九年級數(shù)學下冊 期末高效復習 專題5 解直角三角形(含解析) 浙教版

上傳人:Sc****h 文檔編號:83182021 上傳時間:2022-05-01 格式:DOC 頁數(shù):12 大?。?89KB
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1、 專題5 解直角三角形 題型一 銳角三角函數(shù)的概念 例 1 在Rt△ABC中,∠C=90°,若sin∠A=,則cos∠A的值為( A ) A.  B. C. D. 【解析】 如答圖,設BC=5k,AB=13k, 例1答圖 由勾股定理,得AC===12k,∴cos∠A===. 變式跟進 1.在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=1,AB=2,則下列結(jié)論正確的是( D ) A.sinA= B.tanA= C.cosB= D.tanB= 2.[2017·益陽]如圖1,電線桿CD的高度為h,兩根拉線AC與BC相互垂直,∠CAB=α,則拉線BC的長度為(A,D

2、,B在同一條直線上)( B ) 圖1 A. B. C. D.h·cosα 【解析】 根據(jù)同角的余角相等,得∠CAD=∠BCD,由cos∠BCD=,知BC==.因此選B. 題型二 特殊角的三角函數(shù)值 例 2 計算下列各題: (1)tan45°-sin60°·cos30°; (2)sin230°+sin45°·tan30°. 解:(1)原式=1-×=1-=; (2)原式=×+×=. 變式跟進 3.2cos30°-tan45°-=__0__. 4.計算:cos45°·tan45°+·tan30°-2cos60°·sin45°. 解:原式=×1+×-2××=+

3、1-=1. 題型三 解直角三角形 例 3 如圖2,在△ABC中,∠B=60°,AB=2,BC=1+,則∠C的度數(shù)為__45°__. 圖2   例3答圖 【解析】 如答圖,作AH⊥BC,在Rt△ABH中,∵cosB=,∴BH=2cos60°=1,∴AH==,∵BC=1+,∴CH=BC-BH=1+-1=,在Rt△ACH中,∵tanC===1,∴∠C=45°. 【點悟】 在一個三角形中,如果已知角度或者角的三角函數(shù)值求線段的長度,通??煽紤]解直角三角形知識求解.如果沒有直角三角形,可通過作輔助線構(gòu)造直角三角形. 變式跟進 5.[2017·天河區(qū)校級一模]如

4、圖3,在等腰直角三角形ABC中,∠A=90°,AC=6,D是AC上一點,過D作DE⊥BC于點E,若tan∠DBA=,則CE的長為____. 圖3 【解析】 在等腰直角三角形ABC中,∠A=90°,AC=6,∴AB=AC=6,∠C=∠ABC=45°,∵tan∠DBA=,∴AD=,∴CD=,∵DE⊥BC,∴CE=CD=. 題型四 利用直角三角形測量物體的高度 例 4 [2017·張家界]位于張家界核心景區(qū)的賀龍銅像是我國近百年來最大的銅像,銅像由像體AD和底座CD兩部分組成,如圖4,在Rt△ABC中,∠ABC=70.5°,在Rt△DBC中,∠DBC=45°,且CD=2.3 m,求像體A

5、D的高度.(最后結(jié)果精確到0.1 m,參考數(shù)據(jù):sin70.5°≈0.943,cos70.5°≈0.334,tan70.5°≈2.824) 圖4 解:在Rt△BCD中,∠DBC=45°, ∴BC=CD=2.3,在Rt△ABC中, tan∠ABC=,tan70.5°==, ∴AD≈4.2(m). 答:像體AD的高度約為4.2 m. 變式跟進 6.[2017·東營]一數(shù)學興趣小組來到某公園,準備測量一座塔的高度.如圖5,在A處測得塔頂?shù)难鼋菫棣?,在B處測得塔頂?shù)难鼋菫棣拢譁y量出A,B兩點的距離為s m,則塔高為 ·s m. 圖5 【解析】 在Rt△CBD中,BD=

6、,∴AD=+s,在Rt△CAD中,CD=ADtanα=·tanα,化簡得CD=·s. 7.[2017·鄂州]如圖6,小明想要測量學校食堂和食堂正前方一棵樹的高度,他從食堂樓底M處出發(fā),向前走3 m到達A處,測得樹頂端E的仰角為30°,他又繼續(xù)走下臺階到達C處,測得樹的頂端E的仰角是60°,再繼續(xù)向前走到大樹底D處,測得食堂樓頂N的仰角為45°.已知A點離地面的高度AB=2 m,∠BCA=30°,且B,C,D三點在同一直線上. (1)求樹DE的高度; (2)求食堂MN的高度. 圖6   第7題答圖 解:(1)由題意,得AF∥BC, ∴∠FAC=∠BCA=30°, ∴

7、∠EAC=∠EAF+∠CAF=30°+30°=60°. ∵∠ACE=180°-∠BCA-∠DCE=180°-30°-60°=90°, ∴∠AEC=180°-∠EAC-∠ACE=180°-60°-90°=30°. 在△ABC中,∵∠BCA=30°,AB=2, ∴AC=2AB=4. 在△ACE中,∵∠AEC=30°,AC=4, ∴EC=AC=4. 在△CDE中,∵sin∠ECD=,∠ECD=60°,EC=4,∴sin60°=, ∴ED=4sin60°=4×=6(m). 答:樹DE的高度為6 m; (2)如答圖,延長NM交BC于點G,則GB=MA=3. 在△ABC中,∵AB=2

8、,AC=4, ∴BC===2. 在△CDE中,∵CE=4,DE=6, ∴CD===2. ∴GD=GB+BC+CD=3+2+2=3+4. 在△GDN中,∵∠NDG=45°, ∴NG=GD=3+4. ∴MN=NG-MG=NG-AB=3+4-2=(1+4)m. 答:食堂MN的高度為(1+4)m. 題型五 利用直角三角形解決航海問題 例 5 [2017·天水]如圖7,一艘輪船位于燈塔P南偏西60°方向的A處,它向東航行20海里到達燈塔P南偏西45°方向上的B處,若輪船繼續(xù)沿正東方向航行,求輪船航行途中與燈塔P的最短距離.(結(jié)果保留根號) 圖7   例5答圖

9、 解: 如答圖,過P作PM⊥AB的延長線于點M,設PM=x,則BM=x,AB=20. tan∠PAM===,解得x=10+10, 根據(jù)題意可知,最短距離為PM=(10+10)海里. 變式跟進 8.[2017·大慶]如圖8,已知一條東西走向的河流,在河流對岸有一點A,小明在岸邊點B處測得點A在點B的北偏東30°方向上,小明沿河岸向東走80 m后到達點C,測得點A在點C的北偏西60°方向上,則點A到河岸BC的距離為__20__m. 圖8   第8題答圖 【解析】 如答圖,過點A作AD⊥BC于點D.根據(jù)題意,得∠ABC=90°-30°=60°,∠ACD=30

10、°,在Rt△ABD中,tan∠ABD=,∴BD=.同理,在Rt△ACD中,CD=,∵BD+CD=BC=80,∴+=80,解得AD=20,即點A到河岸BC的距離為20 m. 9.[2017·天津]如圖9,一艘海輪位于燈塔P的北偏東64°方向,距離燈塔120海里的A處,它沿正南方向航行一段時間后,到達位于燈塔P的南偏東45°方向上的B處.求BP和BA的長.(結(jié)果取整數(shù),參考數(shù)據(jù):sin64°≈0.90,cos64°≈0.44,tan64°≈2.05,≈1.414) 圖9    第9題答圖 解:如答圖,過點P作PM⊥AB于M,由題意可知,∠A=64°,∠B=45°

11、,PA=120. Rt△APM中,PM=PA·sinA =PA·sin64°≈108, AM =PA·cosA =PA·cos64°≈52.8. 在Rt△BPM中,∵∠B=45°, ∴BM=PM≈108,PB=PM≈153, ∴BA=BM+AM≈108+52.8≈161. 答: BP長約為153海里,BA長約為161海里. 題型六 利用直角三角形解決坡度問題 例 6 [2016·杭州期中]如圖10,水庫大壩截面的迎水坡坡比(DE與AE的長度之比)為1∶0.6,背水坡坡比為1∶2,大壩高DE=30 m,壩頂寬CD=10 m,求大壩的截面的周長和面積. 圖10 解:∵迎水坡

12、坡比(DE與AE的長度之比)為1∶0.6,DE=30 m,∴AE=18 m, 在Rt△ADE中,AD==6 m, ∵背水坡坡比為1∶2,∴BF=60 m, 在Rt△BCF中,BC==30 m, ∴周長=DC+AD+AE+EF+BF+BC=6+10+30+88=(6+30+98)m, 面積=(10+18+10+60)×30÷2=1 470(m2). 故大壩的截面的周長是(6+30+98)m,面積是1 470 m2. 【點悟】 坡度坡角問題關(guān)鍵是設法化歸為解直角三角形問題,必要時應添加輔助線,構(gòu)造出直角三角形.在兩個直角三角形有公共直角邊時,先求出公共邊的長是解答此類題的基本思路.

13、 變式跟進 10.[2017·重慶]如圖11,已知點C與某建筑物底端B相距306 m(點C與點B在同一水平面上),某同學從點C出發(fā),沿同一剖面的斜坡CD行走195 m至坡頂D處.斜坡CD的坡度(或坡比)i=1∶2.4,在D處測得該建筑物頂端A的俯角為20°,則建筑物AB的高度約為(精確到0.1 m,參考數(shù)據(jù):sin20°≈0.342,cos20°≈0.940,tan20°≈0.364)( A ) A.29.1 m B.31.9 m C.45.9 m D.95.9 m 圖11  第10題答圖 【解析】 如答圖,過點D作DE⊥BC,垂足為E

14、,解Rt△CDE得DE=75 m,CE=180 m,根據(jù)BC=306 m可求得BE=126 m,過A作AF⊥DE,∴AF=BE=126 m,∵∠DAF=20°,而tan20°≈0.364,即=,∴DF≈45.864 m,∴AB=DE-DF≈29.1 m. 過關(guān)訓練 1.[2017·洪澤]Rt△ABC中,∠C=90°,cosA=,AC=6 cm,那么BC等于( A ) A.8 cm B. cm C. cm D. cm 【解析】 在Rt△ABC中,∠C=90°,cosA==,AC=6 cm,∴AB=10 cm,BC==8(cm). 2.[2016·益陽]小明利用測角儀和旗桿的拉

15、繩測量學校旗桿的高度.如圖1,旗桿PA的高度與拉繩PB的長度相等.小明將PB拉到PB′的位置,測得∠PB′C=α(B′C為水平線),測角儀的高度為1 m,則旗桿PA的高度為( A ) 圖1 A. B. C. D. 【解析】 設PA=PB=PB′=x,在Rt△PCB′中,sinα=,∴=sinα,∴x=. 3.計算: (1)sin260°-tan30°·cos30°+tan45°; (2)-cos60°. 解:(1)原式=-×+1 =-+1=; (2)原式=-× =-=-=-. 4.[2017·安徽]如圖2,游客在點A處坐纜車出發(fā),沿A-B-D的路線可至山頂D處,

16、假設AB和BD都是直線段,且AB =BD=600 m,α=75°,β=45°,求DE的長.(參考數(shù)據(jù):sin75°≈0.97,cos75°≈0.26,≈1.41) 圖2 解:在Rt△ABC中,∵cosα=, ∴BC=AB·cosα≈156(m). 在Rt△BDF中,∵sinβ=, ∴DF=BD·sinβ=600×=300≈423(m). 又∵EF=BC, ∴DE=DF+EF≈579(m). 5.[2016·臨沂]一般地,當α,β為任意角時,sin(α+β)與sin(α—β)的值可以用下面的公式求得: sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ; sin(α

17、-β)=sinαcosβ-cosαsinβ. 例如sin90°=sin(60°+30°)= sin60°cos30°+cos60°·sin30°=×+×=1. 類似地,可以求得sin15°的值是____. 6.[2017·貴港]如圖3,點P在等邊三角形ABC的內(nèi)部,且PC=6,PA=8,PB=10,將線段PC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60°得到P′C,連結(jié)AP′,則sin∠PAP′的值為____. 圖3    第6題答圖 【解析】 如答圖,連結(jié)PP′, ∵線段PC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60°得到P′C, ∴CP=CP′=6,∠PCP′=60°, ∴△CPP′為等邊三角形,

18、 ∴PP′=PC=6,∵△ABC為等邊三角形, ∴CB=CA,∠ACB=60°,∴∠PCB=∠P′CA, 在△PCB和△P′CA中, ∴△PCB≌△P′CA,∴PB=P′A=10, ∵62+82=102,∴PP′2+AP2=P′A2, ∴△APP′為直角三角形,∠APP′=90°, ∴sin∠PAP′===. 7.[2017·泰興校級二模]如圖4,在一筆直的海岸線l上有A,B兩個觀測站,A在B的正東方向,AB=4 km.有一艘小船在點P處,從A測得小船在北偏西60°的方向,從B測得小船在北偏東45°的方向. (1)求點P到海岸線l的距離(結(jié)果保留根號); (2)小船從點P

19、處沿射線AP的方向航行一段時間后到點C處,此時,從B測得小船在北偏西15°的方向.求點C與點B之間的距離.(結(jié)果精確到0.1 km,≈1.41,≈1.73) 圖4  第7題答圖 解:(1)如答圖,過點P作PD⊥AB于點D.設PD=x km. 在Rt△PBD中,∠BDP=90°,∠PBD=90°-45°=45°,∴BD=PD=x km. 在Rt△PAD中,∠ADP=90°, ∠PAD=90°-60°=30°, ∴AD=PD=x km. ∵BD+AD=AB,∴x+x=4,x=2-2, ∴點P到海岸線l的距離為(2-2)km; (2

20、)如答圖,過點B作BF⊥AC于點F. 根據(jù)題意得∠ABC=105°, 在Rt△ABF中,∠AFB=90°,∠BAF=30°, ∴BF=AB=2 km. 在△ABC中,∠C=180°-∠BAC-∠ABC=45°. 在Rt△BCF中,∠BFC=90°,∠C=45°, ∴BC=BF=2 km≈2.8 km. 答:點C與點B之間的距離大約為2.8 km. 8.[2017·德州]如圖5所示,某公路檢測中心在一事故多發(fā)地段安裝了一個測速儀器, 圖5 檢測點設在距離公路10 m的A處,測得一輛汽車從B處行駛到C處所用時間為0.9 s.已知∠B=30°,∠C=45°. (1)求B,C

21、之間的距離(結(jié)果保留根號); (2)如果此地限速為80 km/h,那么這輛汽車是否超速?請說明理由.(參考數(shù)據(jù):≈1.7,≈1.4) 解:(1)如答圖,過點A作AD⊥BC于點D,則AD=10 m. ∵在Rt△ACD中,∠C=45°, ∴Rt△ACD是等腰直角三角形, 第8題答圖 ∴CD=AD=10 m. 在Rt△ABD中,tanB=, ∵∠B=30°,∴=, ∴BD=10 m, ∴BC=BD+DC= m. 答:B,C之間的距離是(10+10)m; (2)這輛汽車超速.理由如下: 由(1)知BC= m,又∵≈1.7, ∴BC≈27 m,∴汽車速度v≈=30(m/s). 又∵30 m/s=108 km/h,而此地限速為80 km/h, ∴這輛汽車超速. 12

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