大學(xué)數(shù)學(xué)極限

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1、會(huì)計(jì)學(xué)1大學(xué)數(shù)學(xué)極限大學(xué)數(shù)學(xué)極限 極限概念是微積分的基本概極限概念是微積分的基本概念。也是微積分學(xué)研究的基本念。也是微積分學(xué)研究的基本工具工具. .后面將要介紹的函數(shù)的后面將要介紹的函數(shù)的連續(xù)性、導(dǎo)數(shù)、積分等重要概連續(xù)性、導(dǎo)數(shù)、積分等重要概念，都是以極限為基礎(chǔ)的。念，都是以極限為基礎(chǔ)的。極限是研究函數(shù)的一種重要的方法。極限是研究函數(shù)的一種重要的方法。第1頁(yè)/共63頁(yè)極限是描述變量在某個(gè)變化過(guò)程中的變化趨勢(shì)變化趨勢(shì)。簡(jiǎn)單說(shuō)：第2頁(yè)/共63頁(yè)第3頁(yè)/共63頁(yè)第4頁(yè)/共63頁(yè)圓內(nèi)接正六邊形圓內(nèi)接正六邊形圓內(nèi)接正十二邊形圓內(nèi)接正十二邊形圓內(nèi)接下圓內(nèi)接下24邊邊形形邊長(zhǎng)越多，正多邊形的周長(zhǎng)越接近圓的周長(zhǎng)

2、邊長(zhǎng)越多，正多邊形的周長(zhǎng)越接近圓的周長(zhǎng)【古代極限應(yīng)用】第5頁(yè)/共63頁(yè)數(shù)列的極限數(shù)列的極限(limit of sequence)數(shù)列的定義數(shù)列的定義： 數(shù)列按照一定規(guī)律有次序排列的一串?dāng)?shù)列按照一定規(guī)律有次序排列的一串?dāng)?shù)數(shù)簡(jiǎn)記簡(jiǎn)記 （數(shù)列也可看作是定義在正整數(shù)集合上的函數(shù)（數(shù)列也可看作是定義在正整數(shù)集合上的函數(shù) =f(n)n=1,2, =f(n)n=1,2, ） 稱(chēng)為稱(chēng)為數(shù)列數(shù)列的通項(xiàng)或一般項(xiàng)。的通項(xiàng)或一般項(xiàng)。.nx,4321nxxxxxnxnx第6頁(yè)/共63頁(yè),1,41,31,21, 1n,) 1( , 1 , 1, 11n例如：例如：n1記作：記作：1) 1(n,21,21,21,21,21

3、432n記作：n21第7頁(yè)/共63頁(yè) 數(shù)列的極限數(shù)列的極限考察當(dāng)考察當(dāng)n時(shí)，通項(xiàng)時(shí)，通項(xiàng)xn的的變化趨勢(shì)變化趨勢(shì)。數(shù)列極限的實(shí)質(zhì)：數(shù)列極限的實(shí)質(zhì)：隨著項(xiàng)數(shù)n的變化,通項(xiàng)xn的變化趨勢(shì)變化趨勢(shì)也就是第8頁(yè)/共63頁(yè),1,41,31,21, 1n0,) 1(,43,34,21,21nnn)(n,2,8,4,2n,) 1( ,1,1,11n趨勢(shì)不定趨勢(shì)不定)(n1)(n)(n第9頁(yè)/共63頁(yè)Axnnlim數(shù)列數(shù)列nx的極限定義的極限定義：則稱(chēng)常數(shù)則稱(chēng)常數(shù)A為該數(shù)列的極限。為該數(shù)列的極限。記記作作或或)(nAxn（lim來(lái)自于英文單詞“l(fā)imit”極限） 給定一個(gè)數(shù)列給定一個(gè)數(shù)列 如果當(dāng)項(xiàng)數(shù)如果當(dāng)項(xiàng)數(shù)

4、n無(wú)限增大無(wú)限增大時(shí)，時(shí)，xn無(wú)限趨近于無(wú)限趨近于 某個(gè)固定的常數(shù)某個(gè)固定的常數(shù)Anx第10頁(yè)/共63頁(yè),21,21,21,21,21432n常數(shù)常數(shù) 0 稱(chēng)為此數(shù)列的極限稱(chēng)為此數(shù)列的極限)(n021limnn記作：記作：n21例：例：0第11頁(yè)/共63頁(yè)nnx2)(nnn2lim,2,8,4,2n極限不存在例：例：第12頁(yè)/共63頁(yè),1,41,31,21n,) 1(,43,34,21,21nnn收收 斂斂01limnn1) 1(lim1nnnn第13頁(yè)/共63頁(yè),2,8,4,2n,) 1( ,1,1,11n發(fā)發(fā) 散散nn2lim不存在1) 1(limnn第14頁(yè)/共63頁(yè) 如果一個(gè)數(shù)列的極限

5、存在如果一個(gè)數(shù)列的極限存在, ,則稱(chēng)該則稱(chēng)該數(shù)列是數(shù)列是收斂收斂(converge)(converge)； 如果一個(gè)數(shù)列的極限不存在如果一個(gè)數(shù)列的極限不存在, ,則稱(chēng)該則稱(chēng)該數(shù)列是數(shù)列是發(fā)散發(fā)散(diverge)(diverge)。第15頁(yè)/共63頁(yè)1limnnn1課堂練習(xí)：判別下列數(shù)列是否收斂54,43,32,21)(n1nn通項(xiàng)1數(shù)列收斂第16頁(yè)/共63頁(yè)函數(shù)函數(shù) 值值 隨著自變量隨著自變量x的變化而變化的變化而變化)(xf函數(shù)的極限函數(shù)的極限(limit of function) 研究函數(shù)的極限研究函數(shù)的極限,就是研究當(dāng)自變量就是研究當(dāng)自變量按照某種方式變化時(shí)所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值按照某種方式變

6、化時(shí)所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值的的變化趨勢(shì)。變化趨勢(shì)。第17頁(yè)/共63頁(yè)二、自變量趨于有限值時(shí)函數(shù)的極二、自變量趨于有限值時(shí)函數(shù)的極限限, )(xfy 函數(shù)對(duì)一、自變量趨于無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限一、自變量趨于無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限x0 xx )(xf變化趨勢(shì)變化趨勢(shì)?)(xf變化趨勢(shì)變化趨勢(shì)?第18頁(yè)/共63頁(yè)自變量趨于無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限自變量趨于無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限時(shí)時(shí),函數(shù)函數(shù)f(x)的極限的極限（變化趨勢(shì)）（變化趨勢(shì)）x1、時(shí)時(shí),函數(shù)函數(shù)f(x)的極限的極限（變化趨勢(shì)）（變化趨勢(shì)）x2、時(shí)時(shí),函數(shù)函數(shù)f(x)的極限的極限（變化趨勢(shì)）（變化趨勢(shì)）x3、第19頁(yè)/共63頁(yè)xy1, 5, 4, 3, 2x,51,4

7、1,31,21y時(shí)時(shí),函數(shù)函數(shù)f(x)的極限的極限x例：oxyy=f(x) 0 xx0第20頁(yè)/共63頁(yè)xy1, 5, 4, 3, 2x,51,41,31,21y時(shí)時(shí),函數(shù)函數(shù)f(x)的極限的極限xox-yxy1(X0)y=f(x) 0 x0第21頁(yè)/共63頁(yè)xy1yox+-xy=f(x) 0 xy1時(shí)時(shí),函數(shù)函數(shù)f(x)的極限的極限第22頁(yè)/共63頁(yè)定義定義2.2：設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) ，如果當(dāng)，如果當(dāng)X無(wú)無(wú)限增大時(shí)，函數(shù)無(wú)限趨近于某個(gè)固限增大時(shí)，函數(shù)無(wú)限趨近于某個(gè)固定的常數(shù)定的常數(shù) A,則稱(chēng)當(dāng)則稱(chēng)當(dāng)X趨于正無(wú)窮時(shí)趨于正無(wú)窮時(shí)， f(x) 以以A為極限，為極限，)()()(limxAxfAxfx或x

8、時(shí)時(shí),函數(shù)函數(shù)f(x)的極限的極限.,時(shí)的極限類(lèi)似可定義xx記為記為f f( (x x) )y y 第23頁(yè)/共63頁(yè)定義定義2.2：設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) ，如果當(dāng)，如果當(dāng)X0,而而|X|X|無(wú)限增大時(shí)，函數(shù)無(wú)限趨近無(wú)限增大時(shí)，函數(shù)無(wú)限趨近于某個(gè)固定的常數(shù)于某個(gè)固定的常數(shù) A,則稱(chēng)當(dāng)則稱(chēng)當(dāng)X趨于趨于負(fù)無(wú)窮時(shí)，負(fù)無(wú)窮時(shí)， f(x) 以以A為極限，為極限，)()()(limxAxfAxfx或x時(shí)時(shí),函數(shù)函數(shù)f(x)的極限的極限記為記為f f( (x x) )y y 第24頁(yè)/共63頁(yè)定義定義2.2:設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) ，如果自變量，如果自變量X可取正值也可取負(fù)值，可取正值也可取負(fù)值，X的絕對(duì)值的絕對(duì)值無(wú)限增大時(shí)

9、，函數(shù)無(wú)限趨近于某個(gè)無(wú)限增大時(shí)，函數(shù)無(wú)限趨近于某個(gè)固定的常數(shù)固定的常數(shù) A,則稱(chēng)當(dāng)則稱(chēng)當(dāng)X趨于無(wú)窮時(shí)趨于無(wú)窮時(shí)， f(x) 以以A為極限，為極限，)()()(limxAxfAxfx或x時(shí)時(shí),函數(shù)函數(shù)f(x)的極限的極限記為記為f f( (x x) )y y 第25頁(yè)/共63頁(yè)01limxx01limxx01limxx第26頁(yè)/共63頁(yè)xxfy2)(xx2limxx2limxx2lim不存在-+xy20第27頁(yè)/共63頁(yè)正弦函數(shù)正弦函數(shù)xysin xysin xxsinlim不存在第28頁(yè)/共63頁(yè)0 xx 2)(xxfy例7 討論當(dāng) 時(shí)，函數(shù)二、自變量趨于有限值時(shí)函數(shù)的極二、自變量趨于有限值時(shí)

10、函數(shù)的極限限2x的的變化趨勢(shì)變化趨勢(shì)f(x) 變化趨勢(shì)變化趨勢(shì)?0 x為有限值第29頁(yè)/共63頁(yè)2)(xxfyx 1.9999991.99999999922.0000000012.0000.1y 3.9999960000013.9999999960000000014.0000000040000000014.00004000011x2 , f(x) 4（22）2xy x第30頁(yè)/共63頁(yè)11)(2xxxfyx0.90.990.9990.999911.00011.0011.011.1y1.91.991.9991.9999不存在2.00012.0012.012.1例8x1 , f(x) 2討論函數(shù)x

11、1函數(shù)值的變化趨勢(shì)2xoy1第31頁(yè)/共63頁(yè)定義定義2.3：設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)在點(diǎn)x0的的鄰域內(nèi)鄰域內(nèi)(點(diǎn)點(diǎn)x0 可可以除外以除外)有定義有定義，如果當(dāng)自變量，如果當(dāng)自變量x無(wú)限趨近于無(wú)限趨近于x0(但但xx0)時(shí)，函數(shù)時(shí)，函數(shù)f(x)無(wú)限趨近于某個(gè)固定無(wú)限趨近于某個(gè)固定常數(shù)常數(shù)A,則稱(chēng)當(dāng)則稱(chēng)當(dāng)x趨于趨于x0時(shí)，函數(shù)以時(shí)，函數(shù)以A為極限，為極限，)()()(lim00 xxAxfAxfxx或記記作作函數(shù)極限定義：第32頁(yè)/共63頁(yè)4lim22xx211lim21xxx上例可記作第33頁(yè)/共63頁(yè)函數(shù)極限定義的注意點(diǎn)1、鄰域內(nèi)有定義（、鄰域內(nèi)有定義（xx0）xx0lim:0 xx 不

12、存在2、 x無(wú)限趨近于無(wú)限趨近于x00 xx 0 xx 0 xx 0 xx 211lim21xxx第34頁(yè)/共63頁(yè)x1yo1xx0lim 1, 1)(xxxf例：0第35頁(yè)/共63頁(yè)xy1yox圖象xx1lim0例（課后思考：函數(shù)極限存在的充分必要條件）不存在X從右測(cè)接近于0，y+X從左測(cè)接近于0，y-第36頁(yè)/共63頁(yè)xxxcoslim0 xxxsinlim0 xxx0lim 根據(jù)定義可以證明：以下的極限均成立可以證明：以下的極限均成立Cxx0limC0 x0cosx0sin x第37頁(yè)/共63頁(yè)-、數(shù)列、數(shù)列 的極限：的極限：給定一個(gè)數(shù)列給定一個(gè)數(shù)列 如果當(dāng)項(xiàng)數(shù)如果當(dāng)項(xiàng)數(shù)n無(wú)限增大時(shí)，無(wú)

13、限增大時(shí)，xn無(wú)限趨近于無(wú)限趨近于 某個(gè)固定的常數(shù)某個(gè)固定的常數(shù)A則稱(chēng)常數(shù)則稱(chēng)常數(shù)A為該數(shù)列的極限。為該數(shù)列的極限。Axnnlim)(nAxn-、數(shù)列、數(shù)列 的極限：的極限：nx記作記作或或給定一個(gè)數(shù)列給定一個(gè)數(shù)列 如果當(dāng)項(xiàng)數(shù)如果當(dāng)項(xiàng)數(shù)n無(wú)限增大時(shí)，無(wú)限增大時(shí)，xn無(wú)限趨近于無(wú)限趨近于 某個(gè)固定的常數(shù)某個(gè)固定的常數(shù)A則稱(chēng)常數(shù)則稱(chēng)常數(shù)A為該數(shù)列的極限。為該數(shù)列的極限。nx 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)在點(diǎn)x0的鄰域內(nèi)的鄰域內(nèi)(點(diǎn)點(diǎn)x0 可以除外可以除外)有定義有定義，如果，如果當(dāng)自變量當(dāng)自變量x無(wú)限趨近于無(wú)限趨近于x0(但但xx0)時(shí)時(shí)，函數(shù)，函數(shù)f(x)無(wú)限趨近于某個(gè)固定常數(shù)無(wú)限趨近于某個(gè)固定

14、常數(shù)A,則稱(chēng)當(dāng)則稱(chēng)當(dāng)x趨于趨于x0時(shí)，函數(shù)以時(shí)，函數(shù)以A為極限。為極限。二、函數(shù)二、函數(shù) y=f(x)的極限：的極限：)()()(lim00 xxAxfAxfxx或記作記作小結(jié)第38頁(yè)/共63頁(yè)思考練習(xí)題)0(1)0)(xxxxfxxarctanlimxxarctanlim2、已知函數(shù)討論)(lim0 xfx是否存在？1、求下列極限的值第39頁(yè)/共63頁(yè)第40頁(yè)/共63頁(yè)左極限左極限 : )0(0 xfAxfxx)(lim0 x如果當(dāng)如果當(dāng) 從從0 x的的左側(cè)無(wú)限趨近左側(cè)無(wú)限趨近0 x時(shí)時(shí),記著記著,0 xx函數(shù)函數(shù)f(x)無(wú)限趨近于一個(gè)確定的常無(wú)限趨近于一個(gè)確定的常數(shù)數(shù)A, 則稱(chēng)則稱(chēng)A為函數(shù)

15、為函數(shù)f(x)當(dāng)當(dāng)0 xx 時(shí)的左極限。記作時(shí)的左極限。記作第41頁(yè)/共63頁(yè)類(lèi)似可定義類(lèi)似可定義右極限右極限 : )0(0 xfAxfxx)(lim0函數(shù)的左極限和右極限函數(shù)的左極限和右極限統(tǒng)稱(chēng)為單側(cè)極限。統(tǒng)稱(chēng)為單側(cè)極限。第42頁(yè)/共63頁(yè)x1yo1,010,)(xxxxf)(lim)00(0 xffx0lim0 xx第43頁(yè)/共63頁(yè)對(duì)數(shù)函對(duì)數(shù)函數(shù)數(shù))1, 0(log aaxyaxyln xyalog xyalog )1( a)0 , 1( )10( a第44頁(yè)/共63頁(yè)xxlnlim0第45頁(yè)/共63頁(yè)例如：例如：xxxxxxxfy2, 1220,sin01,)(2),(lim0 xfx

16、求0lim)(lim200 xxfxx0sinlim)(lim00 xxfxx)(lim0 xfx第46頁(yè)/共63頁(yè)定理定理1.11.1：Axfxx)(lim0當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí), ,函數(shù)函數(shù) 極限存在的極限存在的充要條件是左、右極限存在且相等，充要條件是左、右極限存在且相等，即即)(xf0 xx Axfxfxxxx)(lim)(lim00第47頁(yè)/共63頁(yè)0,10,00, 1)(xxxxxxf討論討論 0 x時(shí)時(shí))(xf的極限是否存在的極限是否存在 . 解解: 利用定理利用定理 因?yàn)橐驗(yàn)?(lim)00(0 xffx) 1(lim0 xx1第48頁(yè)/共63頁(yè))(lim)00(0 xffx) 1(li

17、m0 xx1顯然顯然, )00()00(ff所以所以)(lim0 xfx不存在不存在 .第49頁(yè)/共63頁(yè)xyo11 xy11 xy0,10,00, 1)(xxxxxxf第50頁(yè)/共63頁(yè)例例7 7 問(wèn)問(wèn)a a為何值時(shí)為何值時(shí), ,所給函數(shù)所給函數(shù)x x=2=2處極處極限存在。限存在。)2(2)2(2)2(10)(2xaxxaxxxf解解：左極限左極限2010lim)(lim)02(22xxffxx右極限右極限aaxxffxx24)2lim)(lim)02(222（第51頁(yè)/共63頁(yè)欲函數(shù)在欲函數(shù)在x x=2=2處極限存在，必須左極處極限存在，必須左極限限等于右極限，等于右極限，即即a=a=8

18、 8第52頁(yè)/共63頁(yè)思考：思考：1)1)研究函數(shù)極限時(shí)研究函數(shù)極限時(shí), ,是否要考慮是否要考慮f f( (x x) )在在x x= =x x0 0時(shí)的性態(tài)？為什么？時(shí)的性態(tài)？為什么？2)2)若若f f ( (x x0 0+0)+0)和和f f ( (x x0 0-0)-0)都存在都存在, ,當(dāng)當(dāng)x x趨趨于于x x0 0時(shí)時(shí), ,f f( (x x) )的極限存在嗎？的極限存在嗎？3)3)如何利用如何利用f f ( (x x0 0+0)+0)和和f f ( (x x0 0-0)-0)來(lái)判斷來(lái)判斷當(dāng)當(dāng)x x趨于趨于x x0 0 時(shí)時(shí), ,f f( (x x) )的極限不存在？的極限不存在？第5

19、3頁(yè)/共63頁(yè)4)4)若極限若極限)(lim0 xfxx是否一定有是否一定有)()(lim00 xfxfxx？第54頁(yè)/共63頁(yè)1coslim0 xx0coslim2xx2arctanlimxx2arctanlimxx1sinlim2xx0sinlim0 xx0limxxe01limxx常用的極限結(jié)果：常用的極限結(jié)果：)(lim0為常數(shù)CCCxx第55頁(yè)/共63頁(yè)xxelim2lim xxxxlnlimxxlnlim0 xx1lim0 xxcoslimxxsinlim極限不存在的有：極限不存在的有：第56頁(yè)/共63頁(yè)練習(xí)：練習(xí)：設(shè)設(shè))1(12)11(1)1()(2xxxxxxxf求：求：)(l

20、im1xfx)(lim1xfx)(lim1xfx)(lim1xfx第57頁(yè)/共63頁(yè)0) 1(lim)(lim11xxfxx不存在)(lim1xfx1) 12(lim)(lim11xxfxx1) 1(lim)(lim2211xxfxx第58頁(yè)/共63頁(yè)作業(yè)作業(yè)NO.13:(3) 分析分析 22)3(2xxy的復(fù)合結(jié)構(gòu)的復(fù)合結(jié)構(gòu).解解:由由2232xxvvuyu復(fù)合而成的復(fù)合而成的.第59頁(yè)/共63頁(yè)作業(yè)作業(yè)NO.13:(4) 分析分析 3)5cos3tan(1 3xy的復(fù)合結(jié)構(gòu)的復(fù)合結(jié)構(gòu).解解:由由xttvvuuy5cos3tan1323復(fù)合而成的復(fù)合而成的.xhttvvuuy5cosh3tan133第60頁(yè)/共63頁(yè)NO14. 不存在xxxfxx00lim)(lim解：解：左極限左極限11limlim)(lim000 xxxxxxf右極限右極限11limlim)(lim000 xxxxxxf)(lim)(lim00 xfxfxx不存在xxx0lim第61頁(yè)/共63頁(yè)0lim)(lim)00(00 xxffxx22lim)(lim)01 (11xxxff21,210,0,1)(xxxxxxf解解: xxffxx1lim)(lim)00(001lim)(lim)01 (11xxffxx第62頁(yè)/共63頁(yè)