2020年中考數(shù)學(xué)考點(diǎn)總動(dòng)員 第30講 概率（含解析）

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1、第30講　概　率 1．事件的分類 事件類型 定義 概率 必然事件 一定會(huì)發(fā)生的事件 1 不可能事件 一定不會(huì)發(fā)生的事件 0 隨機(jī)事件 在一定條件下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件 0～1之間 2.概率：一般地，表示一個(gè)隨機(jī)事件A發(fā)生的可能性大小的數(shù)值，叫做這個(gè)隨機(jī)事件A發(fā)生的概率． 3．概率的計(jì)算 (1)公式法：對(duì)于簡(jiǎn)單的事件直接用公式法計(jì)算即可； P(A)＝； (2)列表法：當(dāng)一次試驗(yàn)涉及兩步計(jì)算時(shí)，且可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)目較多時(shí)，可采用列表法列出所有可能的結(jié)果，再根據(jù)P(A)＝計(jì)算概率； (3)畫樹(shù)狀圖法：當(dāng)一次試驗(yàn)涉及兩步或兩步以上的計(jì)

2、算時(shí)，可采用畫樹(shù)狀圖表示所有可能的結(jié)果，再根據(jù)P(A)＝計(jì)算概率． 4．幾何概型求概率：與幾何圖形有關(guān)的概率的計(jì)算，一般是用幾何圖形中的面積比進(jìn)行求解，計(jì)算公式為P(A)＝. 5．頻率與概率 (1)用頻率估算概率：一般地，在大量重復(fù)試驗(yàn)下，隨機(jī)事件A發(fā)生的頻率 (這里n是總試驗(yàn)次數(shù)，它必須相當(dāng)大，m是在n次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù))會(huì)穩(wěn)定到某個(gè)常數(shù)p.于是，我們用p這個(gè)常數(shù)表示事件A發(fā)生的概率，即P(A)＝p； (2)頻率與概率的區(qū)別與聯(lián)系 ①區(qū)別：概率是用來(lái)表示一個(gè)隨機(jī)事件發(fā)生的可能性的大小，只要有一個(gè)隨機(jī)事件存在，就有一個(gè)概率存在，而頻率是通過(guò)試驗(yàn)得到的，它隨著試驗(yàn)次數(shù)的變化而變化

3、； ②聯(lián)系：當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)充分大時(shí)，頻率穩(wěn)定在概率的附近擺動(dòng)，為了求出一個(gè)隨機(jī)事件的概率，通常需要大量的重復(fù)試驗(yàn)，用所得的頻率來(lái)估計(jì)隨機(jī)事件的概率. 考點(diǎn)1：頻率與概率 【例題1】（2019?湖北省仙桃市?7分）為了解某地七年級(jí)學(xué)生身高情況，隨機(jī)抽取部分學(xué)生，測(cè)得他們的身高（單位：cm），并繪制了如下兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖，請(qǐng)結(jié)合圖中提供的信息，解答下列問(wèn)題． （1）填空：樣本容量為　100　，a＝　30??； （2）把頻數(shù)分布直方圖補(bǔ)充完整； （3）若從該地隨機(jī)抽取1名學(xué)生，估計(jì)這名學(xué)生身高低于160cm的概率． 【分析】（1）用A組的頻數(shù)除以它所占的百分比得到樣本容量，然后計(jì)算

4、B組所占的百分比得到a的值； （2）利用B組的頻數(shù)為30補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖； （3）計(jì)算出樣本中身高低于160cm的頻率，然后利用樣本估計(jì)總體和利用頻率估計(jì)概率求解． 【解答】解：（1）15÷＝100， 所以樣本容量為100； B組的人數(shù)為100﹣15﹣35﹣15﹣5＝30， 所以a%＝×100%＝30%，則a＝30； 故答案為100，30； （2）補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖為： （3）樣本中身高低于160cm的人數(shù)為15+30＝45， 樣本中身高低于160cm的頻率為＝0.45， 所以估計(jì)從該地隨機(jī)抽取1名學(xué)生，估計(jì)這名學(xué)生身高低于160cm的概率為0.45． 歸納：利用

5、頻率估計(jì)概率：用頻率估計(jì)概率得到的是近似值，隨實(shí)驗(yàn)次數(shù)的增多，值越來(lái)越精確． 考點(diǎn)2：一步概率 【例題2拋擲一枚質(zhì)地均勻的立方體骰子一次，骰子的六個(gè)面上分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6，則朝上一面的數(shù)字為2的概率是（??? ） A.???????B.?????? C.?? D.? 【答案】A 【分析】拋擲一枚質(zhì)地均勻的立方體骰子一次，則朝上一面的數(shù)字可以是1,2,3,4,5,6六種情況，其中朝上一面的數(shù)字為2的只有一種情況，根據(jù)概率公式計(jì)算即可。 【解析】 ：拋擲一枚質(zhì)地均勻的立方體骰子一次，則朝上一面的數(shù)字共出現(xiàn)六種等可能情況，其中朝上一面的數(shù)字為2的只有一種情況

6、，則朝上一面的數(shù)字為2的概率是 故答案為：A, 考點(diǎn)3：幾何概型求概率 【例題3】（2018貴陽(yáng)）（3.00分）如圖，小穎在圍棋盤上兩個(gè)格子的格點(diǎn)上任意擺放黑、白兩個(gè)棋子，且兩個(gè)棋子不在同一條網(wǎng)格線上，其中，恰好擺放成如圖所示位置的概率是（　?。? A． B． C． D． 【答案】A 【解析】：恰好擺放成如圖所示位置的概率是=， 故選：D． 考點(diǎn)4：概率的綜合計(jì)算 【例題4】　(2018·承德模擬)從背面相同的同一副撲克牌中取出紅桃9張，黑桃10張，方塊11張，現(xiàn)將這些牌洗勻背面朝上放在桌面上． (1)求從中抽出一張是紅桃的概率；

7、 (2)現(xiàn)從桌面上先抽掉若干張黑桃，再放入與抽掉的黑桃張數(shù)相同的紅桃，并洗勻且背面都朝上排開(kāi)后，隨機(jī)抽一張是紅桃的概率不小于，問(wèn)至少抽掉了多少?gòu)埡谔遥? (3)若先從桌面上抽掉9張紅桃和m(m＞6)張黑桃后，再在桌面上抽出一張牌，當(dāng)m為何值時(shí)，事件“再抽出的這張牌是方塊”為必然事件？當(dāng)m為何值時(shí)，事件“再抽出的這張牌是方塊”為隨機(jī)事件？并求出這個(gè)事件的概率的最小值． 【解析】(1)抽出一張是紅桃的概率是＝. (2)設(shè)至少抽掉了x張黑桃，放入x張的紅桃， 根據(jù)題意，得≥. 解得x≥3. 答：至少抽掉了3張黑桃． (3)當(dāng)m為10時(shí)，事件“再抽出的這張牌是方塊”為必然事件， 當(dāng)m為

8、9，8，7時(shí)，事件“再抽出的這張牌是方塊”為隨機(jī)事件，P(最小)＝＝. 歸納：　(1)判斷使用列表或畫樹(shù)狀圖方法：列表法一般適用于兩步計(jì)算；畫樹(shù)狀圖法適合于兩步及兩步以上求概率； (2)不重不漏地列舉出所有事件出現(xiàn)的可能結(jié)果，并判定每種事件發(fā)生的可能性是否相等； (3)確定所有可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)n及所求事件A出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)m； (4)用公式P(A)＝求事件A發(fā)生的概率． 一、選擇題： 1. （2019?浙江紹興?4分）為了解某地區(qū)九年級(jí)男生的身高情況，隨機(jī)抽取了該地區(qū)100名九年級(jí)男生，他們的身高x（cm）統(tǒng)計(jì)如下： 組別（cm） x＜160 160≤x＜170 170≤x

9、＜180 x≥180 人數(shù) 5 38 42 15 根據(jù)以上結(jié)果，抽查該地區(qū)一名九年級(jí)男生，估計(jì)他的身高不低于180cm的概率是（　?。? A．0.85 B．0.57 C．0.42 D．0.15 【答案】D 【解答】解：樣本中身高不低于180cm的頻率＝＝0.15， 所以估計(jì)他的身高不低于180cm的概率是0.15． 故選：D． 2. （2019?湖北天門?3分）下列說(shuō)法正確的是（　?。? A．了解我市市民知曉“禮讓行人”交通新規(guī)的情況，適合全面調(diào)查 B．甲、乙兩人跳遠(yuǎn)成績(jī)的方差分別為S甲2＝3，S乙2＝4，說(shuō)明乙的跳遠(yuǎn)成績(jī)比甲穩(wěn)定 C．一組數(shù)據(jù)2，2，3，4的眾

10、數(shù)是2，中位數(shù)是2.5 D．可能性是1%的事件在一次試驗(yàn)中一定不會(huì)發(fā)生 【答案】C 【解答】解：A．了解我市市民知曉“禮讓行人”交通新規(guī)的情況，適合抽樣調(diào)查，A錯(cuò)誤； B．甲、乙兩人跳遠(yuǎn)成績(jī)的方差分別為S甲2＝3，S乙2＝4，說(shuō)明甲的跳遠(yuǎn)成績(jī)比乙穩(wěn)定，B錯(cuò)誤； C．一組數(shù)據(jù)2，2，3，4的眾數(shù)是2，中位數(shù)是2.5，正確； D．可能性是1%的事件在一次試驗(yàn)中可能會(huì)發(fā)生，D錯(cuò)誤． 故選：C． 3. （2019?山東省德州市 ?4分）甲、乙是兩個(gè)不透明的紙箱，甲中有三張標(biāo)有數(shù)字，，1的卡片，乙中有三張標(biāo)有數(shù)字1，2，3的卡片，卡片除所標(biāo)數(shù)字外無(wú)其他差別，現(xiàn)制定一個(gè)游戲規(guī)則：從甲中任

11、取一張卡片，將其數(shù)字記為a，從乙中任取一張卡片，將其數(shù)字記為b．若a，b能使關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則甲獲勝；否則乙獲勝．則乙獲勝的概率為（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：（1）畫樹(shù)狀圖如下： 由圖可知，共有9種等可能的結(jié)果，其中能使乙獲勝的有4種結(jié)果數(shù)， ∴乙獲勝的概率為， 故選：C． 4. （2019?湖北武漢?3分）從1.2.3.4四個(gè)數(shù)中隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)，分別記為A.c，則關(guān)于x的一元二次方程ax2+4x+c＝0有實(shí)數(shù)解的概率為（　?。? A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：畫樹(shù)狀圖得：

12、 由樹(shù)形圖可知：一共有12種等可能的結(jié)果，其中使ac≤4的有6種結(jié)果， ∴關(guān)于x的一元二次方程ax2+4x+c＝0有實(shí)數(shù)解的概率為， 故選：C． 5. （2019?湖北省隨州市?3分）如圖，在平行四邊形ABCD中，E為BC的中點(diǎn)，BD，AE交于點(diǎn)O，若隨機(jī)向平行四邊形ABCD內(nèi)投一粒米，則米粒落在圖中陰影部分的概率為（　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】解：∵E為BC的中點(diǎn)， ∴，∴=， ∴S△BOE=S△AOB，S△AOB=S△ABD，∴S△BOE=S△ABD=S?ABCD， ∴米粒落在圖中陰影部分的概率為，故選：B． 二、填空題： 6.

13、(2019甘肅省隴南市)（4分）一個(gè)猜想是否正確，科學(xué)家們要經(jīng)過(guò)反復(fù)的實(shí)驗(yàn)論證．下表是幾位科學(xué)家“擲硬幣”的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)： 實(shí)驗(yàn)者 德?摩根 蒲豐 費(fèi)勒 皮爾遜 羅曼諾夫斯基 擲幣次數(shù) 6140 4040 10000 36000 80640 出現(xiàn)“正面朝上”的次數(shù) 3109 2048 4979 18031 39699 頻率 0.506 0.507 0.498 0.501 0.492 請(qǐng)根據(jù)以上數(shù)據(jù)，估計(jì)硬幣出現(xiàn)“正面朝上”的概率為　0.5?。ň_到0.1）． 【答案】0.5 【解答】解：因?yàn)楸碇杏矌懦霈F(xiàn)“正面朝上”的頻率在0.5左右波動(dòng)， 所

14、以估計(jì)硬幣出現(xiàn)“正面朝上”的概率為0.5． 故答案為0.5． 7. （2019浙江麗水3分）一個(gè)布袋里裝有2個(gè)紅球、3個(gè)黃球和5個(gè)白球，除顏色外其它都相同．?dāng)噭蚝笕我饷鲆粋€(gè)球，是白球的概率為 . 【答案】 【解答】袋子里裝有2個(gè)紅球、3個(gè)黃球和5個(gè)白球共10個(gè)球，從中摸出一個(gè)球是白球的概率是=． 8. （2019?黑龍江省齊齊哈爾市?3分）在一個(gè)不透明的口袋中，裝有一些除顏色外完全相同的紅、白、黑三種顏色的小球．已知袋中有紅球5個(gè)，白球23個(gè)，且從袋中隨機(jī)摸出一個(gè)紅球的概率是，則袋中黑球的個(gè)數(shù)為 . 【答案】22 【解答】解：設(shè)袋中黑球的個(gè)數(shù)為x， 根據(jù)

15、題意得＝，解得x＝22， 即袋中黑球的個(gè)數(shù)為22個(gè)． 9. （2019?山東省德州市 ?4分）甲、乙是兩個(gè)不透明的紙箱，甲中有三張標(biāo)有數(shù)字，，1的卡片，乙中有三張標(biāo)有數(shù)字1，2，3的卡片，卡片除所標(biāo)數(shù)字外無(wú)其他差別，現(xiàn)制定一個(gè)游戲規(guī)則：從甲中任取一張卡片，將其數(shù)字記為a，從乙中任取一張卡片，將其數(shù)字記為b．若a，b能使關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則甲獲勝；否則乙獲勝．則乙獲勝的概率為 . 【答案】 【解答】解：（1）畫樹(shù)狀圖如下： 由圖可知，共有9種等可能的結(jié)果，其中能使乙獲勝的有4種結(jié)果數(shù)， ∴乙獲勝的概率為， 三、解答題： 10

16、. （2019?海南省?8分）為宣傳6月6日世界海洋日，某校九年級(jí)舉行了主題為“珍惜海洋資源，保護(hù)海洋生物多樣性”的知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng)．為了解全年級(jí)500名學(xué)生此次競(jìng)賽成績(jī)（百分制）的情況，隨機(jī)抽取了部分參賽學(xué)生的成績(jī)，整理并繪制出如下不完整的統(tǒng)計(jì)表（表1）和統(tǒng)計(jì)圖（如圖）．請(qǐng)根據(jù)圖表信息解答以下問(wèn)題： （1）本次調(diào)查一共隨機(jī)抽取了　50　個(gè)參賽學(xué)生的成績(jī)； （2）表1中a＝　8??； （3）所抽取的參賽學(xué)生的成績(jī)的中位數(shù)落在的“組別”是　C??； （4）請(qǐng)你估計(jì)，該校九年級(jí)競(jìng)賽成績(jī)達(dá)到80分以上（含80分）的學(xué)生約有　320　人． 表1 知識(shí)競(jìng)賽成績(jī)分組統(tǒng)計(jì)表 組別 分?jǐn)?shù)/分 頻數(shù)

17、A 60≤x＜70 a B 70≤x＜80 10 C 80≤x＜90 14 D 90≤x＜100 18 【分析】（1）本次調(diào)查一共隨機(jī)抽取學(xué)生：18÷36%＝50（人）； （2）a＝50﹣18﹣14﹣10＝8； （3）本次調(diào)查一共隨機(jī)抽取50名學(xué)生，中位數(shù)落在C組； （4）該校九年級(jí)競(jìng)賽成績(jī)達(dá)到80分以上（含80分）的學(xué)生有500×＝320（人）． 【解答】解：（1）本次調(diào)查一共隨機(jī)抽取學(xué)生：18÷36%＝50（人）， 故答案為50； （2）a＝50﹣18﹣14﹣10＝8， 故答案為8； （3）本次調(diào)查一共隨機(jī)抽取50名學(xué)生，中位數(shù)落在C組，故答案為

18、C； （4）該校九年級(jí)競(jìng)賽成績(jī)達(dá)到80分以上（含80分）的學(xué)生有500×＝320（人），故答案為320． 11. (2018·遵義)某超市在端午節(jié)期間開(kāi)展優(yōu)惠活動(dòng)，凡購(gòu)物者可以通過(guò)轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤的方式享受折扣優(yōu)惠，本次活動(dòng)共有兩種方式，方式一：轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤甲，指針指向A區(qū)域時(shí)，所購(gòu)買物品享受9折優(yōu)惠、指針指向其他區(qū)域無(wú)優(yōu)惠；方式二：同時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤甲和轉(zhuǎn)盤乙，若兩個(gè)轉(zhuǎn)盤的指針指向每個(gè)區(qū)域的字母相同，所購(gòu)買物品享受8折優(yōu)惠，其他情況無(wú)優(yōu)惠．在每個(gè)轉(zhuǎn)盤中，指針指向每個(gè)區(qū)城的可能性相同(若指針指向分界線，則重新轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤) (1)若顧客選擇方式一，則享受9折優(yōu)惠的概率為； (2)若顧客選擇方式二，請(qǐng)用樹(shù)狀圖

19、或列表法列出所有可能，并求顧客享受8折優(yōu)惠的概率． 解：畫樹(shù)狀圖如下： 由樹(shù)狀圖可知，共有12種等可能結(jié)果，其中指針指向每個(gè)區(qū)域的字母相同的有2種結(jié)果， ∴P(顧客享受8折優(yōu)惠)＝＝. 12. (2019湖北仙桃)（7分）為了解某地七年級(jí)學(xué)生身高情況，隨機(jī)抽取部分學(xué)生，測(cè)得他們的身高（單位：cm），并繪制了如下兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖，請(qǐng)結(jié)合圖中提供的信息，解答下列問(wèn)題． （1）填空：樣本容量為　100　，a＝　30　； （2）把頻數(shù)分布直方圖補(bǔ)充完整； （3）若從該地隨機(jī)抽取1名學(xué)生，估計(jì)這名學(xué)生身高低于160cm的概率． 【分析】（1）用A組的頻數(shù)除以它所占的百分比得

20、到樣本容量，然后計(jì)算B組所占的百分比得到a的值； （2）利用B組的頻數(shù)為30補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖； （3）計(jì)算出樣本中身高低于160cm的頻率，然后利用樣本估計(jì)總體和利用頻率估計(jì)概率求解． 【解答】解：（1）15÷＝100， 所以樣本容量為100； B組的人數(shù)為100﹣15﹣35﹣15﹣5＝30， 所以a%＝×100%＝30%，則a＝30； 故答案為100，30； （2）補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖為： （3）樣本中身高低于160cm的人數(shù)為15+30＝45， 樣本中身高低于160cm的頻率為＝0.45， 所以估計(jì)從該地隨機(jī)抽取1名學(xué)生，估計(jì)這名學(xué)生身高低于160cm的概率為0.

21、45． 13. (2018·邢臺(tái)三模)嘉嘉和琪琪一塊去選汽車牌照，現(xiàn)只有四個(gè)牌照可隨機(jī)選取，這四個(gè)牌照編號(hào)末尾數(shù)字如圖所示． 牌照末尾數(shù)字 5 6 7 數(shù)量(個(gè)) 1 1 2 (1)求嘉嘉選取牌照編號(hào)末尾數(shù)字是6的概率； (2)求她倆選取牌照編號(hào)末尾數(shù)字正好差1的概率． 【解析】：(1)一共有四個(gè)牌照，四種等可能結(jié)果，其中末尾數(shù)字是6的只有一種等可能結(jié)果，以P(搖到牌照末尾數(shù)字是6)＝. (2)將這四個(gè)牌照編號(hào)，末尾數(shù)字為5的記為a，末尾數(shù)字為6的記為b，末尾數(shù)字為7的分別為c1，c2， a b c1 c2 a (a，b) (a，c1) (

22、a，c2) b (b，a) (b，c1) (b，c2) c1 (c1，a) (c1，b) (c1，c2) c2 (c2，a) (c2，b) (c2，c1) 一共有12種等可能結(jié)果，其中末尾數(shù)字正好差1有6種等可能結(jié)果， 所以P(末尾數(shù)字正好差1)＝. 14. （2019湖北省鄂州市）．（8分）某校為了解全校學(xué)生對(duì)新聞、體育、動(dòng)畫、娛樂(lè)、戲曲五類電視節(jié)目的喜愛(ài)情況，隨機(jī)選取該校部分學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，要求每名學(xué)生從中選出一類最喜愛(ài)的電視節(jié)目，以下是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的統(tǒng)計(jì)圖表的一部分． 類別 A B C D E 類型 新聞 體育 動(dòng)畫 娛樂(lè)

23、 戲曲 人數(shù) 11 20 40 m 4 請(qǐng)你根據(jù)以上信息，回答下列問(wèn)題： （1）統(tǒng)計(jì)表中m的值為　25　，統(tǒng)計(jì)圖中n的值為　25　，A類對(duì)應(yīng)扇形的圓心角為　39.6　度； （2）該校共有1500名學(xué)生，根據(jù)調(diào)查結(jié)果，估計(jì)該校最喜愛(ài)體育節(jié)目的學(xué)生人數(shù)； （3）樣本數(shù)據(jù)中最喜愛(ài)戲曲節(jié)目的有4人，其中僅有1名男生．從這4人中任選2名同學(xué)去觀賞戲曲表演，請(qǐng)用樹(shù)狀圖或列表求所選2名同學(xué)中有男生的概率． 【分析】（1）先根據(jù)B類別人數(shù)及其百分比求出總?cè)藬?shù)，再由各類別人數(shù)之和等于總?cè)藬?shù)求出m，繼而由百分比概念得出n的值，用360°乘以A類別人數(shù)所占比例即可得； （2）利用樣本估計(jì)總體思想求解可得． 【解答】解：（1）∵樣本容量為20÷20%＝100， ∴m＝100﹣（11+20+40+4）＝25，n%＝×100%＝25%，A類對(duì)應(yīng)扇形的圓心角為360°×＝39.6°， 故答案為：25、25、39.6． （2）1500×＝300（人） 答：該校最喜愛(ài)體育節(jié)目的人數(shù)約有300人； （3）畫樹(shù)狀圖如下： 共有12種情況，所選2名同學(xué)中有男生的有6種結(jié)果， 所以所選2名同學(xué)中有男生的概率為． 13