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1、
課時作業(yè)41
空間幾何體的結構特征及三視圖與直觀圖
1.如圖,△A′B′O′是利用斜二測畫法畫出的△ABO的直觀圖,已知A′B′∥y′軸,O′B′=4,且△ABO的面積為16,過A′作A′C′⊥x′軸,則A′C′的長為( A )
A.2 B.
C.16 D.1
解析:因為A′B′∥y′軸,所以△ABO中,AB⊥OB.
又因為△ABO的面積為16,所以AB·OB=16.
因為OB=O′B′=4,所以AB=8,所以A′B′=4.
因為A′C′⊥O′B′于C′,所以B′C′=A′C′,
所以A′C′=4·sin45°=2,故選A.
2.如圖是一幾何體的直觀圖
2、、正視圖和俯視圖,該幾何體的側視圖為( B )
解析:由直觀圖和正視圖、俯視圖可知,該幾何體的側視圖應為面PAD,且EC投影在面PAD上且為實線,點E的投影點為PA的中點,故B正確.
3.若某幾何體的三視圖如圖所示,則這個幾何體的直觀圖可能是( B )
解析:根據正視圖與俯視圖可排除A,C,根據側視圖可排除D.
4.(2019·貴州七校聯(lián)考)如圖所示,四面體ABCD的四個頂點是長方體的四個頂點(長方體是虛擬圖形,起輔助作用),則四面體ABCD的三視圖是(用①②③④⑤⑥代表圖形)( B )
A.①②⑥ B.①②③
C.④⑤⑥ D.③④⑤
解析:正
3、視圖應該是邊長為3和4的矩形,其對角線左下到右上是實線,左上到右下是虛線,因此正視圖是①,側視圖應該是邊長為5和4的矩形,其對角線左上到右下是實線,左下到右上是虛線,因此側視圖是②;俯視圖應該是邊長為3和5的矩形,其對角線左上到右下是實線,左下到右上是虛線,因此俯視圖是③.
5.“牟合方蓋”(如圖1)是我國古代數學家劉徽在研究球的體積的過程中構造的一個和諧優(yōu)美的幾何體.它由完全相同的四個曲面構成,相對的兩個曲面在同一個圓柱的側面上,好似兩個扣合(牟合)在一起的方形傘(方蓋).其直觀圖如圖2所示,圖中四邊形是為體現(xiàn)其直觀性所作的輔助線,其實際直觀圖中四邊形不存在,當其正視圖和側視圖完全相同時,
4、它的正視圖和俯視圖分別可能是( A )
A.a,b B.a,c
C.c,b D.b,d
解析:當正視圖和側視圖完全相同時,“牟合方蓋”相對的兩個曲面正對前方,正視圖為一個圓,俯視圖為一個正方形,且兩條對角線為實線,故選A.
6.(2019·東北師大附中、吉林市一中等五校聯(lián)考)如圖所示,在三棱錐D-ABC中,已知AC=BC=CD=2,CD⊥平面ABC,∠ACB
=90°.若其正視圖、俯視圖如圖所示,則其側視圖的面積為( D )
A. B.2
C. D.
解析:由幾何體的結構特征和正視圖、俯視圖,得該幾何體的側視圖是一個直角三角形,其中一直角邊為CD,其長度
5、為2,另一直角邊為底面△ABC的邊AB上的中線,其長度為,則其側視圖的面積S=×2×=.
7.(2014·新課標Ⅰ)如圖,網格紙上小正方形的邊長為1,粗實線畫出的是某多面體的三視圖,則該多面體的各條棱中,最長的棱的長度為( B )
A.6 B.6
C.4 D.4
解析:由多面體的三視圖可知該幾何體的直觀圖為一個三棱錐,如圖所示.
其中面ABC⊥面BCD,△ABC為等腰直角三角形,AB=BC=4,取BC的中點M,連接AM,DM,則DM⊥面ABC,在等腰△BCD中,BD=DC=2,BC=DM=4,
所以在Rt△AMD中,AD===6,又在Rt△ABC中,AC=4<6,故該多
6、面體的各條棱中,最長棱為AD,長度為6,故選B.
8.(2019·江西南昌二中月考)一個幾何體的三視圖如圖所示,在該幾何體的各個面中,面積最小的面的面積為( D )
A.8 B.4
C.4 D.4
解析:由三視圖可知該幾何體的直觀圖如圖所示,顯然S△PCD>S△ABC,由三視圖特征可知,PA⊥平面ABC,DB⊥平面ABC,AB⊥AC,PA=AB=AC=4,DB=2,則易得S△PAC=S△ABC=8,,S梯形ABDP=12,S△BCD=×4×2=4,故選D.
9.(2019·惠州模擬)如圖,在底面邊長為1,高為2的正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,點P是平面A1B1
7、C1D1內一點,則三棱錐
P-BCD的正視圖與側視圖的面積之和為( B )
A.1 B.2
C.3 D.4
解析:設點P在平面A1ADD1的射影為P′,在平面C1CDD1的射影為P″,如圖所示.
∴三棱錐P-BCD的正視圖與側視圖分別為△P′AD與△P″CD,
因此所求面積S=S△P′AD+S△P″CD=×1×2+×1×2=2.
10.(2019·邵陽模擬)某四面體的三視圖如圖所示,該四面體的六條棱中,長度最長的棱的長是( C )
A.2 B.2
C.2 D.4
解析:由三視圖可知該四面體的直觀圖如圖所示.
其中AC=2,PA=2,△ABC
8、中,邊AC上的高為2,所以BC==2,AB==4,而PB===2,PC==2,因此在四面體的六條棱中,長度最長的是BC,其長為2,選C.
11.一個圓臺上、下底面的半徑分別為3 cm和8 cm,若兩底面圓心的連線長為12 cm,則這個圓臺的母線長為 13 cm.
解析:如圖,過點A作AC⊥OB,交OB于點C.
在Rt△ABC中,AC=12 cm,
BC=8-3=5 cm.
∴AB==13 cm.
12.(2019·蘭州模擬)正四棱錐的底面邊長為2,側棱長均為,其正視圖和側視圖是全等的等腰三角形,則正視圖的周長為
2+2 .
解析:由題意知,正視圖就是如圖所示的截面PEF
9、,其中E,F(xiàn)分別是AD,BC的中點,連接AO,易得AO=,又PA=,于是解得PO=1,所以PE=,故其正視圖的周長為2+2.
13.(2019·濟南模擬)一只螞蟻從正方體ABCD-A1B1C1D1的頂點A出發(fā),經正方體的表面,按最短路線爬行到頂點C1的位置,則下列圖形中可以表示正方體及螞蟻最短爬行路線的正視圖的是( D )
A.①② B.①③ C.③④ D.②④
解析:由點A經正方體的表面,按最短路線爬行到達頂點C1的位置,共有6種路線(對應6種不同的展開方式),若把平面ABB1A1和平面BCC1B1展開到同一個平面內,連接AC1,則AC1是最短路線,且AC1會
10、經過BB1的中點,此時對應的正視圖為②;若把平面ABCD和平面CDD1C1展開到同一個平面內,連接AC1,則AC1是最短路線,且AC1會經過CD的中點,此時對應的正視圖為④.而其他幾種展開方式對應的正視圖在題中沒有出現(xiàn).故選D.
14.已知以下三視圖中有三個同時表示某一個棱錐,則下列不是該三棱錐的三視圖的是( D )
解析:四個選項中,因為觀察的位置不同,得到的三個視圖也不同.可從俯視圖入手,以A選項中的正方向作為標準.
則A中的方向如圖所示.
B中的方向.
C中的方向.
15.如圖,網格紙上小正方形的邊長為1,粗實線畫出的是某多面體的三視圖,則該多面體的體
11、積是 .
解析:可從俯視圖入手,觀察得知,可能是三棱臺,再觀察側視圖和正視圖驗證想法.可得該多面體為棱錐S-A1B1C1由平面ABC截得的棱臺,如圖.AB=AC=2,A1B1=A1C1=4,所以SA1=4,
VS-A1B1C1=,VS-ABC=,所以VABC-A1B1C1=.
16.某三棱錐的三視圖如圖所示,且三個三角形均為直角三角形,則xy的最大值為 64 .
解析:由三視圖知三棱錐如圖所示,
底面ABC是直角三角形,AB⊥BC,PA⊥平面ABC,BC=2,
PA2+y2=102,(2)2+PA2=x2,
因此xy=x
=x≤=64,當且僅當x2=128-x2,即x=8時取等號,因此xy的最大值是64.