初高中數(shù)學(xué)銜接教材第七講分式方程和無理方程的解法.doc
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第七講 分式方程和無理方程的解法 初中大家已經(jīng)學(xué)習(xí)了可化為一元一次方程的分式方程的解法.本講將要學(xué)習(xí)可化為一元二次方程的分式方程的解法以及無理方程的解法.并且只要求掌握(1)不超過三個(gè)分式構(gòu)成的分式方程的解法,會(huì)用”去分母”或”換元法”求方程的根,并會(huì)驗(yàn)根;(2)了解無理方程概念,掌握可化為一元二次方程的無理方程的解法,會(huì)用”平方”或”換元法”求根,并會(huì)驗(yàn)根. 一、可化為一元二次方程的分式方程 1.去分母化分式方程為一元二次方程 【例1】解方程 . 分析:去分母,轉(zhuǎn)化為整式方程. 解:原方程可化為: 方程兩邊各項(xiàng)都乘以: 即, 整理得: 解得:或. 檢驗(yàn):把代入,不等于0,所以是原方程的解; 把代入,等于0,所以是增根. 所以,原方程的解是. 說明: (1) 去分母解分式方程的步驟: ①把各分式的分母因式分解; ②在方程兩邊同乘以各分式的最簡公分母; ③去括號,把所有項(xiàng)都移到左邊,合并同類項(xiàng); ④解一元二次方程; ⑤驗(yàn)根. (2) 驗(yàn)根的基本方法是代入原方程進(jìn)行檢驗(yàn),但代入原方程計(jì)算量較大.而分式方程可能產(chǎn)生的增根,就是使分式方程的分母為0的根.因此我們只要檢驗(yàn)一元二次方程的根,是否使分式方程兩邊同乘的各分式的最簡公分母為0.若為0,即為增根;若不為0,即為原方程的解. 2.用換元法化分式方程為一元二次方程 【例2】解方程 分析:本題若直接去分母,會(huì)得到一個(gè)四次方程,解方程很困難.但注意到方程的結(jié)構(gòu)特點(diǎn),設(shè),即得到一個(gè)關(guān)于的一元二次方程.最后在已知的值的情況下,用去分母的方法解方程. 解:設(shè),則原方程可化為: 解得或. (1)當(dāng)時(shí),,去分母,得; (2)當(dāng)時(shí),. 檢驗(yàn):把各根分別代入原方程的分母,各分母都不為0. 所以,,都是原方程的解. 說明:用換元法解分式方程常見的錯(cuò)誤是只求出的值,而沒有求到原方程的解,即的值. 【例3】解方程 . 分析:注意觀察方程特點(diǎn),可以看到分式與互為倒數(shù).因此,可以設(shè),即可將原方程化為一個(gè)較為簡單的分式方程. 解:設(shè),則 原方程可化為:. (1)當(dāng)時(shí),; (2)當(dāng)時(shí),. 檢驗(yàn):把把各根分別代入原方程的分母,各分母都不為0. 所以,原方程的解是,,. 說明:解決分式方程的方法就是采取去分母、換元等法,將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程,體現(xiàn)了化歸思想. 二、可化為一元二次方程的無理方程 根號下含有未知數(shù)的方程,叫做無理方程. 1.平方法解無理方程 【例4】解方程 分析:移項(xiàng)、平方,轉(zhuǎn)化為有理方程求解. 解:移項(xiàng)得: 兩邊平方得: 移項(xiàng),合并同類項(xiàng)得: 解得:或 檢驗(yàn):把代入原方程,左邊右邊,所以是增根. 把代入原方程,左邊 = 右邊,所以是原方程的根. 所以,原方程的解是. 說明:含未知數(shù)的二次根式恰有一個(gè)的無理方程的一般步驟: ①移項(xiàng),使方程的左邊只保留含未知數(shù)的二次根式,其余各項(xiàng)均移到方程的右邊;②兩邊同時(shí)平方,得到一個(gè)整式方程;③解整式方程;④驗(yàn)根. 【例5】解方程 分析:直接平方將很困難.可以把一個(gè)根式移右邊再平方,這樣就可以轉(zhuǎn)化為上例的模式,再用例4的方法解方程. 解:原方程可化為: 兩邊平方得: 整理得: 兩邊平方得: 整理得:,解得:或. 檢驗(yàn):把代入原方程,左邊=右邊,所以是原方程的根. 把代入原方程,左邊右邊,所以是增根. 所以,原方程的解是. 說明:含未知數(shù)的二次根式恰有兩個(gè)的無理方程的一般步驟: ①移項(xiàng),使方程的左邊只保留一個(gè)含未知數(shù)的二次根式;②兩邊平方,得到含未知數(shù)的二次根式恰有一個(gè)的無理方程;③一下步驟同例4的說明. 2.換元法解無理方程 【例6】解方程 分析:本題若直接平方,會(huì)得到一個(gè)一元四次方程,難度較大.注意觀察方程中含未知數(shù)的二次根式與其余有理式的關(guān)系,可以發(fā)現(xiàn):.因此,可以設(shè),這樣就可將原方程先轉(zhuǎn)化為關(guān)于的一元二次方程處理. 解:設(shè),則 原方程可化為:, 即,解得:或. (1)當(dāng)時(shí),; (2)當(dāng)時(shí),因?yàn)椋苑匠虩o解. 檢驗(yàn):把分別代入原方程,都適合. 所以,原方程的解是. 說明:解決根式方程的方法就是采取平方、換元等法,將根式方程轉(zhuǎn)化為有理方程,體現(xiàn)了化歸思想. 練 習(xí) A 組 1.解下列方程: (1) (2) (3) (4) 2.用換元法解方程: 3.解下列方程: (1) (2) (3) 4.解下列方程: (1) (2) 5.用換元法解下列方程: (1) (2) B 組 1.解下列方程: (1) (2) (3) (4) 2.用換元法解下列方程: (1) (2) (3) 3.若是方程的解,試求的值. 4.解下列方程: (1) (2) 5.解下列方程: (1) (2) (3) 第七講 分式方程和無理方程的解法答案 A 組 1. 2. 3. 4.(1).(2) . 5. B 組 1. 2. 3. 4. 5.- 1.請仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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- 高中數(shù)學(xué) 銜接 教材 第七 分式 方程 無理方程 解法
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