2020年中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 重難題型突破 類型四 拋物線型問題

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1、類型四 拋物線形問題 例1、已知平面直角坐標(biāo)系（如圖1），直線的經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn). （1）求、的值； （2）如果拋物線經(jīng)過點(diǎn)、，該拋物線的頂點(diǎn)為點(diǎn)，求的值； 圖1 O x y （3）設(shè)點(diǎn)在直線上，且在第一象限內(nèi)，直線與軸的交點(diǎn)為點(diǎn)，如果，求點(diǎn)的坐標(biāo). 【答案】：（1） （2）（3）（4,8） 【解析】：（1） ∵直線的經(jīng)過點(diǎn) ∴ ∴ ∵直線的經(jīng)過點(diǎn) ∴ ∴ （2）由可知點(diǎn)的坐標(biāo)為 ∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)、 ∴ ∴， ∴拋物線的表達(dá)式為 ∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為 ∴,, ∴ ∴ ∴ ∴ （3）過

2、點(diǎn)作軸，垂足為點(diǎn)，則∥軸 ∵, ∴△∽△ ∴ ∵直線與軸的交點(diǎn)為點(diǎn) ∴點(diǎn)的坐標(biāo)為, 又， ∴， ∵ ∴, ∵∥軸 ∴ ∴ ∴ 即點(diǎn)的縱坐標(biāo)是 又點(diǎn)在直線上 點(diǎn)的坐標(biāo)為 例2、如圖在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，拋物線與y軸交于點(diǎn)A，與x軸分別交于點(diǎn)B（-1，0）、點(diǎn)C（3，0），點(diǎn)D是拋物線的頂點(diǎn). （1）求拋物線的表達(dá)式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)； （2）聯(lián)結(jié)AD、DC，求的面積； 備用圖 第2題圖 （3）點(diǎn)P在直線DC上，聯(lián)結(jié)OP，若以O(shè)、P、C為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

3、 【答案】（1）（1，-4）（2）3（3）或 【解析】：（1） 點(diǎn)B（-1，0）、C（3，0）在拋物線上 ∴，解得 ∴拋物線的表達(dá)式為，頂點(diǎn)D的坐標(biāo)是（1，-4） （2）∵A（0，-3），C（3，0），D（1，-4） ∴，， ∴ ∴ ∴ （3）∵，， ∴△CAD∽△AOB，∴ ∵OA=OC， ∴ ∴，即 若以O(shè)、P、C為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相

4、似 ，且△ABC為銳角三角形 則也為銳角三角形，點(diǎn)P在第四象限 由點(diǎn)C（3，0），D（1，-4）得直線CD的表達(dá)式是，設(shè)（） 過P作PH⊥OC，垂足為點(diǎn)H，則， ①當(dāng)時,由得， ∴，解得， ∴ ②當(dāng)時,由得， ∴，解得，∴ 綜上得或 例3、已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)、、． （1）求拋物線的解析式； （2）聯(lián)結(jié)AC、BC、AB，求的正切值； （3）點(diǎn)P是該拋物線上一點(diǎn)，且在第一象限內(nèi)，過點(diǎn)P作交軸于點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)的上方，且與相似時，求點(diǎn)P的坐標(biāo)． （第3題圖）

5、 y x A B C O 【答案】：（1）解得 （2） （3） 點(diǎn)的坐標(biāo)為或 【解析】：（1）設(shè)所求二次函數(shù)的解析式為， 將（,）、（，）、（,）代入，得 解得 所以，這個二次函數(shù)的【解析】式為 （2）∵（,）、（，）、（,） ∴，， ∴ ∴ ∴ （3）過點(diǎn)P作，垂足為H 設(shè)，則 ∵（,） ∴， ∵ ∴當(dāng)△APG與△ABC相似時，存在以下兩種可能： ① 則 即 ∴ 解得 ∴點(diǎn)的坐標(biāo)為 ② 則 即 ∴ 解得 ∴點(diǎn)的坐標(biāo)為 例4、已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)A（1,0）和B（0,3），其頂點(diǎn)為D

6、. （1）求此拋物線的表達(dá)式； （2）求△ABD的面積； （3）設(shè)P為該拋物線上一點(diǎn)，且位于拋物線對稱軸右側(cè)，作PH⊥對稱軸，垂足為H，若△DPH與△AOB相似，求點(diǎn)P的坐標(biāo). 【答案】：（1）拋物線的表達(dá)式為（2）1（3）點(diǎn)P的坐標(biāo)為（5,8），. 【解析】：（1）由題意得： 得：， 所以拋物線的表達(dá)式為. （2）由（1）得D（2，﹣1）， 作DT⊥y軸于點(diǎn)T, 則△ABD的面積=. （3）令P. 由△DPH與△AOB相似，易知∠AOB=∠PHD=90°， 所以或， 解得：或， 所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為（5,8），. 圖5 例5、平面直角坐標(biāo)系xOy中（

7、如圖8），已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)A（1,0）和B（3,0）， 與y軸相交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為P． （1）求這條拋物線的表達(dá)式和頂點(diǎn)P的坐標(biāo)； （2）點(diǎn)E在拋物線的對稱軸上，且EA=EC， 求點(diǎn)E的坐標(biāo)； （3）在（2）的條件下，記拋物線的對稱軸為 直線MN，點(diǎn)Q在直線MN右側(cè)的拋物線 上，∠MEQ=∠NEB，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)． 【答案】：（1）P的坐標(biāo)是（2，-1）（2）m=2（3），點(diǎn)E的坐標(biāo)為（5，8

8、） 【解析】：（1）∵二次函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)A（1，0）和B（3，0）， 　　　　∴，解得：，． ∴這條拋物線的表達(dá)式是. 頂點(diǎn)P的坐標(biāo)是（2，-1）． ?。?）拋物線的對稱軸是直線，設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)是（2，m）． 根據(jù)題意得： ，解得：m=2， ∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（2，2）． （3）解法一：設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為，記MN與x軸相交于點(diǎn)F． 作QD⊥MN，垂足為D， 則，, ∵∠QDE=∠BFE=90°，∠QED=∠BEF，∴△QDE∽△BFE， ∴，∴， 解得（不合題意，舍去），． ∴，點(diǎn)E的坐標(biāo)為（5，8）． 解法二：記MN與x軸相交于點(diǎn)F．聯(lián)結(jié)AE，延長AE

9、交拋物線于點(diǎn)Q， ∵AE=BE， EF⊥AB，∴∠AEF=∠NEB， 又∵∠AEF=∠MEQ，∴∠QEM=∠NEB， 點(diǎn)Q是所求的點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為， 作QH⊥x軸，垂足為H，則QH=，OH=t，AH=t-1， ∵EF⊥x軸，∴EF ∥QH，∴，∴， 解得（不合題意，舍去），． ∴，點(diǎn)E的坐標(biāo)為（5，8）． 例6、在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)B（8,0）和點(diǎn)C（9，）．拋物線（a，c是常數(shù)，a≠0）經(jīng)過點(diǎn)B、C，且與x軸的另一交點(diǎn)為A．對稱軸上有一點(diǎn)M ，滿足MA=MC． （1） 求這條拋物線的表達(dá)式； （2） 求四邊形ABCM的面積； （3） 如果坐標(biāo)系內(nèi)有一點(diǎn)

10、D，滿足四邊形ABCD是等腰梯形， x B C 第6題圖 O y · 且AD//BC，求點(diǎn)D的坐標(biāo)． 【答案】：（1）拋物線的表達(dá)式： （2）3（3） 點(diǎn)D的坐標(biāo) 【解析】：（1）由題意得：拋物線對稱軸，即． 點(diǎn)B（8,0）關(guān)于對稱軸的對稱點(diǎn)為點(diǎn)A（0,0）∴， 將C（9，-3）代入，得 ∴拋物線的表達(dá)式： （2）∵點(diǎn)M在對稱軸上，∴可設(shè)M（4，y） 又∵M(jìn)A=MC，即 ∴, 解得y=-3, ∴M（4，-3） y ∵M(jìn)C//AB且MC≠AB, ∴四邊形ABCM為梯形，, AB=8,MC=5,AB邊上的高h(yuǎn) = yM = 3

11、 ∴ x O (3) 將點(diǎn)B（8,0）和點(diǎn)C（9，﹣3）代入 可得 M A C B ，解得 由題意得，∵AD//BC, ∴ ， 又∵AD過（0,0），DC=AB=8， 設(shè)D(x,-3x) , 解得(不合題意，舍去)， ∴∴點(diǎn)D的坐標(biāo)． A B O C x y （第7題圖） D 例7、如圖，已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線與x軸交于 點(diǎn)A和點(diǎn)B（1，0），與y軸相交于點(diǎn)C（0，3）． （1）求拋物線的解析式和頂點(diǎn)D的坐標(biāo)； （2）求證：∠DAB=∠ACB； （3）點(diǎn)Q在拋物線上，且△ADQ是以AD為 底的等腰三角形，求Q

12、點(diǎn)的坐標(biāo)． 【答案】：（1）頂點(diǎn)坐標(biāo)D（－1，4）．（2） （3）點(diǎn)Q的坐標(biāo)是， 【解析】：（1）把B（1，0）和C（0，3）代入中， 得，解得． ∴拋物線的解析式是：． ∴頂點(diǎn)坐標(biāo)D（－1，4）． （2）令，則，，，∴A（－3，0） ∴，∴∠CAO=∠OCA． 在中，． ∵，，， ∴，； ∴，是直角三角形且， ∴， 又∵∠DAC和∠OCB都是銳角，∴∠DAC=∠OCB． ∴， 即． （3）令，且滿足，,0)，，4） ∵是以AD為底的等腰三角形， ∴，即，

13、 化簡得：． 由， 解得，． ∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)是，． 例8、如圖8，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與軸、軸分別相交于點(diǎn)、，并與拋物線的對稱軸交于點(diǎn)，拋物線的頂點(diǎn)是點(diǎn)． （1）求和的值； （2）點(diǎn)是軸上一點(diǎn)，且以點(diǎn)、、為頂點(diǎn)的三角形與△相似，求點(diǎn)的坐標(biāo)； 圖8 x y 1 1 O （3）在拋物線上是否存在點(diǎn)：它關(guān)于直線的對稱點(diǎn)恰好在軸上．如果存在，直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，如果不存在，試說明理由． 【答案】：（1）b=1（2）點(diǎn)有兩個，其坐標(biāo)分別是和 （3）點(diǎn)的坐標(biāo)是或 【解析】：（1） 由直線經(jīng)過點(diǎn)，可得. 由拋物線的對稱軸是直

14、線，可得. （2） ∵直線與軸、軸分別相交于點(diǎn)、， ∴點(diǎn)的坐標(biāo)是，點(diǎn)的坐標(biāo)是. ∵拋物線的頂點(diǎn)是點(diǎn)，∴點(diǎn)的坐標(biāo)是. ∵點(diǎn)是軸上一點(diǎn)，∴設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)是. ∵△BCG與△BCD相似，又由題意知，， ∴△BCG與△相似有兩種可能情況： ①如果，那么，解得，∴點(diǎn)的坐標(biāo)是. ②如果，那么，解得，∴點(diǎn)的坐標(biāo)是. 綜上所述，符合要求的點(diǎn)有兩個，其坐標(biāo)分別是和 ． （3）點(diǎn)的坐標(biāo)是或. 例9、已知：如圖9，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線的圖像與x軸交于點(diǎn) A（3，0），與y軸交于點(diǎn)B，頂點(diǎn)C在直線上，將拋物線沿射線AC的方向平移，當(dāng)頂點(diǎn)C恰好落在y軸上的點(diǎn)D處時，點(diǎn)B落在點(diǎn)E處．

15、（1）求這個拋物線的【解析】式； （2）求平移過程中線段BC所掃過的面積； （3）已知點(diǎn)F在x軸上，點(diǎn)G在坐標(biāo)平面內(nèi)，且以點(diǎn)C、E、F、G為頂點(diǎn)的四邊形是矩形，求點(diǎn)F的坐標(biāo)． 備用圖 圖9 ． 【答案】：（1）拋物線的解析式為 （2）12（3）有，，），． 【解析】：（1）∵頂點(diǎn)C在直線上，∴，∴． 將A（3，0）代入，得， 解得，． ∴拋物線的解析式為． （2）過點(diǎn)C作CM⊥x軸，CN⊥y軸，垂足分別為M、N． ∵=，∴C（2，）． ∵，∴∠MAC=45°，∴∠ODA=45°， ∴． ∵拋物線與y軸交于點(diǎn)B，∴B（0

16、，）， ∴． ∵拋物線在平移的過程中，線段BC所掃過的面積為平行四邊形BCDE的面積， ∴． （3）聯(lián)結(jié)CE. ∵四邊形是平行四邊形，∴點(diǎn)是對角線與的交點(diǎn)， 即 . （i）當(dāng)CE為矩形的一邊時，過點(diǎn)C作，交軸于點(diǎn)， 設(shè)點(diǎn)，在中，， 即 ，解得 ，∴點(diǎn) 同理，得點(diǎn) （ii）當(dāng)CE為矩形的對角線時，以點(diǎn)為圓心，長為半徑畫弧分別交軸于點(diǎn) 、，可得 ，得點(diǎn)、 綜上所述：滿足條件的點(diǎn)有，，），． 例10、如圖，已知拋物線y=ax2+bx的頂點(diǎn)為C（1，），P是拋物線上位于第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，直線OP交該拋物線對稱軸于點(diǎn)B，直線CP交x軸于點(diǎn)A． （1）求該拋物線的表達(dá)式；

17、 （2）如果點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，試用m的代數(shù)式表示線段BC的長； （3）如果△ABP的面積等于△ABC的面積，求點(diǎn)P坐標(biāo)． (第10題圖) y P O x C B A 【答案】：（1）拋物線的表達(dá)式為：y=x2-2x （2） BC= m-2+1=m-1（3）P的坐標(biāo)為（） (第10題圖) y P O x C B A 【解析】：（1）∵拋物線y=ax2+bx的頂點(diǎn)為C（1，） ∴ 解得： ∴拋物線的表達(dá)式為：y=x2-2x； （2）∵點(diǎn)P 的橫坐標(biāo)為m， ∴P 的縱坐標(biāo)為：m2-2m 令BC與x軸交點(diǎn)為M，過點(diǎn)P作PN⊥x軸，垂足為點(diǎn)N ∵P是拋物線上位于第一象限內(nèi)的一點(diǎn)， ∴PN= m2-2m，ON=m，O M=1 由得 ∴ BM=m-2 ∵ 點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1，）， ∴ BC= m-2+1=m-1 （3）令P(t，t2-2t) △ABP的面積等于△ABC的面積 ∴AC=AP 過點(diǎn)P作PQ⊥BC交BC于點(diǎn)Q ∴CM=MQ=1 ∴t2-2t=1 ∴（舍去） ∴ P的坐標(biāo)為（） 15