甘肅省2019年中考數(shù)學總復習 專項突破練7 二次函數(shù)壓軸題練習

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1、 專項突破練7　二次函數(shù)壓軸題 1.(2018四川達州)“綠水青山就是金山銀山”的理念已融入人們的日常生活中,因此,越來越多的人喜歡騎自行車出行.某自行車店在銷售某型號自行車時,以高出進價的50%標價.已知按標價的九折銷售該型號自行車8輛與將標價直降100元銷售7輛獲利相同. (1)求該型號自行車的進價和標價分別是多少元? (2)若該型號自行車的進價不變,按(1)中的標價出售,該店平均每月可售出51輛;若每輛自行車每降價20元,每月可多售出3輛,求該型號自行車降價多少元時,每月獲利最大?最大利潤是多少? 解(1)設進價為x元,則標價是1.5x元,由題意得 1.5x×0.9×8-8x

2、=(1.5x-100)×7-7x, 解得x=1 000,1.5×1 000=1 500(元), 答:進價為1 000元,標價為1 500元; (2)設該型號自行車降價a元,利潤為w元,由題意得w=(1 500-1 000-a), =-(a-80)2+26 460, ∵-<0,∴當a=80時,w最大=26 460, 答:該型號自行車降價80元出售每月獲利最大,最大利潤是26 460元. 2.(2018福建)如圖,在足夠大的空地上有一段長為a米的舊墻MN,某人利用舊墻和木欄圍成一個矩形菜園ABCD,其中AD≤MN,已知矩形菜園的一邊靠墻,另三邊一共用了100米木欄. (1)若a

3、=20,所圍成的矩形菜園的面積為450平方米,求所利用舊墻AD的長; (2)求矩形菜園ABCD面積的最大值. 解(1)設AB=x m,則BC=(100-2x)m, 根據(jù)題意得x(100-2x)=450,解得x1=5,x2=45, 當x=5時,100-2x=90>20,不合題意舍去; 當x=45時,100-2x=10,答:AD的長為10 m. (2)設AD=x m, ∴S=x(100-x)=-(x-50)2+1 250, 當a≥50時,則x=50時,S的最大值為1 250; 當0

4、述,當a≥50時,S的最大值為1250;當0

5、為y=-x2+2x+3. (2)若四邊形POP'C為菱形,則點P在線段CO的垂直平分線上, 圖1 如圖1,連接PP',則PE⊥CO,垂足為E, ∵C(0,3), ∴E, ∴點P的縱坐標,當y=時, 即-x2+2x+3=, 解得x1=,x2=(不合題意,舍),∴點P的坐標為. 圖2 (3)如圖2, P在拋物線上,設P(m,-m2+2m+3), 設直線BC的解析式為y=kx+b, 將點B和點C的坐標代入函數(shù)解析式,得解得 直線BC的解析為y=-x+3,過點P作x軸的垂線,交BC于點Q,交x軸于點F, 設點Q的坐標為(m,-m+3), PQ=-m2+2m+3-

6、(-m+3)=-m2+3m. 當y=0時,-x2+2x+3=0, 解得x1=-1,x2=3,OA=1,AB=3-(-1)=4, S四邊形ABPC=S△ABC+S△PCQ+S△PBQ =AB·OC+PQ·OF+PQ·FB =×4×3+(-m2+3m)×3 =-, 當m=時,四邊形ABPC的面積最大. 當m=時,-m2+2m+3=,即P點的坐標為. 當點P的坐標為時,四邊形ACPB的最大面積值為. 4.(2018湖南懷化)如圖,在平面直角坐標系中,拋物線y=ax2+2x+c與x軸交于A(-1,0),B(3,0)兩點,與y軸交于點C,點D是該拋物線的頂點. (1)求拋物線的

7、解析式和直線AC的解析式; (2)請在y軸上找一點M,使△BDM的周長最小,求出點M的坐標; (3)試探究:在拋物線上是否存在點P,使以點A,P,C為頂點,AC為直角邊的三角形是直角三角形?若存在,請求出符合條件的點P的坐標;若不存在,請說明理由. 解(1)設拋物線解析式為y=a(x+1)(x-3), 即y=ax2-2ax-3a, ∴-2a=2,解得a=-1, ∴拋物線解析式為y=-x2+2x+3; 當x=0時,y=-x2+2x+3=3,則C(0,3), 設直線AC的解析式為y=px+q, 把A(-1,0),C(0,3)代入得解得∴直線AC的解析式為y=3x+3. (2)∵

8、y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4, ∴頂點D的坐標為(1,4), 作B點關于y軸的對稱點B',連接DB'交y軸于M,如圖1,則B'(-3,0), ∵MB=MB', ∴MB+MD=MB'+MD=DB',此時MB+MD的值最小,而BD的值不變, ∴此時△BDM的周長最小, 易得直線DB'的解析式為y=x+3, 當x=0時,y=x+3=3, ∴點M的坐標為(0,3). (3)存在. 過點C作AC的垂線交拋物線于另一點P,如圖2, ∵直線AC的解析式為y=3x+3, ∴直線PC的解析式可設為y=-x+b, 把C(0,3)代入得b=3, ∴直線PC的解析式為y=-x+

9、3, 解方程組解得則此時P點坐標為; 過點A作AC的垂線交拋物線于另一點P,直線PC的解析式可設為y=-x+b, 把A(-1,0)代入得+b=0,解得b=-, ∴直線PC的解析式為y=-x-, 解方程組解得則此時P點坐標為,綜上所述,符合條件的點P的坐標為. 5.(2018上海)在平面直角坐標系xOy中(如圖).已知拋物線y=-x2+bx+c經(jīng)過點A(-1,0)和點B,頂點為C,點D在其對稱軸上且位于點C下方,將線段DC繞點D按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°,點C落在拋物線上的點P處. (1)求這條拋物線的表達式; (2)求線段CD的長; (3)將拋物線平移,使其頂點C移到原點

10、O的位置,這時點P落在點E的位置,如果點M在y軸上,且以O,D,E,M為頂點的四邊形面積為8,求點M的坐標. 解(1)把A(-1,0)和點B代入y=-x2+bx+c得解得 ∴拋物線解析式為y=-x2+2x+. (2)∵y=-(x-2)2+, ∴C,拋物線的對稱軸為直線x=2, 如圖,設CD=t, 則D, ∵線段DC繞點D按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°,點C落在拋物線上的點P處, ∴∠PDC=90°,DP=DC=t, ∴P, 把P代入y=-x2+2x+得-(2+t)2+2(2+t)+-t, 整理得t2-2t=0,解得t1=0(舍去),t2=2, ∴線段CD的長為2. (3)

11、P點坐標為,D點坐標為, ∵拋物線平移,使其頂點C移到原點O的位置,∴拋物線向左平移2個單位,向下平移個單位, 而P點向左平移2個單位,向下平移個單位得到點E, ∴E點坐標為(2,-2),設M(0,m), 當m>0時,·2=8, 解得m=,此時M點坐標為; 當m<0時,·2=8,解得m=-,此時M點坐標為; 綜上所述,M點的坐標為. 6.(2018廣西南寧)如圖,拋物線y=ax2-5ax+c與坐標軸分別交于點A,C,E三點,其中A(-3,0),C(0,4),點B在x軸上,AC=BC,過點B作BD⊥x軸交拋物線于點D,點M,N分別是線段CO,BC上的動點,且CM=BN,連接M

12、N,AM,AN. (1)求拋物線的解析式及點D的坐標; (2)當△CMN是直角三角形時,求點M的坐標; (3)試求出AM+AN的最小值. 解(1)把A(-3,0),C(0,4)代入y=ax2-5ax+c得解得 ∴拋物線解析式為y=-x2+x+4; ∵AC=BC,CO⊥AB, ∴OB=OA=3,∴B(3,0), ∵BD⊥x軸交拋物線于點D, ∴D點的橫坐標為3, 當x=3時,y=-×9+×3+4=5, ∴D點坐標為(3,5). (2)在Rt△OBC中,BC==5, 設M(0,m),則BN=4-m,CN=5-(4-m)=m+1,∵∠MCN=∠OCB, ∴當時,△CMN∽△COB,則∠CMN=∠COB=90°,即,解得m=,此時M點坐標為; 當時,△CMN∽△CBO, 則∠CNM=∠COB=90°,即,解得m=,此時M點坐標為; 綜上所述,M點的坐標為. (3)連接DN,AD,如圖, ∵AC=BC,CO⊥AB, ∴OC平分∠ACB, ∴∠ACO=∠BCO, ∵BD∥OC,∴∠BCO=∠DBC, ∵DB=BC=AC=5,CM=BN, ∴△ACM≌△DBN,∴AM=DN, ∴AM+AN=DN+AN, 而DN+AN≥AD(當且僅當點A,N,D共線時取等號), ∴DN+AN的最小值=, ∴AM+AN的最小值為. 9