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1、)()(xQyxPdxdy 一階線性微分方程一階線性微分方程 的標(biāo)準(zhǔn)形式的標(biāo)準(zhǔn)形式:, 0)( xQ當(dāng)當(dāng)上述方程稱為上述方程稱為 齊次方程齊次方程.上述方程稱為上述方程稱為 非齊次方程非齊次方程., 0)( xQ當(dāng)當(dāng)二、一階線性微分方程二、一階線性微分方程. 0)( yxPdxdy,)(dxxPydy ,)( dxxPydyln|( )ln|,yP x dxC 齊次方程的通解為齊次方程的通解為.)( dxxPCey1. 線性齊次方程線性齊次方程一階線性微分方程的一階線性微分方程的 解法解法(可分離變量可分離變量)2. 線性非齊次方程線性非齊次方程).()(xQyxPdxdy 常數(shù)變易法常數(shù)變易
2、法把齊次方程通解中的常數(shù)變易為待定函數(shù)的方法把齊次方程通解中的常數(shù)變易為待定函數(shù)的方法. . xxPeuxPd)()(令令 dxxPexuy)()(對應(yīng)齊次方程通解對應(yīng)齊次方程通解xxPeCyd)(齊次方程通解齊次方程通解非齊次方程特解非齊次方程特解 xxPCed)(代入非齊次方程，得代入非齊次方程，得 xxPeud)()(xP xxPeud)()(xQ 故原方程的通解故原方程的通解xexQexxPxxPd)(d)(d)( CxexQeyxxPxxPd)(d)(d)( y即即即即 xxPexQxud)()(ddCxexQuxxP d)(d)(兩端積分得兩端積分得25) 1()( xxQ12)(
3、xxP例例1 1. 解方程解方程 .)1(12dd25 xxyxy解解: :這是一個非齊次線性方程這是一個非齊次線性方程 故原方程通解為故原方程通解為 Cxxy232)1(32)1(由一階線性方程由一階線性方程通解公式通解公式, ,得得ey dxx 12 ex25)1( dxx )1(2 Cx d2)1( x 25)1(x2)1( x dCx )1(32)1(232Cxx xxxQcsc)(2xxPcot)(例例2 2. 解方程解方程 2dcotcscdyyxxxx解解: : 這是一個非齊次線性方程這是一個非齊次線性方程 故原方程通解為故原方程通解為)3(csc3Cxxy 由一階線性方程由一階
4、線性方程通解公式通解公式, ,得得ey dxx cot exx csc2 dxx cot Cx dxsin1 xx csc2xsin dCx )3(sin13Cxx 2(6 )20.yx yy 求求方方程程的的通通解解3( ),P yy ( ),2yQ y 332dydyyyyxeedyC 3ln3ln2yyyeedyC 3212yy dyC 3112yyC 解解例例3 3原方程可化為為原方程可化為為d3d2xyxyy 伯努利伯努利(Bernoulli)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式方程的標(biāo)準(zhǔn)形式nyxQyxPdxdy)()( )1 , 0( n伯努利方程伯努利方程解法解法: : 經(jīng)過變量代換化為一階線性微分
5、方程經(jīng)過變量代換化為一階線性微分方程.1,nzy 令令 ，則則dxdyyndxdzn )1(),()(1xQyxPdxdyynn ),()1()()1(xQnzxPndxdz 求出通解后，將求出通解后，將 代入即得代入即得nyz 1，得，得兩端除以兩端除以ny代入上式代入上式. )1)()()1()()1(1 CdxenxQezydxxPndxxPnn例例4 4. 求方程求方程2)ln(ddyxaxyxy 的通解的通解. .解解: :令令1 21,zyy 則方程變形為則方程變形為xaxzxzlndd 其通解為其通解為ez 將將1 yz 1)ln(22 xaCxyxxd1 exa)ln(xxd1
6、 Cx d 2)ln(2xaCx 代入代入, , 得原方程通解得原方程通解: : 例例5 5 用適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q解微分方程用適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q解微分方程: :;2222xxexyyy 解解,2112 yxexyyx,2)1(1yyz 令令22,xdzxzxedx 則則 222Cdxexeezxdxxxdx 所求通解為所求通解為).2(222Cxeyx 三、幾類可降階的高階微分方程三、幾類可降階的高階微分方程 )( . 1)(xfyn 兩端積分得兩端積分得 n-1 階方程階方程1)1(d)(Cxxfyn 同理可得同理可得 2)2(d Cxyn 1d)(Cxxf xd xxfd)( 依次通過依次通過 n
7、 次積分次積分, ,可得含可得含 n 個任意常數(shù)的通解個任意常數(shù)的通解 .21CxC 型型例例1. 1. .cos2xeyx 求解求解解解: : 12cosCxdxeyx 12sin21Cxex xey241 xey281 1121CC 此處此處xsin 21xC 32CxC xcos 21CxC ),( . 2yxfy 型型設(shè)設(shè),yp ,py 則則原方程化為一階方程原方程化為一階方程),(pxfp 設(shè)其通解為設(shè)其通解為),(1Cxp 則得則得),(1Cxy 兩邊積分兩邊積分, , 得原方程的通解得原方程的通解21d),(CxCxy 例例2.2.求解求解yxyx 2)1(2,10 xy3 0
8、xy解解: : ,yp 設(shè)設(shè),py 則則代入方程得代入方程得pxpx2)1(2 分離變量分離變量)1(d2d2xxxpp 積分得積分得,ln)1(lnln12Cxp )1(21xCp 即即,3 0 xy利用利用, 31 C得得于是有于是有)1(32xy 兩端再積分得兩端再積分得233Cxxy 利用利用,10 xy, 12 C得得133 xxy因此所求特解為因此所求特解為),( . 3yyfy 型型令令( ),yp y xpydd 則則xyypdddd yppdd 故方程化為故方程化為),(ddpyfypp 設(shè)其通解為設(shè)其通解為),(1Cyp 即得即得),(1Cyy 分離變量后積分分離變量后積分
9、, , 得原方程的通解得原方程的通解21),(dCxCyy 例例3 3. .求解求解.02 yyy代入方程得代入方程得,0dd2 pyppyyyppdd 即即兩端積分得兩端積分得,lnlnln1Cyp ,1yCp 即即yCy1 ( (可分離變量可分離變量) )故所求通解為故所求通解為xCeCy12 解解: :,yp 設(shè)設(shè)xpydd 則則xyypdddd yppdd 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)一階微分方程一階微分方程齊次方程齊次方程).(xyfdxdy 齊次方程的解法齊次方程的解法.xyu 令令1. 可分離變量的方程可分離變量的方程1.分離變量分離變量;2.兩端積分兩端積分-隱式通解隱式通解.轉(zhuǎn)化為可分離
10、變量的方程轉(zhuǎn)化為可分離變量的方程2.2.一階線性方程一階線性方程)()(ddxQyxPxy 方法方法1 1 先解齊次方程先解齊次方程, , 再用再用 常數(shù)變易法常數(shù)變易法. .方法方法2 2 用通解公式用通解公式 CxexQeyxxPxxP d)(d)(d)(1,nzy 令令轉(zhuǎn)化為線性方程求解轉(zhuǎn)化為線性方程求解. .伯努利方程伯努利方程nyxQyxPxy)()(dd )1,0( n3.3.可降階的高階方程的解法可降階的高階方程的解法 轉(zhuǎn)化為一階方程轉(zhuǎn)化為一階方程)(. 1)(xfyn 逐次積分逐次積分),(. 2yxfy 令令,yp xpydd 則則),(. 3yyfy 令令,yp yppyd
11、d 則則練習(xí)練習(xí).設(shè)設(shè)F(x)f (x) g(x), 其中函數(shù)其中函數(shù) f(x), g(x) 在在(,+)內(nèi)滿足以下條件內(nèi)滿足以下條件:( )( ),( )( ),(0)0,fxg xg xf xf且且(1) 求求F(x) 所滿足的一階微分方程所滿足的一階微分方程;(03考研考研) (2) 求出求出F(x) 的表達(dá)式的表達(dá)式.解解: (1) ( )( ) ( )( )( )Fxfx g xf x g x22( )( )gxfx2 ( )( )2 ( ) ( )g xf xf x g x2(2)2( )xeF x所以所以 F(x) 滿足一階線性非齊次微分方程滿足一階線性非齊次微分方程:( )( )2.xf xg xe(2) 由一階線性微分方程解的公式得由一階線性微分方程解的公式得 2d2d2( )4dxxxF xeeexC 244dxxeexC (0)(0) (0)0Ffg，1C 于是于是 22( )xxF xee 2( )2( )4xFxF xe 22xxeCe
高等數(shù)學(xué)：6-2 一階線性微分方程
