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1、
第十五講：等腰直角三角形
如圖，在等腰Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，AD⊥BC于點(diǎn)D.
基本性質(zhì)：1．邊：AB=AC，DA=DB=DC=BC；
2．角：∠BAC=∠ADB=∠ADC=90°；
∠B=∠C=∠BAD=∠CAD=45°；
3．形：等腰Rt△ABC，等腰Rt△ABD，等腰Rt△ACD.
第一部分【能力提高】
一、如圖，M為等腰Rt△ABC斜邊BC的中點(diǎn)，D為AB上一點(diǎn)，ME⊥MD交直線AC于點(diǎn)E.
（1）求證：MD=ME；
其它結(jié)
2、論：①AD+AE=AB；②BD+CE=AB；③△MDE為等腰直角三角形；④.
（2）如圖，若D為AB反向延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，其它條件不變， 請(qǐng)完成圖形并探究（1）中的結(jié)論.
二、如圖，已知點(diǎn)D為等腰直角△ABC內(nèi)一點(diǎn)，∠CAD=∠CBD=15°，E為AD延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，且CE=CA．
（1）求證：DE平分∠BDC；
（2）若點(diǎn)M在DE上，且DC=DM，求證：ME=BD．
三、如圖，M為等腰Rt△ABC直角邊AC的中點(diǎn)，AE⊥BD交BC于點(diǎn)E，連結(jié)DE.
（1）求證：①∠ADB=∠CDE；②AE+DE=BD
3、；
（2）如圖2，若AM=CN，AE⊥BM交BC于點(diǎn)E，BM、EN交于點(diǎn)P.
求證：①∠AMB=∠CNE；②AE+PE=BP.
四、如圖1，在等腰Rt△ABC中，D為直線BC上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作AD的垂線DE，過(guò)點(diǎn)B作AB的垂線BE.
（1）求證：AD=DE；
（2）拓展變化一：圖形的演變（縱深演變）
如圖2和圖3中，當(dāng)D分別在BC的延長(zhǎng)線或反向延長(zhǎng)線上時(shí)，求證：AD=DE；
4、
（3）拓展變化二：條件的演變（橫向演變）
如圖4，圖5，圖6中，等腰Rt△ABC中，D為直線BC上一點(diǎn)，以AD為腰作等腰Rt△ADE，連接BE，求證AB⊥BE.
第二部分【綜合運(yùn)用】
五、（1）如圖，等腰Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，P為△ABC形外一點(diǎn)，∠APB=90°，求證：∠APC=∠BPC=45°；
（2）如圖，等腰Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，P為△ABC形外一點(diǎn)，∠APC=45°，求證：∠APB
5、=90°；
（3）如圖，等腰Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，P為△ABC形外一點(diǎn)，CP平分∠APB，求證：∠APB=90°（∠APC=∠BPC=45°）；
（4）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，P為△ABC形外的一點(diǎn)，∠APC=∠BPC=45°，求證：AC=BC；
（5）如圖，在等腰△ABC中，AC=BC，P為△ABC形外的任一點(diǎn)，且∠APC=∠BPC=45°，求證：∠ACB=90°；
6、
（6）如圖，在（1）～（5）的條件下，過(guò)C作CH⊥AP于點(diǎn)H.
求證：①PA+PB=2PH；②PA-PB=2AH；
（7）如圖，當(dāng)P點(diǎn)、C點(diǎn)在直線AB的同側(cè)，類(lèi)同（1）～（6）的條件、結(jié)論，進(jìn)行探究.
六、如圖，以任意△ABC的兩邊AB、AC為腰作兩個(gè)等腰Rt△ABD和等腰Rt△ACE，連接BE、CD交于點(diǎn)O.
（1）求證：BE=CD；
（2）求∠BOC的度數(shù)；
（3）連接AO，求證：AO平分∠DOE；
（4）M、N分別為CD、BE的中點(diǎn)，判斷△AMN的形狀，并證明你的結(jié)論.
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