： X 0 1 2 3 P 所以X的數(shù)學(xué)期望E(X)=0×+1×+2×+3×=. 7. 在甲靶射擊命中記作A，不中記作；在乙靶射擊命中記作B，不中記作， 其中P(A)=，P()=1-=，P(B)=，P()=1-=. (1) ξ的所有可能取值為0，2，3，4，則 P(ξ=0)= =P()P()P

30、()=××=， P(ξ=2)=P(B)+P(B)=P()P(B)P()+P()P()P(B)= ××+××=， P(ξ=3)=P(A)=， P(ξ=4)=P(BB)=P()P(B)P(B)=××=. 所以ξ的分布列為： ξ 0 2 3 4 P 所以E(ξ)=0×+2×+3×+4×=3. (2) 設(shè)射手選擇方案1通過(guò)測(cè)試的概率為P1，選擇方案2通過(guò)測(cè)試的概率為P2， P1=P(ξ≥3)=+=； P2=P(ξ≥3)=P(BB)+P(BB)+P(BB)=××+××+×=. 因?yàn)镻1>P2，所以選擇方案1通過(guò)測(cè)試的概率更大. 8. (1) 10

31、萬(wàn)元資金投資甲項(xiàng)目，一年后可能獲利1萬(wàn)元，可能損失1萬(wàn)元，可能不賠不賺. 所以X的所有可能取值分別為1，0，-1，所以X的分布列為 X 1 -1 0 P 所以X的數(shù)學(xué)期望E(X)=1×+(-1)×+0×=(萬(wàn)元). (2) 把10萬(wàn)元資金投資乙項(xiàng)目，一年后可能獲利2萬(wàn)元，可能損失2萬(wàn)元. 設(shè)Y表示10萬(wàn)元資金投資乙項(xiàng)目的收益，則Y的分布列為 Y 2 -2 P α β 所以E(Y)=2α-2β=2α-2(1-α)=4α-2(萬(wàn)元). 由題意得E(Y)≥E(X)，即4α-2≥，解得α≥. 由概率的意義知0≤α≤1，所以α的取值范圍是.