2020年中考數(shù)學(xué)考點(diǎn)總動員 第21講 圓的基本性質(zhì)（含解析）

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1、第21講　圓的基本性質(zhì) 1．圓的基本概念及性質(zhì) (1)基本概念 ①圓：平面上到定點(diǎn)的距離等于定長的所有點(diǎn)組成的圖形叫做圓定點(diǎn)叫圓心，定長叫半徑，以O(shè)為圓心的圓記作⊙O. ②弧和弦：圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫弧，連接圓上任意兩點(diǎn)的線段叫弦，經(jīng)過圓心的弦叫直徑，直徑 是最長的弦． ③圓心角：頂點(diǎn)在圓心，角的兩邊與圓相交的角叫圓心角． ④圓周角：頂點(diǎn)在圓上，角的兩邊與圓相交的角叫圓周角． ⑤等弧：在同圓或等圓中，能夠互相重合的弧． (2)性質(zhì)： ①對稱性：圓是軸對稱圖形，其對稱軸是過圓心的任一條直線；圓是中心對稱圖形，對稱中心是圓心． ②旋轉(zhuǎn)不變性：圓繞著它的

2、圓心旋轉(zhuǎn)任意一個角度，都能與原來的圖形重合． 2．垂徑定理及其推論 垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條弧． 垂徑定理的推論： ①平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦 ，并且平分弦所對的兩條弧； ②弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條?。? ③平分弦所對的一條弧的直徑垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條?。? 3．弦、弧、圓心角的關(guān)系定理及推論 ①弦、弧、圓心角的關(guān)系：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等． ②推論：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦、兩條弦心距中有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余各組量都分別相等．

3、 4．圓周角定理及推論： 圓周角定理：一條弧所對的圓周角等于它所對圓心角的一半． 圓周角定理的推論： ①同弧或等弧所對的圓周角相等；同圓或等圓中相等的圓周角所對的弧相等． ②半圓(或直徑)所對的圓周角是直角；90°的圓周角所對的弦是直徑． 注意：圓周角定理運(yùn)用在“同圓或等圓”中，一條弦對應(yīng)兩條弧，對應(yīng)兩個互補(bǔ)的圓周角；一條弧只對應(yīng)一個圓心角，對應(yīng)無數(shù)圓周角． 5．四邊形和圓 圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)，如圖，∠D＋∠B＝180°，∠A＋∠C＝180°. 考點(diǎn)1：垂徑定理 【例題1】（2018·浙江衢州·3分）如圖，AC是⊙O的直徑，弦BD⊥AO于E，連接BC

4、，過點(diǎn)O作OF⊥BC于F，若BD=8cm，AE=2cm，則OF的長度是（　?。? A．3cm　　　　　　B． cm　　　　　　C．2.5cm　　　　　　D． cm 【答案】D 【考點(diǎn)】垂徑定理 【分析】根據(jù)垂徑定理得出OE的長，進(jìn)而利用勾股定理得出BC的長，再利用相似三角形的判定和性質(zhì)解答即可． 【解答】解：連接OB， ∵AC是⊙O的直徑，弦BD⊥AO于E，BD=8cm，AE=2cm．在Rt△OEB中，OE2+BE2=OB2，即OE2+42=（OE+2）2 解得：OE=3，∴OB=3+2=5，∴EC=5+3=8．在Rt△EBC中，BC=． ∵OF⊥BC，∴∠OFC=∠CEB=

5、90°． ∵∠C=∠C，∴△OFC∽△BEC，∴，即，解得：OF=． 故選D． 歸納：1．垂徑定理兩個條件是過圓心、垂直于弦的直線，三個結(jié)論是平分弦，平分弦所對的優(yōu)弧與劣?。? 2．圓中有關(guān)弦的證明與計(jì)算，通過作弦心距，利用垂徑定理，可把與圓相關(guān)的三個量，即圓的半徑，圓中一條弦的一半，弦心距構(gòu)成一個直角三角形，從而利用勾股定理，實(shí)現(xiàn)求解． 3．事實(shí)上，過點(diǎn)E任作一條弦，只要確定弦與AB的交角，就可以利用垂徑定理和解直角三角形求得這條弦長． 考點(diǎn)2：圓周角定理及其推論 【例題2】．(2017·臨沂)如圖，∠BAC的平分線交△ABC的外接圓于點(diǎn)D，∠ABC的平分線交AD于點(diǎn)E.

6、(1)求證：DE＝DB； (2)若∠BAC＝90°，BD＝4，求△ABC外接圓的半徑． 【解析】：(1)證明：∵AD平分∠BAC，BE平分∠ABC， ∴∠BAE＝∠CAD，∠ABE＝∠CBE. ∴＝. ∴∠DBC＝∠BAE. ∵∠DBE＝∠CBE＋∠DBC，∠DEB＝∠ABE＋∠BAE, ∴∠DBE＝∠DEB. ∴DE＝DB. (2)連接CD. ∵＝，∴CD＝BD＝4. ∵∠BAC＝90°，∴BC是直徑． ∴∠BDC＝90°. ∴BC＝＝4. ∴△ABC外接圓的半徑為2. 歸納：利用圓周角定理在解答具體問題時，找準(zhǔn)同弧所對的圓周角及圓心角，然后利用圓周角定理

7、進(jìn)行角度的相關(guān)計(jì)算，常作的輔助線有：已知直徑，作其所對的圓周角；已知90°圓周角作其所對弦，即直徑．同圓的半徑相等，有時需要連接半徑，用它來構(gòu)造等腰三角形， 再根據(jù)等腰三角形等邊對等角以及三線合一來進(jìn)行證明和計(jì)算. 考點(diǎn)3：圓內(nèi)接四邊形 【例題3】如圖，△PQR是⊙O的內(nèi)接正三角形，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接正方形，BC∥QR，則∠DOR的度數(shù)是（　?。? A．60 B．65 C．72 D．75 【答案】D 【考點(diǎn)】三角形的外接圓與外心；等邊三角形的性質(zhì)；正方形的性質(zhì)． 【分析】根據(jù)等邊三角形和正方形的性質(zhì)，求得中心角∠POR和∠POD，二者的差就是所求． 【解答】解：連結(jié)

8、OD，如圖， ∵△PQR是⊙O的內(nèi)接正三角形， ∴PQ=PR=QR， ∴∠POR=×360°=120°， ∵四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接正方形， ∴∠AOD=90°， ∴∠DOP=×90°=45°， ∴∠AOQ=∠POR﹣∠DOP=75°． 故選D． 歸納：1．找圓內(nèi)角(圓周角，圓心角)和圓外角(頂角在圓外，兩邊也在圓外或頂點(diǎn)在圓上，一邊在圓內(nèi)，另一邊在圓外)的數(shù)量關(guān)系時，常常會用到圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)和三角形外角的性質(zhì)． 2．在同圓或等圓中，如果一條弧等于另一條弧的兩倍，則較大弧所對的圓周角是較小弧所對圓周角的兩倍． 一、選擇題： 1. （2017四川眉山）如

9、圖，AB是⊙O的弦，半徑OC⊥AB于點(diǎn)D，且AB=8cm，DC=2cm，則OC=　5　cm． A．6 B．4 C．3 D．5 【答案】D 【解答】解：連接OA， ∵OC⊥AB， ∴AD=AB=4cm， 設(shè)⊙O的半徑為R， 由勾股定理得，OA2=AD2+OD2， ∴R2=42+（R﹣2）2， 解得R=5 ∴OC=5cm． 故答案為5． 2. （2018·山東青島·3分）如圖，點(diǎn)A、B、C、D在⊙O上，∠AOC=140°，點(diǎn)B是的中點(diǎn)，則∠D的度數(shù)是（　?。? A．70° B．55° C．35.5° D．35° 【答案】D 【解答】

10、解：連接OB， ∵點(diǎn)B是的中點(diǎn)， ∴∠AOB=∠AOC=70°， 由圓周角定理得，∠D=∠AOB=35°， 故選：D． 3. （2018·浙江臨安·3分）如圖，⊙O的半徑OA=6，以A為圓心，OA為半徑的弧交⊙O于B、C點(diǎn)，則BC=（　　） A．6 B．6 C．3 D．3 【答案】A 【解答】解：設(shè)OA與BC相交于D點(diǎn)． ∵AB=OA=OB=6 ∴△OAB是等邊三角形． 又根據(jù)垂徑定理可得，OA平分BC， 利用勾股定理可得BD= =3 所以BC=6． 故選：A． 4. （2018?山東菏澤?3分）如圖，在⊙O中，OC⊥AB，∠ADC=32°，則∠OBA

11、的度數(shù)是（　　） A．64° B．58° C．32° D．26° 【答案】D 【解答】解：如圖， 由OC⊥AB，得 =，∠OEB=90°． ∴∠2=∠3． ∵∠2=2∠1=2×32°=64°． ∴∠3=64°， 在Rt△OBE中，∠OEB=90°， ∴∠B=90°﹣∠3=90°﹣64°=26°， 故選：D． 5. 已知⊙O的直徑CD=10cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足為M，且AB=8cm，則AC的長為（　?。? A．2cm B．4cm C．2cm或4cm D．2cm或4cm 【答案】C 【解答】解：連接AC，AO， ∵⊙O的直徑CD=10

12、cm，AB⊥CD，AB=8cm， ∴AM=AB=×8=4cm，OD=OC=5cm， 當(dāng)C點(diǎn)位置如圖1所示時， ∵OA=5cm，AM=4cm，CD⊥AB， ∴OM===3cm， ∴CM=OC+OM=5+3=8cm， ∴AC===4cm； 當(dāng)C點(diǎn)位置如圖2所示時，同理可得OM=3cm， ∵OC=5cm， ∴MC=5﹣3=2cm， 在Rt△AMC中，AC===2cm． 故選：C． 二、填空題： 6. 如圖，在⊙O中，弦AB∥CD，若∠ABC=40°，則∠BOD=　80°?。? 【答案】80 【解答】解：∵AB∥CD， ∴∠C=∠ABC=40°， ∴∠BOD=2

13、∠C=80°． 故答案為80°． 7. （2018?濟(jì)寧）如圖，點(diǎn)B，C，D在⊙O上，若∠BCD=130°，則∠BOD的度數(shù)是 . 【答案】100° 【解答】解：圓上取一點(diǎn)A，連接AB，AD， ∵點(diǎn)A、B，C，D在⊙O上，∠BCD=130°， ∴∠BAD=50°， ∴∠BOD=100°， 8. （2018?南通模擬）如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C是⊙O上的一點(diǎn)，若BC=3，AB=5，OD⊥BC于點(diǎn)D，則OD的長為 ． 【答案】2 【解答】解：∵AB是⊙O的直徑， ∴∠ACB=90°， ∴AC==4， ∵OD⊥BC， ∴BD=CD， 而OB=O

14、A， ∴OD為△ABC的中位線， ∴OD=AC=×4=2． 故答案為2． 9. 已知⊙O的半徑為10cm，AB，CD是⊙O的兩條弦，AB∥CD，AB=16cm，CD=12cm，則弦AB和CD之間的距離是　 　cm． 【答案】2或14． 【解答】解：①當(dāng)弦AB和CD在圓心同側(cè)時，如圖， ∵AB=16cm，CD=12cm， ∴AE=8cm，CF=6cm， ∵OA=OC=10cm， ∴EO=6cm，OF=8cm， ∴EF=OF﹣OE=2cm； ②當(dāng)弦AB和CD在圓心異側(cè)時，如圖， ∵AB=16cm，CD=12cm， ∴AF=8cm，CE=6cm， ∵OA=OC=10

15、cm， ∴OF=6cm，OE=8cm， ∴EF=OF+OE=14cm． ∴AB與CD之間的距離為14cm或2cm． 故答案為：2或14． 三、解答題： 10. 如圖，AB和CD分別是⊙O上的兩條弦，過點(diǎn)O分別作ON⊥CD于點(diǎn)N，OM⊥AB于點(diǎn)M，若ON=AB，證明：OM=CD． 【考點(diǎn)】垂徑定理；全等三角形的判定與性質(zhì)． 【分析】設(shè)圓的半徑是r，ON=x，則AB=2x，在直角△CON中利用勾股定理即可求得CN的長，然后根據(jù)垂徑定理求得CD的長，然后在直角△OAM中，利用勾股定理求得OM的長，即可證得． 【解答】證明：設(shè)圓的半徑是r，ON=x，則AB=2x， 在直角△

16、CON中，CN==， ∵ON⊥CD， ∴CD=2CN=2， ∵OM⊥AB， ∴AM=AB=x， 在△AOM中，OM==， ∴OM=CD． 11. 已知⊙O是△ABC的外接圓，且半徑為4. (1)如圖1，若∠A＝30°，求BC的長； (2)如圖2，若∠A＝45°： ①求BC的長； ②若點(diǎn)C是的中點(diǎn)，求AB的長； (3)如圖3，若∠A＝135°，求BC的長． 圖1 圖2 　　圖3 【點(diǎn)撥】　連接OB，OC，利用同弧所對的圓心角等于圓周角的2倍，構(gòu)建可解

17、的等腰三角形求解． 【解答】　解：(1)連接OB，OC. ∵∠BOC＝2∠A＝60°，OB＝OC，∴△OBC是等邊三角形． ∴BC＝OB＝4. (2)①連接OB，OC. ∵∠BOC＝2∠A＝90°，OB＝OC，∴△OBC是等腰直角三角形． ∵OB＝OC＝4，∴BC＝4. ②∵點(diǎn)C是的中點(diǎn)，∴∠ABC＝∠A＝45°. ∴∠ACB＝90°.∴AB是⊙O的直徑．∴AB＝8. (3)在優(yōu)弧上任取一點(diǎn)D，連接BD，CD，連接BO，CO. ∵∠A＝135°，∴∠D＝45°.∴∠BOC＝2∠D＝90°. ∵OB＝OC＝4，∴BC＝4. 12. （2017山東臨沂）如圖，∠BAC的平分

18、線交△ABC的外接圓于點(diǎn)D，∠ABC的平分線交AD于點(diǎn)E， （1）求證：DE=DB； （2）若∠BAC=90°，BD=4，求△ABC外接圓的半徑． 【分析】（1）由角平分線得出∠ABE=∠CBE，∠BAE=∠CAD，得出，由圓周角定理得出∠DBC=∠CAD，證出∠DBC=∠BAE，再由三角形的外角性質(zhì)得出∠DBE=∠DEB，即可得出DE=DB； （2）由（1）得：，得出CD=BD=4，由圓周角定理得出BC是直徑，∠BDC=90°，由勾股定理求出BC= =4，即可得出△ABC外接圓的半徑． 【解答】（1）證明：∵BE平分∠BAC，AD平分∠ABC， ∴∠ABE=∠CBE，∠BAE

19、=∠CAD， ∴， ∴∠DBC=∠CAD， ∴∠DBC=∠BAE， ∵∠DBE=∠CBE+∠DBC，∠DEB=∠ABE+∠BAE， ∴∠DBE=∠DEB， ∴DE=DB； （2）解：連接CD，如圖所示： 由（1）得：， ∴CD=BD=4， ∵∠BAC=90°， ∴BC是直徑， ∴∠BDC=90°， ∴BC==4， ∴△ABC外接圓的半徑=×4=2． 13. 如圖所示，AB為⊙O的直徑，CD為弦，且CD⊥AB，垂足為H. (1)如果⊙O的半徑為4，CD＝4，求∠BAC的度數(shù)； (2)若點(diǎn)E為的中點(diǎn)，連接OE，CE.求證：CE平分∠OCD； (3)在(1)的

20、條件下，圓周上到直線AC的距離為3的點(diǎn)有多少個？并說明理由． 【解析】：(1)∵AB為⊙O的直徑，CD⊥AB，∴CH＝CD＝2. 在Rt△COH中，sin∠COH＝＝，∴∠COH＝60°. ∴∠BAC＝∠COH＝30°. (2)證明：∵點(diǎn)E是的中點(diǎn)，∴OE⊥AB. 又∵CD⊥AB，∴OE∥CD.∴∠ECD＝∠OEC. 又∵OE＝OC，∴∠OEC＝∠OCE. ∴∠OCE＝∠DCE，即CE平分∠OCD. (3)圓周上到直線AC的距離為3的點(diǎn)有2個． 因?yàn)樯系狞c(diǎn)到直線AC的最大距離為2，上的點(diǎn)到直線AC的最大距離為6，2＜3＜6，根據(jù)圓的軸對稱性，到直線AC的距離為3的點(diǎn)有2個． 14