（安徽專版）2018年秋九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè) 24.6 正多邊形與圓習(xí)題 （新版）滬科版

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1、 24.6　正多邊形與圓 第1課時(shí)　正多邊形與圓 01　　基礎(chǔ)題 知識(shí)點(diǎn)1　正多邊形的概念 1．下列敘述正確的是（B） A．各邊相等的多邊形是正多邊形 B．各邊相等、各角也相等的多邊形是正多邊形 C．各角相等的多邊形是正多邊形 D．軸對(duì)稱圖形是正多邊形 2．已知一個(gè)正多邊形的每個(gè)外角等于60°，則這個(gè)正多邊形是（B） A．正五邊形 B．正六邊形 C．正七邊形 D．正八邊形 3．（2017·株洲）下列圓的內(nèi)接正多邊形中，一條邊所對(duì)的圓心角最大的圖形是（A） A．正三角形 B．正方形 C．正五邊形 D．正六邊形 4．如圖，在⊙O中，O

2、A＝AB，OC⊥AB，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（D） A．弦AB的長(zhǎng)等于圓內(nèi)接正六邊形的邊長(zhǎng) B．弦AC的長(zhǎng)等于圓內(nèi)接正十二邊形的邊長(zhǎng) C.＝ D．∠BAC＝30° 第4題圖 　　　　第5題圖 5．如圖，正方形ABCD是⊙O的內(nèi)接正方形，點(diǎn)P是劣弧上不同于點(diǎn)C的任意一點(diǎn)，則∠BPC的度數(shù)是45度． 6．若正多邊形的一個(gè)內(nèi)角等于140°，則該正多邊形的邊數(shù)是9． 7．如圖，五邊形ABCDE內(nèi)接于⊙O，AB＝BC＝CD＝DE＝EA.求證：五邊形ABCDE是正五邊形． 證明：∵AB＝BC＝CD＝DE＝EA， ∴＝＝＝＝. ∴＝＝＝＝.∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝∠E.

3、 ∴五邊形ABCDE是正五邊形． 8．如圖，AD，AE是正六邊形的兩條對(duì)角線，不添加任何輔助線，請(qǐng)你寫出兩個(gè)正確的結(jié)論．（不必說(shuō)明理由） 解：本題答案不唯一，如： ①△ADE是直角三角形； ②AD是正六邊形外接圓的直徑； ③AD∥BC等． 知識(shí)點(diǎn)2　等分圓周畫正多邊形 9．高斯用直尺和圓規(guī)作出了正十七邊形，如圖，正十七邊形的一邊所對(duì)的外接圓的圓心角∠AOB的度數(shù)近似于（C） A．11° B．17° C．21° D．25° 10．畫一個(gè)半徑為2 cm的正五邊形，再作出這個(gè)五邊形的各條對(duì)角線，畫出一個(gè)五角星． 解：畫法：（1）以O(shè)為圓心，OA

4、＝2 cm為半徑畫圓； （2）以O(shè)點(diǎn)為頂點(diǎn)，以O(shè)A為一邊作∠AOB＝72°，再依次作∠BOC＝∠COD＝∠DOE＝72°，分別與圓交于點(diǎn)B，C，D，E； （3）分別連接AB，BC，CD，DE，EA.則五邊形ABCDE就是所要畫的正五邊形（如圖1）； （4）依次連接AC，AD，BD，BE，CE.就畫出了所要作的對(duì)角線和要求的五角星（如圖2）． 02　　中檔題 11．如圖，A，B，C，D，E，F(xiàn)是⊙O的六等分點(diǎn)，則∠ACB等于（C） A．60° B．45° C．30° D．22.5° 12．若正三角形、正方形、正六邊形的周長(zhǎng)相等，它們的面積分別為S1，S2，S3

5、，則下列關(guān)系成立的是（C） A．S1＝S2＝S3 B．S1>S2>S3 C．S1S3>S1 13．如圖，已知⊙O內(nèi)接等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，弦BD，CE分別平分∠ABC，∠ACB，BE＝BC.求證：五邊形AEBCD是正五邊形． 證明：∵AB＝AC，∠BAC＝36°， ∴∠ABC＝∠ACB＝72°. ∵BD，CE平分∠ABC，∠ACB， ∴∠BAC＝∠BCE＝∠ACE＝∠ABD＝∠DBC＝36°. ∴＝＝＝＝. ∴AE＝BE＝BC＝CD＝AD， ∠AEB＝∠EBC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAE. ∴五邊形AE

6、BCD是正五邊形． 14．如圖，點(diǎn)M，N分別是正五邊形ABCDE的邊BC，CD上的點(diǎn)，且BM＝CN，AM交BN于點(diǎn)P. （1）求證：△ABM≌△BCN； （2）求∠APN的度數(shù)． 解：（1）證明：∵五邊形ABCDE是正五邊形， ∴AB＝BC，∠ABM＝∠BCN. 在△ABM和△BCN中， ∴△ABM≌△BCN（SAS）． （2）∵△ABM≌△BCN，∴∠BAM＝∠CBN. ∵∠APN＝∠ABP＋∠BAM， ∴∠APN＝∠ABP＋∠CBN＝∠ABC. ∵∠ABC＝＝＝108°. ∴∠APN＝108°. 03　　鏈接中考 15．如圖1

7、，2，3，正三角形ABC、正方形ABCD、正五邊形ABCDE分別是⊙O的內(nèi)接三角形、內(nèi)接四邊形、內(nèi)接五邊形，點(diǎn)M，N分別從點(diǎn)B，C開始，以相同的速度在⊙O上逆時(shí)針運(yùn)動(dòng)． （1）求圖1中∠APN的度數(shù)；（寫出解題過(guò)程） （2）寫出圖2中∠APN的度數(shù)和圖3中∠APN的度數(shù)； （3）試探索∠APN的度數(shù)與正多邊形邊數(shù)n的關(guān)系．（直接寫答案） 解：（1）∵∠APN＝∠ABP＋∠BAP， 又∵點(diǎn)M，N以相同的速度在⊙O上逆時(shí)針運(yùn)動(dòng)， ∴＝. ∴∠BAM＝∠CBN. ∴∠APN＝∠ABP＋∠CBN＝∠ABC＝60°. （2）圖2中∠APN的度數(shù)為90°； 圖3中∠APN的度數(shù)為1

8、08°. （3）∠APN＝. 第2課時(shí)　正多邊形的性質(zhì) 01　　基礎(chǔ)題 　　　　　　　　　　　　　　　　 知識(shí)點(diǎn)1　正多邊形的性質(zhì)與計(jì)算 1．正六邊形的邊心距為，則該正六邊形的邊長(zhǎng)是（B） A. B．2 C．3 D．2 2．如圖，⊙O是正五邊形ABCDE的外接圓，這個(gè)正五邊形的邊長(zhǎng)為a，半徑為R，邊心距為r，則下列關(guān)系式錯(cuò)誤的是（A） A．R2－r2＝a2 B．a(chǎn)＝2Rsin36° C．a(chǎn)＝2rtan36° D．r＝Rcos36° 第2題圖 　　　　第4題圖 3. （2017·濱州）若正方形的外接圓半徑為2，則其內(nèi)切圓半徑

9、為（A） A. B．2 C. D．1 4．如圖，AD，BE，CF是正六邊形ABCDEF的對(duì)角線，則圖中平行四邊形的個(gè)數(shù)有（C） A．2個(gè) B．4個(gè) C．6個(gè) D．8個(gè) 5．已知⊙O的面積為2π，則其內(nèi)接正三角形的面積為（C） A．3 B．3 C. D. 6．如圖，點(diǎn)O是正五邊形ABCDE的中心，則∠BAO的度數(shù)為54°． 第6題圖 　　第7題圖 7．如圖，⊙O的內(nèi)接正三角形ABC的邊心距OD為2 cm，則⊙O的半徑為4cm. 8．（2018·呼和浩特）同一個(gè)圓的內(nèi)接正方形和正三角形的邊心距的比

10、為∶1． 9．如圖所示的向日葵圖案是用等分圓周畫出的，則⊙O與半圓P的半徑的比為2∶1． 10．（教材P51例題變式）求邊長(zhǎng)為20 cm的正六邊形的面積與此正六邊形內(nèi)切圓周長(zhǎng)和外接圓面積． 解：如圖，易知∠AOB＝＝60°， ∴∠DOB＝30°. 又∵邊長(zhǎng)為20 cm， ∴DB＝10 cm. 在Rt△OBD中，可求得OD＝10 cm，OB＝20 cm. ∴S正六邊形＝6S△OAB＝6××20×10 ＝600（cm2）． 正六邊形內(nèi)切圓周長(zhǎng)為2π·OD＝20π cm. 正六邊形外接圓面積為πOB2＝400π cm2. 知識(shí)點(diǎn)2　正多邊形的對(duì)稱性

11、11．正五邊形繞其中心旋轉(zhuǎn)下列各角度，所得正五邊形與原正五邊形不重合的是（C） A．216° B．144° C．120° D．72° 12．正二十邊形的對(duì)稱軸有20條． 02　　中檔題 13．（2017·達(dá)州）以半徑為2的圓的內(nèi)接正三角形、正方形、正六邊形的邊心距為三邊作三角形，則該三角形的面積為（A） A. B. C. D. 14．如圖，正六邊形ABCDEF中，AB＝2，點(diǎn)P是ED的中點(diǎn)，連接AP，則AP的長(zhǎng)為（C） A．2 B．4 C. D. 15．如圖，邊長(zhǎng)為a的正六邊形內(nèi)有兩個(gè)三角形（數(shù)據(jù)如圖），則＝

12、（C） A．3 B．4 C．5 D．6 第15題圖 　　　第16題圖 16．（2018·株洲）如圖，正五邊形ABCDE和正三角形AMN都是⊙O的內(nèi)接多邊形，則∠BOM＝48°． 17．如圖，已知⊙O的兩直徑AB，CD互相垂直，弦MN垂直平分OB，交OB于點(diǎn)E.求證：MB與MC分別為⊙O的內(nèi)接正六邊形和正十二邊形的邊長(zhǎng)． 證明：連接OM. ∵M(jìn)N垂直平分OB， ∴MN⊥OB，OE＝OB＝OM， ∴∠EMO＝30°.∴∠MOB＝60°. ∴∠MOC＝30°. ∵∠MOB＝＝60°，∠MOC＝＝30°， ∴MB，MC分別是⊙O

13、內(nèi)接正六邊形和正十二邊形的邊長(zhǎng)． 18．如圖，正五邊形ABCDE的對(duì)角線AC，BE相交于點(diǎn)M. （1）求證：四邊形CDEM是菱形； （2）設(shè)ME2＝BE·BM，若AB＝4，求BE的長(zhǎng)． 解：（1）證明：∵五邊形ABCDE是正五邊形，∴∠D＝∠DCB＝108°，∠ACB＝36°， ∴∠DCA＝72°. ∴∠D＋∠DCA＝180°. ∴DE∥AC. 同理可證DC∥BE. ∴四邊形DEMC為平行四邊形． 又∵DE＝DC， ∴四邊形CDEM是菱形． （2）∵五邊形ABCDE是正五邊形， ∴∠AEB＝36°，∠EAM＝72°. 同理可得∠BAC

14、＝∠ABE＝36°. ∴△ABE∽△MAB. ∴＝. ∴AB2＝BE·BM. ∵M(jìn)E2＝BE·BM， ∴ME＝AB＝4，BM＝BE－4. ∴BE（BE－4）＝16. 解得BE＝2＋2或2－2（舍去）， 即BE的長(zhǎng)為2＋2. 03　　鏈接中考 19．圖1、圖2分別是兩個(gè)相同正方形、正六邊形，其中一個(gè)正多邊形的頂點(diǎn)在另一個(gè)正多邊形外接圓圓心O處． （1）求圖1中，重疊部分面積與陰影部分面積之比； （2）求圖2中，重疊部分面積與陰影部分面積之比．（直接寫出答案） 解：（1）連接OA，OB，過(guò)點(diǎn)O作OM⊥AB，垂足為M. ∵點(diǎn)O是正方形ABCD外接圓圓心， ∴OA＝OB. ∵四邊形ABCD為正方形，∴OM＝AB. ∴S△ABO＝S正方形ABCD. ∵∠AOB＝90°，∠AOF＋∠A′OB＝∠A′OB＋∠BOE＝90°， ∴∠AOF＝∠BOE. 又∵∠OAF＝∠OBE＝45°， ∴△AOF≌△BOE（ASA）． ∴S△AOF＝S△BOE. ∴S重疊＝S△BOF＋S△BOE＝S△BOF＋S△AOF＝S△ABO＝S正方形ABCD.∴S陰影＝S正方形ABCD. ∴重疊部分面積與陰影部分面積之比為1∶3. （2）1∶2. 11